教案
重积分变量代换
公式
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的证明
1. 教学内容
我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式，然后将一般的变量代换视为向量
值
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个
容易理解而简单的证明。
2. 指导思想
重积分变量代换公式的证明是数学分析课程教学中的一个难点，如何化解这一难
点，使学生理解并掌握这一重要内容，是本教案的目的。我们通过将一般的变量
代换分解为两个本原变换的复合的方法，然后对本原变换的情况进行证明，使得
证明简单而容易理解。同时，也教给学生一个如何将复杂的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
化成简单问题的
方法。
3. 教学安排
1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法），然后利用类比法看一下
二重积分变量代换公式应该是怎样的：
定积分：设 在区间 上连续，变换)(xf ],[ ba )(tx ϕ= 是一一对应，有连续导数，
ϕ α( ) = a:)(tx ϕ= ],[ βα （或 ],[ αβ ） （],[ ba→ β( ) = b，ϕ ），则
f x dx
a
b
( )∫ = f t t d( ( )) )ϕ ϕαβ ′(∫ t
二重积分： 设 在有界闭区域D连续，变换
是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换
公式似乎应该是
)(:
),(
),(
: DT
vuyy
vuxx
T →⎩⎨
⎧
=
=
D),( yxf
∫∫∫∫ ∂
∂=
DD
dudv
vu
yxvuyvuxfdxdyyxf
T ),(
),()),(),,((),(
)(
，
),(
),(
vu
yx
∂
∂ 是向量值函数T 的导数。但是注意在定积分情况下，如果 0)('
，即右端积分的上限小于下限，交换积分上下限后， )(' tϕ )(' tϕ−就换成 ；
而在重积分情况下，
,(
,(
u
x
∂
∂
)
)
v
y 也有可能小于 0，但由于积分区域D没有方向（或符
号）概念，因此对
),(
),(
vu
yx
∂
∂ 要加上绝对值符号，即
1
∫∫∫∫ ∂∂= DD dudvvu
yxvuyvuxfdxdyyxf
T ),(
),()),(),,((),(
)(
。
2．二重积分变量代换公式
设U为 平面上的开集， 是uv V xy平面上开集，映射
T x x u v y y u v: ( , ) , ( , )= =
是 到 的一个一一对应。 进一步假设U V x x u v y y u v= =( , ) , ( , )具有连续偏导数，
且有
),(
),(
vu
yx
∂
∂
),(
),(
vu
yx
∂
∂ ≠ 0，则由连续性可知 在 上不变号。对于 中任意具有分段
光滑边界的有界闭区域 ，记它的像为
U U
⊂ ，则VD )(DE T= )(DE T= 也是具有分段
光滑边界的有界闭区域。换言之，区域 与D )(DE T= 都具有零边界。在这样的假
设下，我们有如下的二重积分的变量代换公式。
定理 1(二重积分变量代换公式) 映射T 和区域D如上假设。如果二元函数
在 上连续，则 )(DT),( yxf
∫∫∫∫ ∂∂= DD vuvu
yxvuyvuxfyxyxf
T
dd
),(
),()),(),,((dd),(
)(
。
为证明定理 1，我们将区域D用水平线与垂直线分割成许多小矩形，由于区
域 具有零边界，当分割充分细的时候，与区域 边界相交的小矩形的面积之和
可以任意小，因此我们只需要考虑包含在区域 内的小矩形
D D
D 。 R
3．定义 形如
xT : ),(,),( vuyyuvuxx ===
或
: vvuyyvuxx === ),(,),(yT
的映射称为本原映射。
，等式 引理 1 设T 为本原映射，则对于每个小矩形 R
mR
vu
yxRmT
vu )~,~(),(
),()( ∂
∂=
成立，这里 为(~, ~)u v R 上某一点。
证 仅对本原映射 证明，对 的证明是类似的。 xT yT
设在 上U J > 0。由于这时成立
0
01
),(
),( >∂===
v
y
v
y
u
y
vu
yxJ ∂∂
∂
∂
∂∂
∂ ，
所以在每个小矩形 R=[e, f]× [g, h]上，对于固定的 是 的单调增加函数，
因此
v),(, vuyu
被一一对应地映到 R
。 )},(),(,|),{()( hxyygxyfxeyxRT ≤≤≤≤=
2
v
h
g
O e f u
y
),( hxy
),( gxy
O e f x
图 13.3.9
T R( )的面积为 所以
),))(,~(),~(()],(),([)(
),(
),(
)(
efguyhuydxgxyhxydydxdxdyRmT
f
e
hxy
gxy
f
e
RT
−−=−=== ∫∫∫∫∫
其中 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 e u f≤ ≤~
mR
vuvu
yxmRvu
v
yefghvu
v
yRmT
)~,~(),(
),()~,~())()(~,~()( ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂=∂
∂=−−∂
∂= ，
其中 。 g v h< <~
如果T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上
证明可同样得到
mR
vu
yxRmT
vu )~,~(),(
),()( ∂
∂= 。
证毕
下面证明变量代换公式对于本原映射成立。
引理 2 设T 为本原映射，二元函数 在 上连续，则 )(DT),( yxf
∫∫∫∫ ∂∂= DD dudvvu
yxvuyvuxfdxdyyxf
T ),(
),()),(),,((),(
)(
。
证
考虑上述对区域 的分割，设 是包含在区域 内的所有小矩
形，由引理 1，在 上成立
MDDD ,,, 21 LD D
iD
i
vu
i mvu
yxmT
ii
DD
)~,~(),(
),()( ∂
∂= ，
这里 为 中某一点。设(~ , ~ )u vi i ~ (~ , ~ ) , ~ (~ , ~ )x x u v y y u vi i i i iiD i= = ，则从上式得
