自动控制原理(第版)(余成波)习题解答.

第5章频率特性法教材习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 同步解析5.1一放大器的传递 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 为：G(s)=测得其频率响应，当=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。求放大系数K及时间常数T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为，即稳态输出与输入信号的相位差，即当=1rad/s时，联立以上方程得T=1，K=12放大器的传递函数为：G(s)=5.2已知单位负反馈系统的开环传递函数为根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin（t+30°）；（2）r（t）=2cos（2t－45°）；（3）r（t）=sin（t+15°）－2cos（2t－45°）；解：该系统的闭环传递函数为闭环系统的幅频特性为闭环系统的相频特性为（1）输入信号的频率为，因此有，系统的稳态输出（2）输入信号的频率为，因此有，系统的稳态输出（3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin（t+15°），系统的稳态输出如下对于输入分量2：－2cos（2t－45°），系统的稳态输出为根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为5.3绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1）（2）G(s)=10(0.1s1)（3）（4)（5）（6）（7）解：（1）幅相频率特性开环系统是一个不稳定的惯性环节，频率特性为相频特性为相频特性从－180连续变化至－90。可以判断开环奈氏曲线起点为(－10，j0)点，随的增加，A1()逐渐减小至0，而1()逐渐增加至－90°，绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。而开环系统则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。对数频率特性开环系统与的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.1(b)所示。（2）G(s)=10(0.1s1)幅相频率特性开环系统G1(s)=10(0.1s－1)的频率特性为，其相频特性为相频特性从180连续变化至90。其开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。而开环系统G2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（1），二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。（3）系统开环传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部与虚部均<0，故曲线只在第三象限。2）n－m=2，则()=－180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－180。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.3(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为T=2rad·s－1。低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2－20lgω，并通过点L(2)=0dB。经过转折频率T后斜率为－40dB/dec。2）系统的相频特性为积分环节（－90º）与惯性环节（0º~－90º）相频特性的叠加，为转折频率处相位为(2)=－135°，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图L()、()，如图5.3（b）所示。（4）系统开环传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1）系统为0型系统，A(0)=2，(0)=0º，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；n－m=2，则()=－180。随的增加，A()逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至－180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2）将频率特性表达式分母有理化为频率特性虚部均<0，故曲线在第三、第四象限。3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.4(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为1=1rad·s－1、2=2rad·s－1。系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2=6dB。经过转折频率1、2后斜率分别为－20、－40dB/dec。2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为两个转折频率处相位分别为(1)=－72°，(2)=－109°。绘制开环伯德图L()、()，如图5.4（b）所示。（5）系统开环传递函数的时间常数表达式为幅相频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：低频渐近线为同时可知，频率特性实部、虚部均<0，故曲线只在第三象限。2）n－m=1，则()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3）此系统有开环零点，因此在由0增大到过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.5(a)。