第二章 干涉理论基础和干涉仪 OF 季家镕 高等光学教程

94 第二章 干涉理论基础和干涉仪 §2-1 时间相干性 一、等幅光振动的频谱 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 发光原子发出的一个波列可以用有一定持续时间的等幅光振动来描述(图 2-1)。设在 振动的持续时间τ内角频率为ω πν0 02= ，若只考虑光波场的时间函数部分，则可将它表 示为 f t Ae t t j t ( ) = ≤ > ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ − ω τ τ 0 2 0 2 当 当 (2.1-1) 图 2-1 一段有限长度的等幅正弦波在持续时间τ 内其角频率为ω 根据(1.2-73b)式，它的时间频谱密度函数为 [ ] [ ]F f t e t A A cj t( ) ( ) sin ( )( ) sin ( )ν τ π ν ν τ π ν ν τ τ ν ν τ πν= = −− = −−∞ ∞∫ 2 0 0 0d (2.1-2) 图 2-2 时间谱密度函数 ( )νF 的曲线 F( )ν 的函数曲线如图 2-2 所示。由图中看到，以单位频率划分，处于ν ν= 0附近的光波 分量所占的比例最大。以ν0为中心，离它最近的零点对应的光频设为ν1、ν2，由(2.1-2) 式求出 95 ν ν τ2 1 2− = (2.1-3) 定义 Δν ν ν= −1 2 2 1 ( ) (2.1-4) 为上述等幅谐波 f t( )的频谱宽度，由以上两式求出 Δν τ= 1 (2.1-5) τ是波列的持续时间，也叫相干时间。(2.1-5)式表明相干时间τ和光源的频谱宽度Δν两者 之间成倒数关系，等幅时间谐波的持续时间越长，即相干时间越长，光源的频谱宽度就越 窄，它的光谱就越纯，光源的单色性就越好。下面我们讨论等幅光振动的两种重要情况。 (a) 单色光波 设波列的持续时间 − ∞ < < ∞t ，也就是说τ → ∞，由δ 函数的定义式之一（见附录 A） δ ( ) lim sin ( )x N c Nx N = →∞ 得到 F A( ) ( )ν δ ν ν= − 0 (2.1-6) 可见持续时间τ为无限的等幅光振动只含有单一的频率成份。也就是说，理想的单色波在 时间上应是无界的，其频带无限窄。 (b) 准单色波 单色光只是一个理论上的概念，在实际上它是不存在的。有一类光波，它的频谱宽度 Δν与中心频率ν0之比满足条件 Δν ν0 1<< (2.1-7) 我们称之为准单色光，这时它很接近于单色光。在§1-2 中讨论波包和群速度时已经运用 了这一概念。与(1.2-75)式相同，准单色振动表示为 f t A t e j t( ) ( )= − 2 0πν (2.1-8) 式中 [ ]A t F j t( ) ( )exp ( )= − −−∞ ∞∫ ν π ν ν ν2 0 d (2.1-9) A t( )是一个慢变函数，它作为振幅的包络调制了一个频率为ν0的振动。与 Δν相比ν0具 有很大的值，只有在准单色光的条件下才能应用振幅包络的概念来描述光振动。 图 2-3 迈克尔逊干涉仪 96 二、时间相干性的描述 图 2-4 中 A是由光源 S中的发光原子发出的一列长度为 L的波列，图中 M1、 M2表 示图 2-3中迈克耳逊干涉仪的两个反射镜面，等效间距为 h。 ′A 、 ′′A 是分别由 M1、M2 反射回来的光波，设它们的振幅相等或近似相等。实际的干涉仪中 ′A 、 ′′A 在到达屏之前 是共线的，在图 2-4中我们故意将它们画得稍有分开。 ′A 、 ′′A 先后经过空间中同一点 P， 那么这两个波列通过 P点时相重叠的长度为 L h− 2 ，在 h一定的情况下，波列越长则重叠 的长度也越长。设 ′′a 、b′点分别对应于波列 A上的 a、b两点，因而 ′A 、 ′′A 两波列在 P 点相干涉的结果完全取决于 a、b两点之间的相位差。实际上光源发出的光的波列是大量 的，同时经过 P点的 N 对波列在镜面反射前原为 N 个波列，每对波列间重叠区域为 L hn − 2 (式中 Ln为分开前第 n列光波的长度)。虽然不同原子发出的光波波列长度 Ln不相 同，光波的相位之间彼此独立，但任一个波列在经 M M1 2反射后均得到两列波，它们在 P 点相遇时光程差均为 2h，因此相位差δ π λ= 4 h 。由双光束干涉强度分布的公式 I I I I I= + +1 2 1 22 cosδ 它们干涉产生的效果都相同，也就是说在 P点的光强将有一个与时间无关的稳定的分 布。每对光波除重叠部分外，不重合的部分，如 ′ ′a b 段等与其它波列中的不重合段在空间 中同一点迭加时，由于相互间的相位关系是随机的，只能以光强度迭加不产生干涉效应。 因而总体来说只能形成一个具有一定光强度分布的背景，有光强起伏的条纹就迭加在它的 上面。显然像 ′ ′′A A 那样在 h一定时，每对光波之间重叠部分越多产生的干涉花样的可见 度就越高。对于由大量原子构成的系统来说，下面的讨论中我们取发光原子发出的光波波 列长度的统计平均值，并用它作为统一的波列长度来讨论相关问题。