函数的零点与方程的解中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.情境引入中外历史上的方程求解13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.情境引入中外历史上的方程求解国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。情境引入*我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点.例如，方程x2-5x+6=0的根为x1=2,x2=3,则二次函数f(x)=x2-5x+6的零点就是2和3.y63x02在图像上显示为问题导引画出下列函数的图象(1)f(x)=x-1f(x)=x2-2x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x-1f(x)=log2x思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程f(x)=0的解有什么关系？体验探究再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其交点横坐标与f(x)=0的解有什么关系？*函数的零点定义：函数y=f(x)的图象与x轴有交点方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)有零点等价关系对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数的零点是点吗？答：不是。函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。零点的求法代数法图象法发现新知*问题1像lnx+2x-6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？由刚才的等价关系我们知道，求方程f(x)=0的实数解，就是确定函数y=f(x)的零点，一般地，对于不能用公式求解的方程f(x)=0，我们可以把它与相应的函数y=f(x)联系起来，利用函数的图象和性质找出零点，从而得到方程的解。体验探究体验探究对于二次函数f(x)=x2-2x-3,观察它的图象(图4.5-1),发现它在区间[2,4]上有零点。这时，函数图象与x轴有什么关系?在区间[-2,0]上是否也有这种关系?你认为应如何利用函数f(x)的取值规律来刻画这种关系?再任意画几个函数的图象，观察函数零点所在区间，以及这一区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)的取值刻画这种关系的方法.图4.5-1211-22-134-1-2-3-40yx体验探究可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴。函数在端点x=2和x=4的取值异号，即f(2)f(4)<0,函数f(x)=x2-2x-3在区间(2,4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的一个根。同样地，f(-2)f(0)<0，函数f(x)=x2-2x-3在(-2,0)内有零点x=-1,它是方程x2-2x-3=0的另一个根。211-22-134-1-2-3-40yx*问题探究观察函数的图象①在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)f(b)_____0（＜或＞）．②在区间(b,c)上______(有/无)零点；f(b)f(c)_____0（＜或＞）．③在区间(c,d)上______(有/无)零点；f(c)f(d)_____0（＜或＞）．bac0yxd有＜有＜有＜如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。发现新知函数零点存在定理思考1：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx思考2：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点？0yx这说明什么？“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可发现新知思考3：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上是一条连续不断的曲线，且在区间(a,b)内有零点，是否一定有f(a)f(b)<0？xy0这说明什么？“在给定区间[a,b]上连续”和“f(a)f(b)<0”这两个条件是函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。发现新知问题4如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但是否只有一个零点呢？0yx发现新知这又说明什么？函数零点存在定理可以证明函数有零点，但不能判定零点的个数。*例1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点求函数零点的步骤：(1)令f(x)=0;(2)解方程f(x)=0；(3)写出零点拓展深化*由表4.5-1和图4.5-2可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)f(3)<0，由函数零点存在定理可知，这个函数在区间(2,3)内至少有一个零点。解：用计算工具作出x、f(x)的对应值表（表4.5-1）和图象（图4.5-2）例2已知函数f(x)=lnx+2x－6，能判断出函数零点大致在那个区间上吗？.........x0－2－4－6105y241086121487643219拓展深化∵y=lnx和y=2x-6在(0,+∞)上都是增函数，∴f(x)=lnx+2x-6在(0,+∞)上是增函数，又∵f(2)=ln2+2×2－6<0f(3)=ln3+2×3－6>0∴函数𝑓(𝑥)在定义域(0,+∞)内仅有一个零点。拓展深化请同学们练习课本P1441题思考：如何判断函数在某一特定区间内只有一个零点？拓展深化如果函数y=f(x)在[a,b]上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的一个零点。函数零点存在定理的推论：*练习：(B)巩固检测A函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点1、函数的零点与方程的解的关系：方程f(x)=0有实数解2、判断在某个区间是否存在零点的方法课堂小结如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解。函数零点存在定理本节课同学们有什么收获和体会？
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