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函 数 的 幂 级 数 展 开
复 旦 大 学 陈纪修 金路
1. 教学内容
函数的幂级数(Taylor级数)展开是数学分析课程中最重要的内容之一,也是整
个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种
方法
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,比较
它们的优缺点,使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上,掌握如
何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数,提高学生的计算与运算
能力。
2.指导思想
(1)函数的幂级数(Taylor 级数)展开作为一个强有力的数学工具,在分析学
中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科
书
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往往注重于讲解幂级数的理论,
而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法,这样容易造成学生虽然掌握了幂级数
的基本理论,但在实际计算中,即使对于一个很简单的函数,在求它的幂级数展
开时也会感到很困难,这种状况必须加以改变。
(2)求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,虽然我们有函
数的幂级数展开
公式
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(见下面的(*)式),但一般来说,直接利用(*)式来求
函数的幂级数展开往往很不方便,因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级
数展开方法,提高学生的实际计算能力,这也是我们在数学分析课程中推行素质
教育的一个不可忽视的环节。
3. 教学安排
首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容:设函数f (x)在 x0 的某个邻域
O(x0, r)中能展开幂级数,则它的幂级数展开就是f (x) 在x0 的Taylor级数:
(*) ).,(,)(
!
)(
)( 0
0
0
0
)(
rxOxxx
n
xfxf
n
n
n
∈−= ∑∞
=
另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式:
(1) f (x) = ex = ∑∞
=0 !n
n
n
x
!!3!2
1
32
n
xxxx
n
""++++= + ⋯, x ∈(-∞, +∞)。
(2) f (x) = sin x = ∑∞
=
+
+
−
0
12
!)12(
)1(
n
n
n
x
n
)!12(
)1(
!5!3
1253
+−+−+−=
+
n
xxxx
n
n"" + ⋯, x∈(-∞, + ∞)。
1
(3) f (x) = cos x = ∑∞
=
−
0
2
!)2(
)1(
n
n
n
x
n
)!2(
)1(
!4!2
1
242
n
xxx nn−+−+−= "" + ⋯, x∈(-∞, + ∞)。
(4) f (x) = arctan x = ∑∞
=
−
−
−
−
1
12
1
12
)1(
n
n
n
x
n
12
)1(
53
1253
+−+−+−=
+
n
xxxx
n
n"" + ⋯, x∈[-1, 1]。
(5) f (x) = ln (1 + x) = ∑∞
=
+−
1
1)1(
n
n
n
x
n
n
xxxxx
n
n 1
432
)1(
432
−−++−+−= "" + ⋯, x∈(-1, 1]。
(6) ,α≠0是任意实数。 f x x( ) ( )= +1 α
当α是正整数 m时,
f (x) = (1 + x)m = 1 + mx + 2
2
)1( xmm − + ⋯ + + x1−mmx m ,x∈(-∞, +∞)
即它的幂级数展开就是二项式展开,只有有限项。
当α不为 0和正整数时,
∑∞
=
α ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛α=+
0
)1(
n
nx
n
x ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
<<−
−≤
−∈
−∈
−∈
.0
,01
,1
],1,1[
],1,1(
),1,1(
α
α
α
当
当
当
x
x
x
其中 = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
n
α
!
)1()1(
n
n +−α−αα "" , (n = 1,2,⋯) 和 。 1
0
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛α
设函数f (x)在 x0 的某个邻域O(x0, r)中任意阶可导,要求它在O(x0, r)中的幂级数
展开,一开始就考虑利用公式(*)往往不是明智之举。下面我们通过具体实例
介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法:
1. 通过各种运算与变换,将函数化成已知幂级数展开的函数的和。
例 1 求 2253
1)(
xx
xf −+= 在 0=x 的幂级数展开。
解 利用部分分式得到
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+⋅+⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
−
⋅=
xx
xf
21
1
7
2
3
1
1
21
1)( ,
再利用(6)式( 1−=α ),得到
( ) n
n
n
n xxf ∑∞
=
+
+ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=
0
1
1 23
1
7
1)( , ).