在上面的干涉实验中， 光波能够具有的最大重叠部分的长度就称为光波的相干长度，用 Lc表示，实际上它就是 光波波列的长度， Lc取决于光源中原子一次发光所持续的时间，即相干时间τ。 L cc = τ (2.1-10) τ也就是整个波列通过 P点所需要的时间。 图 2-4 波 ''' , AA 来自同一波列， 图 2-5 当 21 ,MM 之间的距离 h大于 重叠部分能够发生干涉 L/2时，波列 ''' , AA 不会重叠 97 将上式两边取微分后可以证明光源的相干长度与光波波长、光谱宽度Δλ (或Δν )之间 的关系为 Lc = λλ 0 2 Δ (2.1-11) 或 L cc = Δν (2.1-12) 上式表明了 Δν越小，则光源的单色性越好，相干长度越长。例如有一个光源光谱的宽度 Δν = ×15 104. MHz，由(2.1-12)式 Lc ≈ 2 cm。因此，若在迈克耳逊干涉仪中用这样的光作 光源，当 h = 0时，条纹的可见度为 1， h由 0 开始增大时条纹的可见度就随之下降，当 h > 1cm 时，按照上述模型完全观察不到干涉花样，可见度变为 0，这时的波列情况示于 图 2-5 中，这时由同一波列在振幅分割后形成的两列次波不再有重迭部分。虽然 ′′ ′A B 、 ′′ ′B C 等可能有重迭部分，但由于 A、 B、C等大量的波列之间相位关系是随机的，没有 固定的联系，有的波之间相长，有的波之间相消，就总的平均效果来说不能形成干涉花样。 这里也看到当两束光发生干涉时，只有在光程差小于光源的相干长度时才能有可观察的干 涉花样出现。 综上所述，在迈克耳逊干涉仪的例子中，对于空间中的某一固定点，通过它的两个光 波列的相关程度，即它们通过这一点时最长能有多长时间是相干的与光源的相干性质有 关，这一相干性质也就是光源的时间相干性。两列光波经过该点时最长的重叠时间即相干 时间τ c、两列光波最大的重叠长度即相干长度 Lc、光源的光谱宽度 Δν都取决于光源中 发光原子发出波列时一次持续的时间。通过上述固定点相叠加的两个光扰动，干涉的效果 从时间上来说取决于来自同一波列上两个不同时刻由光源产生的扰动之间的相关性；从空 间上来说取决于同一波列上两个不同位置光振动的相位关联，即光波场在纵方向上两点的 相位关联，实际上也就反应了光波场在时间上的相关特性。 一个光源发出的光波场的时间相干性的好坏通常就用光源的相干时间τ c、相干长度 Lc和光谱宽度 Δν (或 Δλ )这三个量之一去衡量，相干时间越长，或相干长度越长，或光 谱宽度越窄，则光波场的时间相干性就越好，反之时间相干性就越差。 §2-2 单色光波的干涉 一、一般单色光波的干涉 1、双光束干涉的光强分布 第 i 个单色光波场电矢量的表达式为 [ ]{ }U Ui i i ix y z t A j t x y z j t( , , ; ) exp ( , , ) exp( )= − − = −ω φ ω0 (2.2-1) 式中复振幅 [ ]U0i i iA j x y z= exp ( , , )φ (2.2-2) 设有偏振方向相同的两列单色光波，表示为 98 [ ]U U1 01 1 1( , , ; ) ( , , ) exp( ) exp ( , , ) exp( )x y z t x y z j t A j x y z j t= − = −ω φ ω (2.2-3) [ ]U U2 02 2 2( , , ; ) ( , , ) exp( ) exp ( , , ) exp( )x y z t x y z j t A j x y z j t= − = −ω φ ω (2.2-4) 两光束的合成光振动为 U U U= +1 2 (2.2-5) 由(1.3-17)式，光强为 I I I I I= = + +U 2 1 2 1 22 cosδ (2.2-6) 式中 I A1 12 01 2 12 1 2 1 2 = = =U U ， I A2 22 02 2 2212 1 2 = = =U U δ φ φ= −1 2 这就是双光束干涉所得干涉光波强度的一般公式。 当δ π= 2m 时(m为整数) I I I I Imax = + +1 2 1 22 (2.2-7a) 当δ π= +( )2 1m 时(m为整数) I I I I Imin = + −1 2 1 22 (2.2-7b) 2、干涉条纹的可见度函数 光源的光谱宽度和光源的横向尺寸对干涉条纹的清晰程度有很大的影响，为了定量地 描述这一现象，迈克耳逊引入了可见度函数的概念。设干涉条纹分布在一个二维平面上， 在点 ( , )x y 附近条纹的可见度函数定义为 V x y I I I I ( , ) max min max min = −+ (2.2-8) 由(2.2-7)式得到 V x y I I I I ( , ) = + 2 1 2 1 2 (2.2-9) V x y( , )是坐标的函数，干涉场中不同区域的可见度不一定相同。