对数频率特性1）系统转折频率分别为1=0.02rad·s－1、2=0.2rad·s－1。系统为I型，低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10－20lgω，因此L(0.02)=54dB。经过转折频率1、2后斜率分别为－40dB/dec、－60dB/dec。2）系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加，为两个转折频率处相位分别为，(0.02)=(0.2)=－129°。系统的对数频率特性L()、()见图5.5(b)。（6）幅相频率特性1）系统为0型系统，A(0)=10，(0)=0º，开环奈氏曲线起点为(10，j0)点；n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。2）同上，频率特性表达式分母有理化为3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为相位有()=－180，因此与实轴的交点为此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.6(a)。对数频率特性1）系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为T=1rad·s－1。系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10=20dB，经过转折频率T后斜率为－60dB/dec。渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。例如，点L(2)与L(1)=20dB位于同一条斜线，斜率为－60dB/dec，则L(2)的纵坐标值满足求出L(2)=2dB。2）系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加，为转折频率处相位为(1)=－136°，并有(2)=－209°。系统的对数频率特性L()、()见图5.6(b)。（7）幅相频率特性1）延迟环节与其他典型环节相结合不影响幅频特性，但使相频特性的最大滞后为无穷大。系统频率特性为2）随的增大，此系统幅频特性A()单调减小，而相位滞后单调增加，相频特性()从0°一直变化到负无穷大。故该系统的奈氏图是螺旋状曲线，绕原点顺时针旋转次，最后终止于原点，与实轴、虚轴有无数个交点，如图5.7（a）所示。3）与虚轴的第一个交点为4）与实轴的第一个交点为对数频率特性系统的对数幅频特性与典型惯性环节的对数幅频特性完全一致，但相频特性滞后无限增加。系统的对数频率特性L()、()见图5.7(b)。5.4求图5.8所示的电网络的频率特性表达式，以及幅频特性与相频特性表达式，并绘制出对数频率特性曲线。图5.8题5.4图解：（a）电网络的传递函数为频率特性为幅频特性相频特性伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的超前校正装置（见第六章），呈现以下特点：1）转折频率与之间渐近线斜率为20dB/dec，起微分作用；2）()在整个频率范围内都>0，具有相位超前作用，故名超前校正装置；3）()有超前最大值m。（b）电网络的传递函数为频率特性为幅频特性相频特性伯德图见图5.9（a），此电网络是系统校正中常用的滞后校正装置（见第六章），呈现以下特点：1）转折频率与之间渐近线斜率为－20dB/dec，起积分作用；2）()在整个频率范围内都<0，具有相位滞后作用，故名滞后校正装置；3）()有滞后最大值m。5.5由实验测得某最小相位系统幅频特性如下，试确定系统的传递函数表5.1最小相位系统的实验数据/(rad·s－1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.01解：1）根据表5.1，求出与每个频率对应的稳态输出与输入幅值比的分贝值20lgA，见表5.2。表5.2最小相位系统的实验数据/(rad·s－1)0.30.51.2522.556.251012.5202550100A9.9789.799.6498.786.35.33.242.30.90.60.10.0120lgA19.9819.8219.6819.0818.8715.9914.4910.217.23－0.92－4.43－20－402）已知该系统为最小相位系统，可直接由幅频特性曲线求出传递函数，根据表5.12绘出系统的对数幅频性曲线L()，如图5.10虚线所示。3）根据求得的L()，由0、±20、±40、±0dB/dec斜率的线段近似，求出其渐近线，如图5.10实线所示。4）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频渐近线的表达式为L()=20lgK=20dB，系统为0型，K=10。5）由渐近线的每个转折点确定各典型环节的转折频率；并由渐近线在转折点斜率的变化量确定串联的各典型环节。在转折频率处，斜率减小20dB/dec，则必有惯性环节；在转折频率处，斜率减去40dB/dec，则有振荡环节，阻尼比ζ可由谐振峰值的大小查表求取。由图5.10，处L()的误差约为－6dB，查教材表5.7（振荡环节对数幅频特性最大误差修正表）可得，ζ1。因此，。6）综上，系统的传递函数为5.6各系统开环传递函数如下，用奈氏稳定判据判断下列反馈系统的稳定性（1)（2）解：（1)令s=j，得开环系统频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。2）n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－270。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定Im[G(j)]=I()=解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为该系统开环奈氏曲线见图5.11(1)。5）曲线始于虚轴的无穷远处，与负实轴的交点为（－5，j0）。故当由0变到+时，开环频率特性曲线顺时针包围（－1，j0）点的次数为1/2，N’－=1/2。