高中数学讲义微专题47 多变量表达式范围——放缩消元法

www.ks5u.com微专题47多变量表达式的范围——放缩消元法一、基础知识：在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值1、放缩法求最值的理论基础：不等式的传递性：若，则2、常见的放缩消元手段：（1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元（2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果（3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果（4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。3、放缩消元过程中要注意的地方：（1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“”；若求最大值，则对应的不等号为“”。放缩的方向应与不等号的方向一致（2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于的表达式进行放缩消去，得到，例如，则下一步需要求出的最小值（记为），即，通过不等式的传递性即可得到。同理，若放缩后得到：，则需要求出的最大值（记为），即，然后通过不等式的传递性得到（3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去二、典型例题：例1：设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为____________思路：考虑分别求出的最大值与最小值，先求的最大值，只需取最小，取最大：即，再求的最小值，由可知利用进行放缩，从而消去，可得：，再利用均值不等式可得：，所以的最小值，从而 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：例2：已知是任意三点，，则的最小值是_______思路：因为，所以结合不等号的方向可将消去，从而转化为关于的表达式：，然后可从出发，构造出与第一项互为倒数的性质以便于利用均值不等式解出最值：，从而有：，所以答案：例3：设实数满足，则的最大值为__________思路：由可联想到与的关系，即，所以，然后可利用进一步放缩消元，得，在利用即可得到最大值：，所以的最大值为，其中等号成立条件为：答案：小炼有话说：本题也可从入手，进行三角换元：，由可得，然后根据不等号的方向进行连续放缩，消去即可得到最值：例4：已知关于的一元二次不等式在实数集上恒成立，且，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：由不等式恒成立可得：，结合所求表达式和不等号方向可知更易于消去，即，所以，对于该其次分式可两边同时除以，可得：，令由可知从而将问题转化为求的最小值。，从而答案：D小炼有话说：本题的关键之处在于选择消去的元，如果选择，则因分式中含的项较多，消元会比较复杂，不利于求得最值。所以处理多变量表达式的最值时，选择消去合适的元是关键例5（2010，四川）设，则的最小值为（）A.B.C.D.思路：表达式含变量个数较多，且没有等量条件消元，所以考虑式子中是否存在不等关系来减少变量个数，观察式子可发现存在完全平方式，即，从而消去了，得，然后根据分母特征：构造，由均值不等式得：，验证等号成立条件：，从而最小值为答案：D小炼有话说：本题在处理的最值时还可以从分式入手：，从而对分母利用均值不等式：消去，所以例6：已知正数满足，则的最小值是_______思路：所求表达式涉及3个变量，首先确定主元，通过观察可发现分母中的可与条件中的具备不等关系，而可用表示，且不等号的方向与所求一致，故考虑利用不等式进行放缩消元，进而得到关于的表达式求得最值解：，因为所以有（等号成立条件：）例7：设，且，则的最大值是____________思路：本题虽然有3个变量，但可通过进行消元，观察所求式子项的次数可知消去更方便，从而可得。然后可使用“主元法”进行处理，将视为主元，即但本题要注意的取值范围与相关，即，通过配方（或求导）可知的最大值在边界处取得，即，，从而达到消去的效果，再求出中的最大值即可解：设为的极小值点其中设若可得：例8：已知函数（1）求的解析式及单调区间（2）若不等式恒成立，求的最大值解：（1），代入可得：，令可得：，可知在上单调递增时，时，在单调递减，在单调递增（2）恒成立的不等式为：即设，令，即解不等式若，可解得在单调递减，在单调递增下面求的最大值令，设令，可解得在单调递增，在单调递减当时，可得当时，为增函数且时，，，与恒成立矛盾综上所述：的最大值为例9：已知函数，求的最小值思路：在多元表达式中不易进行变形消元，观察到变量存在二次函数的结构，所以考虑利用“主元法”，将视为自变量，视为参数，通过配方，并利用完全平方数的特征消去，从而得到关于的函数，然后求得最小值即可。解：设设，可知在单调递减，在单调递增恒成立令，即解不等式在单调递减，在单调递增即的最小值为例10：已知函数（1）若在上的最大值和最小值分别记为，求（2）设，若对恒成立，求的取值范围解：（1）①当时，可得在单调递增②当时，可得：在单调递减，在单调递增由可知：当时，当时，③当时，可得在单调递减综上所述：（2）不妨设由恒成立可知：恒成立即对任意的恒成立且即且①当时，由（1）可知无解②当，，即即另一方面：设恒成立在单调递增③当，，即解得：设恒成立在单调递增④当时，综上所述：_1513446781.unknown_1514633202.unknown_1514640635.unknown_1515421316.unknown_1515421467.unknown_1515422615.unknown_1515423106.unknown_1515423162.unknown_1515423218.unknown_1515423296.unknown_1515423313.unknown_1515423202.unknown_1515423147.unknown_1515423038.unknown_1515423048.unknown_1515423056.unknown_1515422647.unknown_1515421613.unknown_1515421635.unknown_1515421489.unknown_1515421514.unknown_1515421484.unknown_1515421400.unknown_1515421415.unknown_1515421431.unknown_1515421352.unknown_1515421370.unknown_1515421388.unknown_1515421347.unknown_1514640737.unknown_1514640973.unknown_1515