V x y( , )的取值范围是 0 1≤ ≤V x y( , ) 二、单色平面波的干涉 1、三维平面波的干涉 在(2.2-5)式中令 Ai为常数，φ ϕ1( , , )x y z i i= ⋅ +k r 及 i = 1 2, ，就得到同频率的两个相干 平面波的复数表达式 [ ]U k r1 1 1 1= − − ⋅ −A j texp ( )ω ϕ (2.2-10) [ ]U k r2 2 2 2= − − ⋅ −A j texp ( )ω ϕ (2.2-11) 式中，ϕ1、ϕ2为初相位， k1、 k2为平面波的波矢，其分量形式为 k i j k1 1 1 1= + +k k kx y z k i j k2 2 2 2= + +k k kx y z 99 作简化处理令ϕ ϕ1 2= ，则这两个平面波在三维空间中某点 ),,( zyxP ，相遇发生干涉时的 相位差。 δ ( , , ) ( ) ( ) ( )x y z k k x k k y k k zx x y y z z= ⋅ − ⋅ = − + − + −k r k r2 1 2 1 2 1 2 1 (2.2-12) P点的光强分布 I x y z I I I I x y z A A A A x y z( , , ) cos ( , , ) cos ( , , )= + + = + +1 2 1 2 12 22 1 22 12 1 2 δ δ (2.2-13) 当δ ( , , )x y z =常数时，(2.2-12)式是三维空间中平面的方程。特别地，当δ π( , , )x y z m= 2 ， m取间隔为 1 的整数时，由(2.2-12)式得到三维空间中等间距的平行平面族。平面所在的 位置就是空间中光强取极大值的位置，这时形成了光强度的三维周期分布。若在 z z= 0处 放置一个平行于 xoy平面的屏，在屏上就可以看到二维的干涉条纹分布，条纹的极大值位 置由下式确定 ( ) ( ) ( )k k x k k y m k k zx x y y z z2 1 2 1 2 1 02− + − = − −π (2.2-14) 这是二维平面上一组等间距的直线方程，在图 2-6中以Δx和Δy分别表示沿 x轴和 y轴方 向相邻亮条纹中央极大的间距 Δx k kx x = − 2 2 1 π ， Δy k ky y = − 2 2 1 π (2.2-15) 条纹间距 d x y x y = + Δ Δ Δ Δ( ) ( )2 2 (2.2-16) 图 2-6 两列平面波在观察平面 图 2-7 波矢方向与 z轴夹角为θ 的两个 xy上产生的干涉条纹 单色平面波在 z＝0的面上相互干涉 特别地对于波矢 k的方向平行于 yoz平面，且分别以 θ− 角和θ角入射于 xoy平面上 的两个振幅相等的相干平面波(图 2-7)。在 xoy平面上，这两个入射平面波的复振幅分布分 别为 [ ]U1 = − +A j t kyexp ( sin )ω θ [ ]U2 = − −A j t kyexp ( sin )ω θ xoy平面上根据(2.2-6)式，干涉光强分布为 I A ky= 2 2 2cos ( sin )θ (2.2-17) 干涉条纹极大值满足条件 100 2π λ θ πy msin = ( , , , )m = ± ±0 1 2 L (2.2-18) 干涉条纹的间距 d = λ θ2sin (2.2-19) 由上式看出，两光束间的夹角越大，在 xoy平面上观察到的干涉条纹越密。 图 2－8 （a）入射波与反射波； （b）入射波与反射波的电矢量及其直角坐标分量 2、驻波 一单色平面波以θi角入射至高反射率（ R ≈ 1）的平面镜上，波矢为 ki。反射光也是 单色平面波，波矢为 kr。在它们的重叠区域形成了波矢方向夹角为π θ− 2 i的两束平面波 的干涉，如图 2-8(a)所示。在图 2-8(b)中表示出了入射光和反射光的电矢量及其直角坐标 分量，图中符号的意义与推导菲涅耳公式时所用符号的意义相同。计及时间变化因子，入 射平面波各直角坐标分量为 E E E ex i i i i i j i( ) / / ( ) / / ( )cos cos= − = − −θ θ τ0 (2.2-20a) E E E ey i i i j i( ) ( ) ( )= =⊥ ⊥ −0 τ (2.2-20b) ij i i i ii z eEEE τθθ −−=−= sinsin )( //0)(//)( (2.2-20c) 式中 τ ω ω ω θ θi i ix iy iz ix i iz it t k x k y k z t k x k z= − ⋅ = − + + = − −k r ( ) ( sin cos ) (2.2-21) 用同样的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 由图 2-8(b)得到反射平面波电矢量的直角坐标分量为 E E E ex r r r r r j r( ) / / ( ) / / ( )cos cos= = −θ θ τ0 (2.2-22a) E E E ey r r r j r( ) ( ) ( )= =⊥ ⊥ −0 τ (2.2-22b) E E E ez r r r r r j r( ) ( ) ( )sin sin= − = −⊥ ⊥ −θ θ τ0 (2.2-22c) 式中 τ ω ω ω θ θr r rx ry rz r r r rt t k x k y k z t k x k z= − ⋅ = − + + = − +k r ( ) ( sin cos ) (2.2-23) 由反射定律 θ θ θr i= = ， k kr i k= = (2.2-24) 因此可将(2.2-20)和(2.2-21)式中的θi、θr的下标省去， ki和 kr的大小均以 k 来表示。 