∑∑ ∂
∂=
i
i
vu
iiii
i
iii mDvu
yxvuyvuxfDmTyxf
ii )~,~(
),(
),())~,~(),~,~(()()~,~( ，
ρ ρ设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ，令 趋于 0，由二重积分的定义，即
得
∫∫∫∫ ∂∂= DD dudvvu
yxvuyvuxfdxdyyxf
T ),(
),()),(),,((),(
)(
。
证毕
3
为了完全证明定理 1，还需要以下的结果：
U∈= ),( 000 vuQ 引理 3 设T 满足定理 1 的假设，则对于任意点 ，T 在点
附近可以
表
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示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。
Q0
证 设 ),(),,(),,( 000000000 yxPvuyyvuxx === 。
0),(
),(
),(
00 ≠∂
∂ vu
vu
yx 0),( 00 ≠∂
∂ vu
u
x由于 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 ，
于是，本原映射
⎩⎨
⎧
=
=
v
vux
T η
ξ ),,(
:1
0),( 00 ≠∂
∂ vu
u
x=∂
∂ ),(
),(
),(
00 vuvu
ηξ的 Jacobi 行列式 ，由隐函数存在定理（或逆映射定
理），局部地可得逆映射 且⎩⎨
⎧
=
=
,
),,(
η
ηξ
v
gu
g( , )ξ η 在 的一个邻域具有连续
偏导数。注意这时成立
T u v1 0 0( , )
。 uvvuxg =)),,((
作
⎩⎨
⎧
=
=
),),,((
,
:2 ηηξ
ξ
gyy
x
T
则有
。),()),),,((()),,((
),,(
vuyvvvuxgygyy
vuxx
===
==
ηηξ
ξ
即 。 TTT =12 o
证毕
4．二重积分变量代换公式的证明：
根据引理 3，对于每点 D∈= ),( vuQ 存在它的一个邻域U ，在这个邻域
中，
Qδ ( ){ }D∈QQU |)(
2
δT 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。由于 覆盖了 ，
由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域
D
U Q U Q U Q
S Sδ δ δ1
2
1 2
2
2
2
( ) , ( ), , ( )L ，
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧=
2
,,
2
,
2
min 21*
Sδδδδ L它们覆盖了 。设D 。
δ * iD取划分充分细，使得所有的小矩形的对角线长度都小于 ，那么当小矩形
与 )(
2
jj
QUδ 相交时， 必包含在某个 中iD )(QU jδ )1( Sj ≤≤ 。于是在每个 （iD =i
）上成立 （为简便起见去掉了标记 i，注意对不同的 ，可
能有不同 和 ），这里 和 是本原映射。设
iDM,,2,1 L T T T= 2 o 1
T1 T2 T1 T2
⎩⎨
⎧
=
=
),,(
),,(
:1 vu
vu
T ηη
ξξ
和 ⎩⎨
⎧
=
=
).,(
),,(
:2 ηξ
ηξ
yy
xx
T
那么
),(
),(
),(
),(
),(
),(
vu
yx
vu
yx
∂
∂⋅∂
∂=∂
∂ ηξ
ηξ 。
由引理 2 得
4
∫∫∫∫ ∂∂= )()( 1 ),(
),()),(),,((),(
iTiT
ddyxyxfdxdyyxf
DD
ηξηξηξηξ
。∫∫
∫∫
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
i
i
dudv
vu
yxvuyvuxf
dudv
vu
yxvuvuyvuvuxf
D
D
),(
),()),(),,((
),(
),(
),(
),())),(),,(()),,(),,((( ηξηξηξηξ
因此
.
),(
),(),(),,((
),(
),(),(),,((
),(),(
1
1 )()(
∫∫∑∫∫
∑ ∫∫∫∫
∂
∂=∂
∂=
=
=
=
DD
DD
dudv
vu
yxvuyvuxfdudv
vu
yxvuyvuxf
dxdyyxfdxdyyxf
M
i
i
M
i
iTT
证毕
5． 重积分的变量代换公式 n
对于 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： n
设U为 nR （ ）上的开集，映射 2>n
),,(,),,,(: 1111 nnnn xxyyxxyyT LLL ==
将 一一对应地映到 上。进一步假设
都具有连续偏导数，而且这个映射的
Jacobi 行列式不等于零。
U nRV ⊂
y y x x y y x xn n n1 1 1 1= =( , , ), , ( , , )L L L n
设 Ω为 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： U
定理 2 映射T 和区域 Ω如上假设。如果 是),,,( 21 nyyyf L T (Ω)上的连续函
数，那么变量代换公式
∫∫
ΩΩ
= n
n
n
n
T
nn dxdxxx
yyyyfdydyyyf LL
LLLL 1
1
1
1
)(
11 ),,(
),,(
))(,),((),,( ∂
∂xx
成立，其中 。 ),,( 1 nxx L=x
4．注意点
1．重积分变量代换的概念，是数学分析课程中一个比较困难的内容。我们先通
过类比方法，写出重积分变量代换的公式，使得学生先有一个对重积分变量代换
的概念，然后再来证明，学生也就容易理解。同时通过类比，使学生容易记住这
一重要的公式。
2．将一般的变量代换视为向量值函数，将它分解为两个本原变换的复合，也就
是将复杂的函数分解成简单函数的复合，将问题化为对简单函数的证明，这是数
学上常用的一种方法，通过学习，希望同学掌握这一方法。
3．在证明中，我们只考虑了包含在区域 内的小矩形，这是因为区域 具有零
边界。通过学习，要求同学理解为什么我们在本章开始要引进零边界区域的概念。
D D
5
浙公网安备 33021202002483