由于开环右极点数为P=0，故Z=2N’+P=2闭环系统有两个右极点，闭环不稳定。解：（2）令s=j，得系统开环频率特性该系统为非最小相位系统，P=1，开环系统的相频特性为1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－270º，低频特性始于平行于正虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为则低频渐近线为同时可知，频率特性实部≤0，故曲线只在第二与第三象限。2）()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3）此系统有开环零点，因此在=100附近曲线有凹凸。4）()有－180相位角，故曲线与负实轴有交点，交点坐标可以由下式确定Im[G(j)]=I()=解之得交点处频率=10，代入实部I()，即可得曲线与负实轴交点的坐标为5）该系统开环奈氏曲线见图5.11(2)，与负实轴的交点为（－1，j0），说明闭环系统临界稳定，有位于虚轴上的共轭虚根。若直接采用劳斯判据，系统的闭环特征方程为闭环极点为与奈氏判据的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一致。5.7设系统的开环幅相频率特性如图5.12所示，判断闭环系统是否稳定。图中P为开环传递函数在右半s平面的极点数，v为系统的型别。解：（a），，，，故闭环系统稳定。（b），，，，，故闭环系统稳定。（c），，，，故闭环系统不稳定。（d），在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画=2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。，，，故闭环系统稳定。（e），在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画=90°的圆弧与正实轴相交。，，，故闭环系统稳定。（f），在→0附近，曲线以为半径，逆时针补画=2·90°=180°的圆弧与正实轴相交。，，，故闭环系统不稳定。（g），，，，故闭环系统稳定。（h），，，，故闭环系统不稳定。5.8已知最小相位系统开环对数幅频特性如图5.13所示。（1）写出其传递函数；（2）绘出近似的对数相频特性。解：（a）1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由，求出K=1000。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=1rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；第二个转折频率2=10rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；第三个转折频率3=300rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。3）综上所述，该系统的开环传递函数为4）绘出近似的对数相频特性对于最小相位系统，对数频率特性的低频渐近线斜率为－20vdB/dec，相频特性()|→0=－90v°，均与积分环节的个数v有关；当→时，若n＞m，高频渐近线斜率为－20（n－m）dB/dec的斜线，()|→∞=－90（n－m）°。因此，本开环系统相频特性有，(0)=0°，(∞)=－270°。最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L()的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。转折频率处相位为：(1)=－51.7°，(10)=－131°，(300)=－223°。本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。解：（b）1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频段的斜率为－20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式L()=20lgK－20lg，可以求出K=100。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=1rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；第二个转折频率2=100rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；3）综上所述，该系统的开环传递函数为4）绘出近似的对数相频特性与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，(0)=－90°，(∞)=－270°。转折频率处相位为：(1)=－135°，(10)=－180°，(100)=－225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。解：(c)1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由，求出K=10。2）确定串联的各典型环节第一个转折频率1=5rad·s－1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为，由，此振荡环节为；第二个转折频率1=80rad·s－1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为，由，此二阶微分为。3）综上所述，该系统的开环传递函数为4）绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，(0)=0°，(∞)=0°，转折频率处相位为(5)=(80)=－91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。解：(d)1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L()=20lgK+20lg，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。