由菲涅耳公式(1.5-19a)和(1.5-19b) ti ti i r nn nn E Er θθ θθ coscos coscos 21 21 )( 0 )( 0 + −== ⊥ ⊥ ⊥ (2.2-25a) 101 ti ti i r nn nn E Er θθ θθ coscos coscos 12 12 )( //0 )( //0 // + −== (2.2-25b) 当反射率很高时，可以假定 n n2 1>> ，在此条件下由(2.2-25)式得到振幅之间的关系式 E Er i0 0⊥ ⊥= −( ) ( ) ， )( //0)( //0 ir EE = (2.2-26) 将以上结果代入(2.2-22)式中，就得到用入射波电矢量的垂直和平行分量振幅来表示 的反射波电矢量的直角坐标分量 E E ex r i j r( ) / / ( ) cos= −0 θ τ (2.2-27a) E E ey r i j r( ) ( )= − ⊥ −0 τ (2.2-27b) rjir z eEE τθ −⊥= cos)(0)( (2.2-27c) 介质 1中任一点的总电场强度等于该点入射波和反射波的电场强度之和，即 E E E= +( ) ( )i r (2.2-28) E的 x分量为 E E Ex x i x r= +( ) ( ) = − +− −E e E ei j i ji r0 0/ /( ) / /( )cos cosθ θτ τ = − − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 20 E kz j t kxi/ / ( ) cos sin( cos )exp sinθ θ ω θ π (2.2-29a) 用同样方法得到 E E kz j t kxy i= − − − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥⊥ 2 20 ( ) sin( cos )exp sinθ ω θ π (2.2-29b) [ ]E E kz j t kxz i= − − −2 0/ /( ) sin cos( cos )exp ( sin )θ θ ω θ (2.2-29c) 用完全类似的方法得到介质 1中总磁场强度的三个直角坐标分量如下： [ ]H E n kz j t kxx i= − − −⊥2 0 1( ) cos cos( cos )exp ( sin )θ θ ω θ (2.2-30a) ( )( )0 // 12 cos( cos )exp siniyH E n kz j t kxθ ω θ= − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ (2.2-30b) H E n kz j t kxz i= − − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥⊥ 2 20 1 ( ) sin sin( cos )exp sinθ θ ω θ π (2.2-30c) 推导上式时在介质 1中应用了方程(1.3-14)和麦克斯韦关系式(1.1-48)，即 EsH ×= 1 1 μ ε 和 n r1 1= ε ε1、εr1、n1、μ1均为介质 1中的参数。ε1为介电常数，εr1为相对介电常数，n1为折射 率， μ1为磁导率，其中 ε ε ε1 0 1= r ， μ μ μ μ1 0 1 0= ≈r 。 (2.2-29)和(2.2-30)式中每一个表达式各代表一个沿 x方向传播的波，传播速度为 v k = ω θsin (2.2-31) 102 波的振幅不是常数，而是沿 z方向周期变化的量，其变化周期为 2 0 1 π θ λ θk ncos cos= (2.2-32) 式中λ0为真空中光波波长。 特别地，当光垂直入射至反射面时，θ = 0，反射波和入射波的传播方向正好相反， 相当于图 2-7或图 2-8中两光束间夹角为π 的情况。这时已经没有入射面的概念，为在讨 论问题时明确起见，设平行分量沿 x轴，垂直分量沿 y轴 E Ei x i 0 0/ / ( ) ( )= − ， E Ei yi0 0⊥ =( ) ( ) (2.2-33) 这样(2.2-29)和(2.2-30)式化成 E E kz j tx x i= − − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ 2 20 ( ) sin exp ω π (2.2-34a) E E kz j ty y i= − − −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 20 ( ) sin exp ω π (2.2-34b) Ez = 0 (2.2-34c) H E n kz j tx y i= − −2 0 1( ) cos exp( )ω (2.2-35a) H E n kz j ty x i= −2 0 1( ) cos exp( )ω (2.2-35b) Hz = 0 (2.2-35c) 从以上结果我们看到，在每一个时刻，介质 1中各点的相位都是常数，由(2.2-31)式， 当θ = 0时，波没有有限的传播速度。