2
1,
2
1(−∈x
例2 求 在xxf 3sin)( =
6
π=x 的幂级数展开。
解 )
6
(3cos
4
1)
6
(
6
sin
4
33sin
4
1sin
4
3sin)( 3 πππ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=−== xxxxxxf
2
)
6
(3cos
4
1)
6
cos(
8
3)
6
sin(
8
33 πππ −−−+−= xxx ,
利用(2)式与(3)式,即得到
).,(,)
6
)(132(
)!2(
)1(
8
3)
6
(
)!12(
)1(
8
33)( 212
00
12 +∞−∞∈−−⋅−−−+
−= −
∞
=
∞
=
+ ∑∑ xxnxnxf nnn
n
n
n
n ππ
例3 求 )0(,ln)( >= xxxf 关于变量
1
1
+
−
x
x 的幂级数展开。
解 令 ,
1
1
+
−=
x
xt 则 )10(,
1
1 <<−
+= t
t
tx 。利用(5)式,即得到
)1ln()1ln(
1
1lnln tt
t
tx −−+=−
+= n
n
n
n
n
t
n
t
n ∑∑
∞
=
∞
=
+
+−=
11
1 1)1(
.0,)
1
1(
12
12
12
12
1
1212
1
>+
−⋅+=⋅+= ∑∑
∞
=
++∞
=
x
x
x
n
t
n n
nn
n
2.对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。
例 4 求 2
1)(
x
xf = 在 的幂级数展开。 1=x
解 由于 ∑∞
=
−=−+== 0 )1()1(1
11)(
n
nx
xx
xg ,利用逐项求导,即可得到
).2,0(,)1)(1()1()(')(
1 0
1 ∈−+=−=−= ∑ ∑∞
=
∞
=
− xxnxnxgxf
n n
nn
例 5 求 f (x)= arcsin x 在 0=x 的幂级数展开。
解 利用(6)式 )
2
1( −=α ,可知当 x∈(-1,1)时,
21
1
x− =
2
1
2 )1(
−− x = ∑∞
=
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
0
22
1
)(
n
nx
n
= 1 + 2
2
1 x + 4
8
3 x + ⋯ + nx
n
n 2
!)!2(
!)!12( − + ⋯,
对等式两边从 0到 x积分,利用幂级数的逐项可积性与
∫ −
x
t
t
0 21
d = arcsin x,
即得到
arcsin x = x + ∑∞
=
+
+
−
1
12
12!)!2(
!)!12(
n
n
n
x
n
n , x∈[-1, 1]。
其中关于幂级数在区间端点 x = ±1的收敛性,可用 Raabe判别法得到。
特别,取 x = 1,我们得到关于π的一个级数表示:
2
π = 1 + ∑∞
= +⋅
−
0 12
1
!)!2(
!)!12(
n nn
n 。
3.对形如 ,)()( xgxf
)(
)(
xg
xf 的函数,可分别用 Cauchy乘积与“待定系数法”。
设 f (x) 的幂级数展开为 ,收敛半径为R∑∞
=0n
n
n xa 1,g(x) 的幂级数展开为∑ , ∞
=0n
n
n xb
3
收敛半径为R2,则f (x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积:
f (x)g(x) = ( )( ) = , ∑∞
=0n
n
n xa ∑∞
=0n
n
n xb ∑∞
=0n
n
n xc
其中cn = , 的收敛半径∑
=
−
n
k
knk ba
0
∑∞
=0n
n
n xc ≥R min{R1,R2}。
当b0 ≠ 0时,我们可以通过待定系数法求 )(
)(
xg
xf 的幂级数展开:设
)(
)(
xg
xf = , ∑∞
=0n
n
n xc
则
(∑ ) ( )= , ∞
=0n
n
n xb ∑∞
=0n
n
n xc ∑∞
=0n
n
n xa
分离 x的各次幂的系数,可依次得到
b0 c0 = a0 ⇒ c0 =
0
0
b
a
,
b0 c1 + b1 c0 = a1 ⇒ c1 =
0
011
b
cba −
,
b0 c2 + b1 c1 + b2 c0 = a2 ⇒ c2 =
0
02112
b
cbcba −− ,
⋯⋯
一直继续下去,可求得所有的cn 。
例 6 求ex sin x的幂级数展开( 到x5 )。
解 ex sin x = (
!4!3!2
1
432 xxxx ++++ + ⋯)( "−+−
!5!3
53 xxx )
= x + 532
30
1
3
1 xxx −+ + ⋯,
由于 与 的收敛半径都是xe xsin ∞=R ,所以上述幂级数展开对一切 x∈(-∞, + ∞)
都成立。
例 7 求tan x的幂级数展开( 到x5 )。
解 由于 tan x是奇函数,我们可以令
tan x =
x
x
cos
sin = c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ⋯,
于是
(c1 x + c3 x3 + c5 x5 + ⋯)( "−+− !4!21
42 xx ) = "−+−
!5!3