411260.unknown_1515421305.unknown_1515411236.unknown_1514641024.unknown_1514640781.unknown_1514640810.unknown_1514640972.unknown_1514640759.unknown_1514640658.unknown_1514640681.unknown_1514640649.unknown_1514633590.unknown_1514640529.unknown_1514640605.unknown_1514640621.unknown_1514640550.unknown_1514639152.unknown_1514640489.unknown_1514640498.unknown_1514640478.unknown_1514639069.unknown_1514639076.unknown_1514639151.unknown_1514639044.unknown_1514633347.unknown_1514633479.unknown_1514633588.unknown_1514633589.unknown_1514633587.unknown_1514633444.unknown_1514633245.unknown_1514633284.unknown_1514633223.unknown_1513448559.unknown_1514572553.unknown_1514626327.unknown_1514629793.unknown_1514629841.unknown_1514633083.unknown_1514633160.unknown_1514629929.unknown_1514629930.unknown_1514629928.unknown_1514629927.unknown_1514629813.unknown_1514629828.unknown_1514629807.unknown_1514629746.unknown_1514629767.unknown_1514629777.unknown_1514629753.unknown_1514629658.unknown_1514629670.unknown_1514626354.unknown_1514626158.unknown_1514626319.unknown_1514626320.unknown_1514626225.unknown_1514626114.unknown_1514626122.unknown_1514572563.unknown_1513448827.unknown_1513449112.unknown_1513449130.unknown_1514572544.unknown_1513449122.unknown_1513449067.unknown_1513449107.unknown_1513449041.unknown_1513448681.unknown_1513448721.unknown_1513448728.unknown_1513448747.unknown_1513448698.unknown_1513448588.unknown_1513448633.unknown_1513448577.unknown_1513447170.unknown_1513448434.unknown_1513448508.unknown_1513448537.unknown_1513448463.unknown_1513447176.unknown_1513448381.unknown_1513446965.unknown_1513447066.unknown_1513447074.unknown_1513447089.unknown_1513446990.unknown_1513446828.unknown_1513446860.unknown_1513446923.unknown_1513446939.unknown_1513446886.unknown_1513446848.unknown_1513446816.unknown_1513104947.unknown_1513232680.unknown_1513442542.unknown_1513445218.unknown_1513446704.unknown_1513446748.unknown_1513446764.unknown_1513446723.unknown_1513446672.unknown_1513446681.unknown_1513445305.unknown_1513445361.unknown_1513446645.unknown_1513445360.unknown_1513445251.unknown_1513442907.unknown_1513444277.unknown_1513445128.unknown_1513445171.unknown_1513445119.unknown_1513444288.unknown_1513442963.unknown_1513444235.unknown_1513442948.unknown_1513442685.unknown_1513442698.unknown_1513442883.unknown_1513442676.unknown_1513233093.unknown_1513233733.unknown_1513234015.unknown_1513234067.unknown_1513442499.unknown_1513442524.unknown_1513234142.unknown_1513442476.unknown_1513234156.unknown_1513234105.unknown_1513234041.unknown_1513234061.unknown_1513234023.unknown_1513233917.unknown_1513233993.unknown_1513234004.unknown_1513233929.unknown_1513233781.unknown_1513233840.unknown_1513233858.unknown_1513233885.unknown_1513233828.unknown_1513233758.unknown_1513233398.unknown_1513233559.unknown_1513233641.unknown_1513233651.unknown_1513233660.unknown_1513233687.unknown_1513233602.unknown_1513233428.unknown_15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