单色光在垂直入射时入射光和反射光相干涉形成的 场分布是一个驻波。电矢量和磁矢量的振幅是 z的周期函数。我们将振幅为 0的位置叫做 波节，振幅取最大值的位置叫做波腹。由(2.2-34)式看出电场的波节位置在 z m k m n = =π λ0 12 m = 0 1 2, , ,L (2.2-36) 而波腹位置在 z m n = λ0 12 m = 1 2 3 2 5 2 , , ,L (2.2-37) 比较(2.2-34)和(2.2-35)式，发现磁场的波节和电场的波腹所在位置重合，而磁场的波 腹和电场的波节所在位置重合。特别值得注意的是，在反射面处（ z = 0）电场是波节而 磁场是波腹。 1890年维纳（O. Wiener）首先在实验上证实了光驻波的存在，他所依据的实验原理 如图 2-9 所示。图中 M 为一上表面镀银的平面镜，一层透明的感光乳胶膜 F 涂在玻璃板 一侧的平面上，其厚度小于1 20波长。乳胶膜 F放在镜M之前，与M有一很小的倾角α， 图中将α角夸大了。一束准单色光垂直入射，入射光和反射相干涉形成上面所讨论的驻波。 光场作用于乳胶并使它曝光，经显影后得到明暗相间的条纹。维纳实验证明乳胶感光最强 的部分即图 2-9 中 1Q 、 2Q 、 3Q 、 4Q 等位置对应的是电场波腹所在的位置，而不是磁场 波腹的位置。乳胶感光实质上是一种光化学的过程，因此维纳实验的意义不仅仅是用实验 证实了光驻波的存在，而且证明了光化学作用直接与电矢量有关，而与磁矢量无关。这个 103 结论从电子论看来是理所当然的，乳胶感光过程是一个电离过程，其中一个电子从卤化银 的一个原子键上被移走，而作用在静止带电粒子上的电磁力是与电矢量成正比的。 图 2-9 维纳驻波实验 三、单色球面波的干涉 最早的光的干涉实验是杨氏(T.Young)于 1801年演示的，作为建立光的波动学说决定 性的一步，它具有重要的历史意义。杨氏干涉实验的原理如图 2-10、图 2-11 所示。一个 单色点光源照射到孔 S上以后就得到一个单色球面波。在屏 A上开有两个针孔，它们与 S 等距离，这样在 A的另一侧就得到两个初相位相同的单色球面波，它们传播至观察屏 M， 在屏上任一点 P x y( , )处，场的电矢量复数表达式分别为 [ ]U1 1 1 1= − −Ar j t krexp ( )ω (2.2-38) [ ]U2 2 2 2= − −Ar j t krexp ( )ω (2.2-39) 式中 A1、 A2与 S1、 S2处开孔的大小有关， D为屏 A与 M间的距离， d为 S1、 S2间的 距离。由简单的几何关系得到式中的 r1、 r2的表达式如下 r S P D y x d1 1 2 2 2 2 = = + + −⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (2.2-40) r S P D y x d2 2 2 2 2 2 = = + + +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ (2.2-41) 在 P点两球面波发生干涉，相位差 δ = − =k r r k S( )2 1 Δ (2.2-42) 式中ΔS r r= −2 1为两球面波到达 P点时的几何路程差。 在 P点干涉条纹的光强度 I I I I I I I I I k S= + + = + +1 2 1 2 1 2 1 22 2cos cos( )δ Δ (2.2-43) 式中 I1、 I2为这两个球面波之一单独到达 P点所产生的光强。 104 图 2-10 杨氏干涉实验 图 2-11 两个点光源产生干涉的图示 由(2.2-40)和(2.2-41)式， 2r 与 1r 之差为 ΔS r r D y x d D y x d= − = + + +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + + − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 (2.2-44) 根据上式就得到具有相同 SΔ 的点所满足的方程 x S y z d S 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 Δ Δ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = (2.2-45) 当 ΔS m= λ 时，(2.2-43)式所表示的干涉光强取极大值，取极大值的空间点 P x y z( , , )所满 足的方程 x m y z d m 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1λ λ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = (2.2-46) 该方程所表示的三维曲面为一旋转双曲面，其形状如图 2-12a所示，图中标出了不同m值 所对应的曲面。当我们把观察平面 M置于空间中不同地点，且保持不同取向时，观察到 的干涉条纹的形状不尽相同，正如图 2-12b所示。