2）确定串联的各典型环节转折频率=100rad·s－1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节。3）综上所述，该系统的开环传递函数为4）绘出近似的对数相频特性同上，本开环系统相频特性满足，(0)=90°，(∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。5.9系统开环传递函数如下，求系统的相角裕量，并判断闭环稳定性。（1）（2）解：（1）可知系统包含有放大、积分、两个二阶振荡环节，二阶振荡环节的参数为因此，转折频率分别为1=1rad·s－1、2=2rad·s－1。绘制开环伯德图如图5.16所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20dB。经过转折频率1后斜率为－60dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－100dB/dec。并有L(2)=L(1)－60lg2=2dB开环传递函数中两个振荡环节的阻尼比分别为ζ1=0.5，ζ2=0.4。由教材表5.7可知，对数幅频特性的修正值分别为0dB和2dB，误差很小，可不必修正，对分析闭环系统的稳定性与相对稳定性几乎没有影响。系统的幅值穿越频率可以直接从半对数坐标系上读取，也可根据渐近线求取， 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 如下：求得系统的幅值穿越频率c=2.2rad·s－1，代入系统的相频特性有直接求解三角函数，可以求出系统的相角穿越频率g，但计算十分复杂。实际上g也可以从半对数坐标系上读取，有g=0.8rad·s－1。将g代入低频渐近线表达式，可求得L(g)=20－20lgg=21.9dB，系统的幅值裕量为Lh=－L(g)=－21.9dB<0因此，闭环系统不稳定。解：（2）可知系统包含有放大、积分、两个惯性环节，转折频率分别为1=0.1rad·s－1、2=1rad·s－1。绘制开环伯德图如图5.17所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(0.1)=20lgK－20lg0.1=60dB。经过转折频率1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2后最终斜率为－60dB/dec。可以求得L(1)=L(0.1)－40lg1/0.1=20dB，并有系统的幅值穿越频率c=2.1rad·s－1，代入系统的相频特性有相角穿越频率g=0.32（rad/s）。将g代入中频渐近线表达式，可求得L(g)=L(0.1)－40lgg/0.1=40dB系统的幅值裕量为Lh=－L(g)=－40dB<0因此，闭环系统不稳定。5.10已知系统的开环传递函数如下（1）当K=1时，求系统的相位裕量；（2）当K=10时，求系统的相位裕量；（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。解：（1）当K=1时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20lgK－20lg1=0dB。经过转折频率1=1rad·s－1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=10rad·s－1后最终斜率为－60dB/dec。系统的幅值穿越频率c=1rad·s－1，代入系统的相频特性有相角穿越频率g=3.16rad·s－1，可求得系统的幅值裕量为Lh=－L(g)=20dB>0因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。（2）当K=10时，求系统的相位裕量；绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍，L()曲线上升20dB，相频特性保持不变。系统的幅值穿越频率c=3.16rad·s－1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有系统的幅值裕量为Lh=－L(g)=－L(c)=0dB因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L()曲线上升，导致幅值穿越频率c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。5.11某延迟系统的开环传递函数为试确定系统稳定时所允许的最大延迟时间max。解：绘制最小相位系统的对数幅频特性，如图5.19所示，系统的幅值穿越频率c=1rad·s－1。延迟环节不影响系统的对数幅频特性，但使相频特性随ω增加而滞后无限增加，延迟环节导致的相位滞后对闭环系统的稳定性不利。考虑到延迟环节的滞后作用，系统在c=1rad·s－1处的相位裕量为当系统临界稳定时，有因此，系统稳定时所允许的最大延迟时间max为注：在MATLAB中，可建立滞后系统的数学模型sys，并直接利用bode(sys)和nyquist(sys)绘制滞后系统的伯德图和奈氏图。指令如下：sys=tf(num,den,'inputdelay',a)其中，num定义为系统连续部分的分子多项式，den为系统连续部分的分母多项式，a定义为延迟环节的滞后时间。也可建立系统的零极点模型：sys=zpk(z,p,k,’inputdelay’,a)z、p、k分别为系统的开环零点、开环极点与开环传递系数。5.12某系统结构如图5.20所示，试按照开环频域指标γ和c之值估算闭环系统的时域指标σ%和ts。图5.20题5.12图解系统开环传递函数为绘制开环伯德图如图5.21所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(0.1)=52dB。经过转折频率1=0.125rad·s－1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率2=1rad·s－1后斜率为－20dB/dec，经过转折频率3=20rad·s－1后斜率为－40dB/dec。