中国科学院大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试
试题
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科目名称：高等代数考生须知：1.本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟；2.所有
答案
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必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。————————————————————————————————————————̸一、(20分)设ai+bj=0,求以下矩阵的行列式值:−−−(a+b)1(a+b)1···(a+b)111121n−1−1···−1(a2+b1)(a2+b2)(a2+bn)A=············.−1−1···−1(an+b1)(an+b1)(an+bn)二、分已知二次型22β2−−的秩为(20)f(x1,x2,x3)=5x1+5x2+x32x1x2+6x1x36x2x32.(1)求β的值;(2)求一实正交变换,将上述二次型化为
标准
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型,并求出标准型.三、(12分)矩阵A的n−1阶子式不全为零,给出齐次方程组Ax=0的一组解,并求方程所有的解,其中···a11a11a1n···a21a22a2nA=············.···an−1,1an−1,2an−1,n四、(12分)V是n维线性空间，V1,V2是V的子空间,且∩dim(V1+V2)=dim(V1V2)+1.∩∩求证:V1+V2=V1,V1V2=V2或V1+V2=V2,V1V2=V1.λ1.λ..五、分
证明
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与阶若当块可交换的矩阵必为的多项式(16)nJ=.J...1λ六、(12分)n阶方阵A的每行每列恰有一个元素为1或−1,其余元素均为零.证明存在正整数m使得Am=E,其中E为单位矩阵.七、(15分)设A是两个n阶复矩阵,定义Mn(C)上的线性变换T(x):=AX−XA.A的λλ···λTλ−λ≤≤特征值为1,2,,n(不考虑重根).证明的特征值必可写成ij(1i,jn)的形式.八、(15分)设A,B是两个n阶复矩阵,如果AB−BA=2B.证明:(1)存在n维列向量u和常数µ,使得Au=µu和Bu=0;(2)A,B同时可上三角化.考试科目：高等代数第1页共2页k九、(15分)设多项式g(x)=p(x)g(x)(k≥1),多项式p(x)与g(x)互素.证明:对任意多项式f(x)有f(x)r(x)f(x)=+1kk−1,g(x)p(x)p(x)g1(x)其中r(x),f1(x)都是多项式,r(x)=0或r(x)的次数小于p(x).考试科目：高等代数第2页共2页
浙公网安备 33021202002483