对应于观察平面垂直于 x轴的情形得到 一组圆环形条纹；观察平面 M垂直于 xoz平面，过坐标原点且与 xoy平面成 45o夹角的位 置，在 M上得到一组双曲线状的条纹；观察平面与 xoy平面重合，在坐标原点附近观察 到的条纹大致是平行的。现在就讨论最后一种情形，设满足条件 D d>> ，对于观察点 P x y( , )来说 x y D, << ，由(2.2-40)、(2.2-41)式取近似关系得 r r xd2 2 1 2 2− ≈ 又因为 r r D1 2 2+ ≈ 所以 ΔS r r xd D = − ≈2 1 (2.2-47) 105 图 2-12 两相干点源的干涉场 （a）等光程差面；（b）不同位置的条纹形状 设屏 A上两孔 S1和 S2一样大，到达 P x y( , )点的两球面波的振幅 A r A r1 1 2 2≈ ，因此 I I1 2≈ ，以 I0表示这一光强，由(2.2-43)式得到 P x y( , )点处的干涉光强 [ ]I I k S I dcD x= + = +⎡⎣⎢ ⎤⎦⎥2 1 2 1 2 0 0cos( ) cosΔ πν (2.2-48) 上式还可表示为 I I k S I xd D = ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟4 2 40 2 0 2cos cosΔ πλ (2.2-49) 当δ π= 2m ，即 x m D d = λ ( , , , )m = ± ±0 1 2 L (2.2-50) 时出现光强的极大值， I Imax = 4 0，为亮条纹。 当δ π= +( )2 1m ，即 x m D d = +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 λ ( , , , )m = ± ±0 1 2 L (2.2-51) 时出现光强的极小值， Imin = 0，为暗条纹。无论是亮条纹还是暗条纹，条纹间距均为 D d λ 。 以上结果表明，在放于坐标原点附近垂直于 z轴的观察屏上，在 z轴附近的干涉花样 由一组平行等间距，明暗相间的条纹组成，条纹强度分布随横向位置 x呈余弦函数规律变 化(见图 2-13、图 2-14)。 图 2-13 杨氏干涉条纹 图 2-14 由频率相同的两个光波产生的干涉条纹的强度分布 106 §2-3 准单色光的干涉 在杨氏干涉实验中设所用的光源 S为点状或与狭缝平行的线状，因而可以忽略光源的 横向尺寸。如果该光源发出有一定谱宽的准单色光，那么在观察屏上将会有什么样的光强 分布和可见度函数，这就是本节要讨论的内容。 一、光谱分布为矩形函数的准单色光的干涉 假设光源的光谱分布为 I I0 0 2 2 0 ( )ν ν ν ν ν ν= − < < + ⎧ ⎨⎪ ⎩⎪ Δ Δ 其它 (2.3-1) 光谱分布函数如图 2-15a所示。对于准单色光来说满足条件Δν ν<< 。光源中以ν 为 中心，谱宽为 dν 的光的强度为 I0 ( )ν νd ，两束这样的光相干涉，由(2.2-48)式干涉光强分 布为 d dI I d cD x= + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 1 2 0 ( ) cosν πν ν (2.3-2) 光源中所有频率成份的光产生的总干涉光强度为 I x I I d cD x( ) ( ) cos / /= = + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥−∞ ∞ − +∫ ∫d dν πν νν νν ν 2 1 2022ΔΔ = + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥⎥⎥ 2 1 20I dx cD dx cD dx cD Δ Δ Δ ν π ν π ν πν sin cos (2.3-3) 由于Δν ν<< ，所以上式中的余弦函数相对于它前面的 sinc函数来说是快变函数，所以式 中的 sinc函数是振幅包络，据此，可见度函数为 V x dx cD dx cD ( ) sin = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟π ν π ν Δ Δ (2.3-4) 干涉图样如图 2-15b所示，在屏的中央 x = 0，V x( ) = 1这时可见度最好，当观察点离 开中央位置时，可见度下降。由(2.3-4)式也可以看到可见度随着Δν的增宽而变坏，当 Δν = ncD xd n = 1 2, ,L (2.3-5) 时V x( ) = 0。 107 图 2-15 （a）光源的光谱分布函数；（b）产生的总干涉强度 二、具有一般线型光谱分布的准单色光的干涉 设光源的光谱分布为一般线型，其谱密度函数为 I0 ( )ν ，以ν 为中心 dν范围内的光所 具有的光强为 I0 ( )ν νd 。