53 xxx ,
比较等式两端x, x3与x5 的系数,就可得到
c1 = 1, c3 =
3
1 , c5 =
15
2 ,
因此
tan x = x +
3
1 x3 +
15
2
x5 + ⋯。
4. “代入法”
4
对于例 7,我们还可采用如下的“代入法”求解:在
u−1
1 = = 1 + u + u∑∞
=0n
nu 2 + ⋯
中,以 u = "+−
!4!2
42 xx 代入,可得到
xcos
1 = 1 + ( "+−
!4!2
42 xx ) + ( "+−
!4!2
42 xx )2 + ⋯
= 1 + x2 +
24
5 x4 + ⋯,
然后求 sin x与
xcos
1 的 Cauchy乘积,同样得到上述关于 tan x的幂级数展开。
需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目
前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x = 的小邻域中,幂级数展开是成立
的(事实上,tan x的幂级数展开的收敛范围是 (-
0x
2
π ,
2
π ),它的证明需要用到复
变函数的知识)。
“代入法”经常用于复合函数,例如形如e f (x),ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展
开问题。
例 8 求 在 的幂级数展开( 到xxexf sin)( = 0=x 4 )
解 以 "+−=+
−== +
∞
=
∑ 6)!12( )1(sin
3
12
0
xxx
n
xu n
n
n
代入
"+++++=== ∑∞
=
xxxx
n
xexf
n
n
x 432
0
sin sin
24
1sin
6
1sin
2
1sin1
!
sin)( ,
即可得到
),(,
8
1
2
11)( 42sin +∞−∞∈+−++== xxxxexf x " 。
注 对于求函数 在xexf cos)( = 0=x 的幂级数展开问题,我们不能采用以
"−+−== 42
24
1
2
11cos xxxu 代入 ∑∞
=
=
0 !
cos)(
n
n
n
xxf 的方法,请学生思考为什
么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。
例 9 求ln
x
xsin 的幂级数展开( 到x4 ),其中函数
x
xsin 应理解为
f (x) =
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠
.01
,0,sin
x
x
x
x
,
解 首先,利用 sin x的幂级数展开,可以得到
x
xsin = "−+−
!5!3
1
42 xx 。
令 u = "−+−
!5!3
42 xx 代入 ln (1 + u) = u - "−+
32
32 uu ,即得
5
ln
x
xsin = ( "−+−
!5!3
42 xx ) -
2
1 ( "−+−
!5!3
42 xx )2 + ⋯
= "−−−
1806
42 xx 。
利用例 9,我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式
x
xsin = ∏∞
= π−1 22
2
)1(
n n
x ,
两边取对数,再分别将 ln )1( 22
2
π− n
x 展开成幂级数,
ln
x
xsin = ∑∞
= π−1 22
2
)1ln(
n n
x = - ∑∞
=
+π+π1 44
4
22
2
)
2
1(
n n
x
n
x " 。
将上式与本例中的结果相比较,它们的x2系数,x4系数都对应相等,于是就得到
等式
∑∞
=1
2
1
n n
=
6
2π ,
∑∞
=1
4
1
n n
=
90
4π 。
如果我们在计算时更精细些,也就是将ln
x
xsin 的幂级数展开计算到x6,x8,⋯,
还可以获得∑∞
=1
6
1
n n
,∑∞
=1
8
1
n n
,⋯的精确值。
注意点
1. 如果 在 邻域的幂级数展开存在,则幂级数必然是它在 x)(xf 0x 0 的Taylor
级数(*);但反之则不然。事实上,我们举出过在 0xx = 任意阶可导的函
数 ,它在 的Taylor级数并不收敛于 。但一般来说,对于有解析
表达式的初等函数 ,只要它在
)(xf 0x )(xf
)(xf 0xx = 任意阶可导,则它在 的Taylor
级数就是它在 邻域的幂级数展开。
0x
0x
2. 要让学生知道,遇到求函数的幂级数展开问题,不要首先想到用(*)式。
事实上,上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法,比起直接利用公式(*)
来都要方便,而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方
法。
3. 一般来说,利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开,我们往往只
能求出幂级数的初始几项,而不易求出幂级数的一般项,也不易求出幂级数
的收敛半径。但是对于许多具体问题,只要求出幂级数的初始几项就够了,
例如例 9中的问题。关于幂级数的收敛半径,等学生学习了复变函数课程后
就很容易确定。
6
教案