L(1)=L(0.1)－40lg1/0.1=12dB并有可求得系统的幅值穿越频率c=4rad·s－1，代入系统的相频特性有高阶系统的开环频域指标（γ、c）与时域指标（σ%，ts）之间的对应关系比较复杂，通常采用经验公式来近似。1）高阶系统的超调量与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算：2）高阶系统的调节时间与相位裕量的关系通常用下述近似公式估算以上估算公式是在比较严格的情况下推导的，实际值往往更理想。通过MATLAB仿真可得，此系统准确的动态性能指标为：，。可见，利用开环频域指标γ和c估算闭环高阶系统的时域指标σ%和ts，是完全满足 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 实际的。5.13已知单位负反馈系统的开环传递函数，试绘制系统的闭环频率特性，计算系统的谐振频率及谐振峰值，并估算闭环系统的时域指标σ%和ts。（1）（2）解：（1）方法一：可以先画出开环对数频率特性L()及()，再利用尼柯尔斯图线绘制系统闭环对数频率特性。方法二：由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。1）系统的闭环传递函数为根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，见图5.22(1)。对于振荡环节，以渐近线代替实际对数幅频特性时，要特别注意误差修正。如果在0.47~0.7范围内，误差不大；而当很小时，要有一个尖峰纠正。对于ζ=0.25，查教材表5.6修正表，可得转折频率T=4rad·s－1处最大误差为6dB。在转折频率附近的修正曲线见图5.37虚线，可以明显地看出振荡环节出现了谐振。而且ζ越小，谐振峰值Mr越大，谐振角频率ωr越接近于转折频率T（无阻尼自然振荡频率n）。已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Mr(r)与系统特征量之间的关系为2）闭环系统的时域指标σ%和ts计算如下二阶系统的时域指标与频域指标之间有一一对应的关系，根据或由教材图5.70二阶系统σ%、Mr、γ与ζ的关系曲线，可直接查得解：（2）同理，由于是二阶系统，可以根据闭环传递函数直接求取系统的闭环频率特性。系统的闭环传递函数为一阶微分环节的转折频率1=2rad·s－1处，渐近线斜率在此增加20dB/dec。二阶振荡环节的参数为根据伯德图的绘制规律，求出系统的闭环频率特性，如图5.22(2)所示。对于振荡环节，由于=0.89＞0.707，系统不产生谐振，并在转折频率2=3.45rad·s－1处有约－5dB的修正量。由教材图3.24，当=0.89时，系统过渡时间约为=0.89＞0.707，系统无振荡。但系统有闭环零点－z=－2，而闭环零点的作用将使系统响应加快，并有超调，且闭环零点离闭环极点越近，影响就越大。本系统的闭环极点为s1,2=3.11j1.53，因此闭环零点对系统响应的影响较大。通过MATLAB仿真，系统的单位阶跃响应的动态性能指标为：σ%=14%，ts=1.16s。5.14某单位负反馈的二阶Ⅰ型系统，其最大超调量为16.3%，峰值时间为114.6ms。试求其开环传递函数，并求出闭环谐振峰值Mr和谐振频率r。解二阶系统的开环传递函数为对于二阶系统，开环频域指标与时域指标之间有着准确的数学关系。1）二阶系统γ与系统平稳性之间的关系系统超调量σ%和系统阻尼比ζ之间的关系为开环频域指标相位裕量γ与阻尼比ζ之间的对应关系为γ=arctan将已知的最大超调量16.3%代入，可求得也可由教材图5.70直接查曲线求得。2）二阶系统c、γ与系统快速性之间的关系在时域分析中，已知二阶系统峰值时间ts为（误差Δ=5%）因此，有二阶系统的开环传递函数为3）谐振峰值Mr(r)与之间的关系已知二阶系统谐振频率r和谐振峰值Mr与系统特征量之间的关系为MATLAB实验指导M5.1某系统开环传递函数为试绘制出系统的Bode图与nyquist图，并判断闭环系统的稳定性。解：MATLAB程序如下num=[100400];den=conv(conv(conv([10],[10.5]),[150]),[150])%求分母（多项式相乘）sys=tf(num,den);%建立开环系统传递函数模型w=[0.1:0.2:10];%定义频率范围[mag,phase,w]=bode(sys);%求开环伯德图[gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys);%求系统的开环频域指标figure(1)%将系统开环伯德图绘制在第一张图片上margin(sys)%在图片上标注所求的开环频域指标figure(2)%建立第二张图片nyquist(sys)%在第二张图片上绘制开环奈氏图所求得的系统Bode图与Nyquist图见图5.23。(a)开环Bode图(b)开环Nyquist图图5.23实验M5.1系统Bode图与Nyquist图开环系统为最小相位系统，并由开环奈氏图可得：，，，故闭环系统稳定。M5.2设控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性。解：MATLAB程序如下num=100*conv([15],[15]);%求分子（多项式相乘）den=conv([11],[1-19]);%求分母（多项式相乘）sys=tf(num,den);nyquist(sys)所求得的系统Bode图与Nyquist图见图5.24。图5.24实验M5.2系统开环Nyquist图开环系统为非最小相位系统，并由开环奈氏图可得：，，，故闭环系统稳定。M5.3单位负反馈系统开环传递函数为（1）试绘制系统开环对数频率特性，并求取相关频域指标ωc、ωg、γ、Lh；（2）求取闭环系统的单位阶跃响应曲线。解：MATLAB程序如下num=[510];den=conv(conv([10],[11]),[0.051]);%求分母（多项式相乘）sys=tf(num,den);w=[0.1:0.2:10];[mag,phase,w]=bode(sys);[gm,pm,wcp,wcg]=margin(sys)figure(1)margin(sys)figure(2)step(feedback(sys,1))%求闭环系统的阶跃响应计算结果如下：gm=Inf%开环频域指标Lhpm=65.3692%开环频域指标γwcp=Inf%开环频域指标ωgwcg=5.1060%开环频域指标ωc所求得的系统Bode图与阶跃响应图见图5.26。