强度均为 I0 ( )ν νd 的两束光经历不同的路径后再相遇，由(2.2-48) 式干涉光强分布为 [ ]d d dI I k S I c S= + = + ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥2 1 2 1 2 0 0( ) cos( ) ( ) cosν ν ν πν νΔ Δ (2.3-6) 对准单色光源中所有的频率成份积分就得到总的光强分布 I S I c S( ) ( ) cosΔ Δ= + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥−∞ ∞∫2 1 20 ν πν νd (2.3-7) 用这样的方法处理问题的实质在于先对准单色光源中各单色成份分别求出干涉强度 分布，再将各单色成份产生的强度分布进行迭加，最后得到总的光强分布。在(2.3-7)式中 总光强是作为光程差的函数而出现的，这样处理便于将结果推广到一般的干涉仪中去。对 于杨氏干涉实验来说ΔS d D x= ( ) 。把ΔS的这一表达式代入(2.3-7)式，就得到杨氏实验中 观察屏上轴线附近的干涉光强分布 I x( )。 中心频率为ν 的准单色光，它的谱密度函数 I0 ( )ν 主要在ν 附近一个很小的频率范围 Δν内取值，在此范围以外， I0 ( )ν 的值可以忽略不计。作变量代换 ξ ν ν= − (2.3-8) I I j0 0( ) ( ) ( )ν ν ξ ξ= + = (2.3-9) 用此代换以后，(2.3-7)式化为 I S j c S( ) ( ) cos ( )Δ Δ= + +⎡⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ ⎧⎨⎩ ⎫⎬⎭∫2 1 2ξ π ξ ν ξd = + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫ ∫2 2 2 2j j c S c S( ) ( )cos cosξ ξ ξ πν π ξ ξd dΔ Δ − ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫2 2 2j c S c S( )sin sinξ πν π ξ ξΔ Δ d (2.3-10) 令 P j= ∫2 ( )ξ ξd (2.3-11) C S j c S( ) ( )cosΔ Δ= ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫2 2ξ π ξ ξd (2.3-12) 108 S S j c S( ) ( ) sinΔ Δ= ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟∫2 2ξ π ξ ξd (2.3-13) (2.3-10)式简化为 I S P C S c S S S c S( ) ( )cos ( ) sinΔ Δ Δ Δ Δ= + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 2πν πν (2.3-14) 由于ξ ν<< ，所以与 [ ]cos ( )2πν c SΔ 和 [ ]sin ( )2πν c SΔ 相比，C S( )Δ 和 S S( )Δ 是两个慢变 函数，在良好的近似程度上 I的极值位置由下式给出 d d I S S c C S c S S S c S( ) ( ) ( ) sin ( )cosΔΔ Δ Δ Δ Δ= − ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ + ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = 2 2 2 0πν πν πν 当 I S( )Δ 取得极大值时 tan 2πν c S S C Δ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ = − (2.3-15) 由(2.3-14)和(2.3-15)式， I的极值是 I P C S极值 = ± +2 2 (2.3-16) 由上式得到条纹的可见度函数为 V S C S P ( )Δ = + 2 2 (2.3-17) 不用求极值的办法，由(2.3-14)式也可以直接得到 I S P C S P c S( ) cosΔ Δ= + + +⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥1 22 2 ϕ πν (2.3-18) 式中ϕ 由关系式 tanϕ = S C确定，由(2.3-18)式得到和(2.3-17)式相同的结果。同时也看到， V S( )Δ 的曲线是归一化强度曲线的包络。 