null三重积分的变量代换三重积分的变量代换 柱面坐标代换
球面坐标代换三重积分的对称性 一、三重积分的换元法 一、三重积分的换元法例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:例1. 求由下面方程表示的曲面所围立体的体积:其中解: 令则1. 利用柱坐标计算三重积分 1. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标.直角坐标与柱面坐标的关系:坐标面分别为圆柱面半平面平面null因此适用范围:1) 积分域是圆柱或它在某坐标面上的投影为圆(或一部分) ;2) 被积函数中含有x2+y2(相应地, y2+z2, x2+z2)形式.例2. 计算三重积分其中为由例2. 计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.例3. 计算三重积分例3. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =2. 利用球坐标计算三重积分 2. 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系坐标面分别为null因此有适用范围:1) 积分域表面是球面或顶点在原点的圆锥面;2) 被积函数含 x2+y2+z2 一类式子 . .例4. 计算三重积分例4. 计算三重积分解: 在球面坐标系下所围立体.其中 与球面3. 广义球坐标变换 3. 广义球坐标变换 直角坐标与广义球坐标的关系例5. 椭球 的体积
内容
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小结
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内容小结积分区域多由坐标面围成; 被积函数形式简洁, 或变量可分离.三重积分也有类似二重积分的换元积分公式:对应雅可比行列式为null二、利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：１.积分区域关于坐标面的对称性；２.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．null解积分域关于三个坐标面都对称，null解nullnull例8. 计算例8. 计算其中解:利用对称性例9.求曲面例9.求曲面所围立体体积.解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,利用对称性, 所求立体体积为yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为且关于 xoz 例10. 设是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的
区域, 求轮换对称性：若积分区域Ω的表达式中将 x, y, z 依次轮换,表达式不变,则称Ω关于 x, y, z 轮换对称. 此时有例10. 设是由平面 x+y+z=1和三个坐标面所围成的
区域, 求解: 由轮换对称性,例11. 设最后看一个二重积分轮换对称性的典型例子.若积分区域 D 的表达式中将 x, y 依次轮换,表达式不变,则称 D 关于 x, y 轮换对称. 此时有例11. 设证: 由轮换对称性,null思考
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