(a)开环Bode图(b)闭环系统阶跃响应曲线图5.26实验M5.3系统Bode图与阶跃响应图M5.4试绘制二阶振荡环节的Nichols图。解：以典型的欠阻尼二阶振荡环节为例，，传递函数为MATLAB程序如下num=[1];den=[10.41]sys=tf(num,den);figure(1)nichols(sys)%绘制二阶振荡环节的Nichols图ngrid%添加Nichols图线此典型二阶振荡环节的Nichols图见图5.27。图5.27实验M5.4二阶振荡环节的Nichols图M5.5设单位负反馈系统的开环传递函数为试应用Nichols图线求取系统的闭环Bode图。解：MATLAB程序如下num=[1];den=conv(conv([10],[0.51]),[11]);sys=tf(num,den);%建立开环传递函数模型figure(1)nichols(sys)ngridsys1=feedback(sys,1)%建立闭环传递函数模型figure(2)bode(sys1)%绘制闭环伯德曲线grid%在图片上添加比例栅格holdon%在本张图片上继续绘制伯德曲线bode(num,den)%绘制开环伯德曲线系统Nichols图线与Bode图见图5.28。(a)Nichols图(b)开环Bode图与闭环Bode图图5.28实验M5.5系统Nichols图线与Bode图0[－40]/(rad·s－1)mm[-20]－101ReIm0－170805()/（°）(d)10010104590/(rad·s－1)()/（°）(c)0－18012[－40][－20]60－602020－2040[－20]0.01/(rad·s－1)/(rad·s－1)[－60][0]100L()/（dB）5图5.15题5.8系统开环对数相频特性－0.12－3.326[0]0.1101/(rad·s－1)[－20]00－90－180()/20L()/（dB）/(rad·s－1)2图5.4题5.3（4）系统频率特性(b)对数频率特性→→0Re－j0.94Im→－10－0.05→00－1－90/(rad·s－1)/(rad·s－1)（a）（b）图5.9题5.4伯德图[+20]0603000()/20lgL()/(dB)/(rad·s－1)L()/(dB)()/→－5ReIm→0（1）（2）图5.11题5.6系统幅相频率特性图5.12题5.7图0.820g0.010.01－45010－36010121－12040－270[－100]0.1ωc=2.2/(rad·s－1)－180()/（°）0.1/(rad·s－1)[－60]图5.14题5.8系统开环对数相频特性[－20](a)3.16102303－80[－60]L()/(dB)2－401001010－901－270()/（°）300100101(b)()/（°）100－90－180－40－180/(rad·s－1)1图5.10题5.5控制系统的开环伯德图－90/(rad·s－1)－2708020g=0.32－2040－270[－60]ωc=2.1/(rad·s－1)－180()/（°）0.01/(rad·s－1)[－40][－20]1060L()/（dB）1－400.1－90图5.17题5.9(2)控制系统的开环伯德图100101ωcb20g－2040－270[－60]ωca/(rad·s－1)－180()/（°）0.1/(rad·s－1)[－40][－20]1000.125L()/（dB）10－401图5.18题5.10控制系统的开环伯德图－90K=1aK=10b1220.01100101203.45－2040－270[20]ωc/(rad·s－1)－180()/（°）0.1/(rad·s－1)[－40][－20]100L()/（dB）10－401图5.19题5.11控制系统的开环伯德图－90ψ()[－40][－20]6020lgM52[0]－90202020－2040ωc=40.01/(rad·s－1)[－40][－20]10L()/（dB）1－400.1图5.21题5.12控制系统的开环伯德图－202/(rad·s－1)0()/（°）/(rad·s－1)[－20]L()/（dB）－403.45ψ()20lgM2[0]0.4420－20ωr/(rad·s－1)－180()/（°）0.4/(rad·s－1)[－40]L()/（dB）－404(1)(2)图5.22题5.11控制系统的开环伯德图0[0]图5.1题5.3（1）系统频率特性(b)对数频率特性→→0100→0Re－1010Im(a)幅相频率特性/(rad·s－1)101[－20]00－45－90()/20L()/（dB）/(rad·s－1)－135－1802()1()1()2()135180[0]110010/(rad·s－1)[－20]004590()/20L()/（dB）/(rad·s－1)10图5.2题5.3（2）系统频率特性(b)对数频率特性→→0→0Re－10Im(a)幅相频率特性→00.002/(rad·s－1)[－20]101[－40]－135－18020.11010.20.02/(rad·s－1)[－20]0－90()/20L()/（dB）/(rad·s－1)图5.3题5.3（3）系统频率特性(b)对数频率特性→→0Re－1Im(a)幅相频率特性－135－90－450[－40]0.020.2[－20]0－180()/20L()/（dB）/(rad·s－1)图5.5题5.3（5）系统频率特性(b)对数频率特性→→0ReIm(a)幅相频率特性40600[－60](a)幅相频率特性2图5.16题5.9(1)控制系统的开环伯德图[0]0.1101/(rad·s－1)－27000－90－180()/20L()/（dB）/(rad·s－1)10图5.6题5.3（6）系统频率特性(b)对数频率特性→→0Re－j9.43Im(a)幅相频率特性10－2700[－20]1－20[0]0.1101/(rad·s－1)00－90－180()/图5.13题5.8图L()/（dB）/(rad·s－1)1图5.7题5.3（7）系统频率特性(b)对数频率特性→→0Re－j0.42Im(a)幅相频率特性PAGE108