图 2-16 给出了四种准单色光源的光谱分布函数 j( )ξ ，用前面介绍的方法可以计算相 应的可见度函数曲线，现将结果列举如下： (a) 光谱分布为一矩形函数 j j( ) rectξ ξν= ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟0 Δ (2.3-19) 可见度函数为 − sinc函数 V S k S k S ( ) sin Δ Δ Δ Δ Δ = ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 1 2 1 2 (2.3-20) (b) 光谱分布为高斯函数 j j e( )ξ α ξ= −0 2 2 (2.3-21) 可见度函数 V S e S c( ) ( / )Δ Δ～ − π α 2 109 (c) 光谱分布为高斯分布的等强度双线光源 j j e j e( ) ( ) ( )ξ αξ β αξ β= +− + − −0 02 2 可见度函数 V S e c SS c( ) cos( / )Δ ΔΔ～ − ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ π α πβ α 2 2 这里 βα νΔ = 3 2 (d) 光谱分布为高斯分布的不等强度的双线光源 j j e j e( ) ( ) ( )ξ αξ β αξ β= +− + − −0 02 212 (2.3-22) 图 2-16 不同光谱分布函数 ( )ξj 和相应的可见度函数 ( )SV Δ 曲线 （a）矩形函数；（b）高斯函数；（c） 高斯分布的等强度双线光源；（d）高斯分布的不等强度的双线光源。 在（b）（c）（d）中 ααν /66.1~/2ln2=Δ 110 可见度函数 V S e c SS c( ) cos( )Δ ΔΔ～ 1 3 5 4 4 2− + ⎛⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ π α πβ α (2.3-23) 以上四个例子中(a)、(b)、(c)的光谱分布都具有对称性。对于一个有对称分布的函数 j( )ξ ，由(2.3-13)式 S = 0，这时(2.3-17)式简化为 V c P = (2.3-24) 由(2.3-11)式看出，P为光源光强度的两倍，(2.3-24)式表明由可见度曲线可以确定C， C的符号选取常由所讨论的问题的物理合理性来决定，因而 j( )ξ 可由(2.3-12)式通过傅里 叶逆变换而求得。考虑更一般的情况，若 j( )ξ 不具有对称分布的特性，由可见度曲线只能 根据(2.3-18)式确定 C S2 2+ ，如果要进一步确定 j( )ξ ，则需要分别知道C和 S这两个量。 瑞利指出，如果同时知道条纹的可见度和条纹的确切位置 x就能求出C和 S，这时因为由 条纹的坐标 x根据(2.3-15)式就能决定 S C，因此由 C S2 2+ 和 S C求得C和 S，最后 j( )ξ 也就可以得到了。虽然原理上很简单，但实际测量工作做起来很困难，尽管如此迈克 耳逊还是用这种方法成功地推断出一些简单的光谱结构，这些结构为后来人们的实验结果 所证实。 这种借助于双光束干涉分析光谱线结构的方法是光的干涉效应在光谱学中的最早应 用。自从二十世纪六十年代以来发展起来的傅里叶变换光谱学，就是通过对干涉条纹可见 度的测量来确定光源的光谱结构，现在它已经成为有效的光谱分析方法，关于这一点，更 进一步的讨论见第五章。 §2-4 多色光的干涉 在上一节的讨论中我们已经看到，当准单色光分成两束后，再次相遇时，这两束光中 具有相同频率的部分相干涉各自产生一个干涉图样，空间中考察点的光强是所有这些单色 图样的强度之和。对于多色光来说也有同样的结论，所不同的是在多色光干涉问题的讨论 中，没有Δν ν<< 的限制。以下就是对上述结论所作的一般性证明。 设 f ( )t 表示持续时间为τ 0的单个波列在时间 t 于某点产生的光振动。其傅里叶谱为 F( )ν ，它们有下述关系 f F( ) ( )t e j t= − −∞ ∞∫ ν νπν2 d (2.4-1) F f( ) ( ) / /ν πντ τ= −∫ t e tj t22200 d (2.4-2) 如果在进行一次观测所持续的时间 2T内有 N 个这样的波列通过，那么观察中所包含 的全部光振动可以表示为 111 u f( ) ( )t t tn n N = − = ∑ 1 (2.4-3) 式中 tn表示第 n个波列到达观测点的时间，设 T 比每个波列的持续时间τ 0大得多，则在 2T时间内的平均光强为 I T t t T t t T T= − −∞ ∞∫ ∫12 122 2u u( ) ( )d d～ (2.4-4) 由(2.4-1)、(2.4-2)、(2.4-3)式，得到 u U( ) ( )t e j t= − −∞ ∞∫ ν νπν2 d (2.4-5) U F( ) ( )ν ν πν= = ∑e j t n N n2 1 (2.4-6) 由 Parseval定理 u U F( ) ( ) ( ) ( )t t e j t t m N n N n m2 2 2 2 11 d d d −∞ ∞ −∞ ∞ − ==−∞ ∞∫ ∫ ∑∑∫= =ν ν ν νπν (2.4-7) 其中的双重求和项 e N e N t tj t t m N n N j t t n m n m n m n m n m2 11 2 2 2πν πν πν( ) ( ) cos ( )− == − ≠ < ∑∑ ∑ ∑= + = + − (2.4-8) 波列到达观测点的时间 tn是随机的，所以求和式中各余弦项取正负值的概率相等。当 N 很大时，(2.4-8)式的值为 N ，因而由(2.4-4)和(2.4-7)式得到光强分布的平均值为 I N T = −∞ ∞∫2 2F ( )ν νd (2.4-9) 可见平均光强与组成它的单个