普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (文科)解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （福建卷，含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1i)(23i)abi（a,bR,i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）A．3,2B．3,2C．3,3D．1,4【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】A【解析】 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：由已知得32iabi，所以a3,b2，选A．考点：复数的概念．2．若集合Mx2x2，N0,1,2，则MN等于（）A．0B．1C．0,1,2D0,1【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是()A．yxB．yexC．ycosxD．yexex【答案】D【解析】试题分析：函数yx和yex是非奇非偶函数；ycosx是偶函数；yexex是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x的值为1，则输出y的值为（）A．2B．7C．8D．1281【答案】C2x,x2,【解析】试题分析：由题意得，该程序 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示分段函数y，则f(1)918，故选C．9x,x2考点：程序框图．xy5．若直线1(a0,b0)过点(1,1)，则ab的最小值等于（）abA．2B．3C．4D．5【答案】C考点：基本不等式．56．若sin，且为第四象限角，则tan的值等于（）13121255A．B．C．D．551212【答案】D【解析】512sin试题分析：由sin，且为第四象限角，则cos1sin2，则tan1313cos5，故选D．12考点：同角三角函数基本关系式．7．设a(1,2)，b(1,1)，cakb．若bc，则实数k的值等于（）3553A．B．C．D．2332【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)．且点C与点D在函数2x1,x0f(x)1的图像上．若在矩形ABCD内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于x1,x02（）1131A．B．C．D．6482【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（）A．822B．1122C．1422D．152111【答案】B【解析】学科网试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的1两底分别为1，2，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为233，侧面积为则其表面积为22+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122，故选B．考点：三视图和表面积．3xy010．变量x,y满足约束条件x2y20，若z2xy的最大值为2，则实数m等于（）mxy0A．2B．1C．1D．2【答案】C【解析】32BC1x–4–3–2–1O1234–1–2–3–4试题分析：将目标函数变形为y2xz，当z取最大值，则直线纵截距最小，故当m0时，不满足题22m意；当m0时，画出可行域，如图所示，其中B(,)．显然O(0,0)不是最优解，故只能2m12m122m42mB(,)是最优解，代入目标函数得2，解得m1，故选C．2m12m12m12m1考点：线性规划．x2y211．已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线l:3x4y0交椭圆a2b24E于A,B两点．若AFBF4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）53333A．(0,]B．(0,]C．[,1)D．[,1)2424【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．12．“对任意x(0,)，ksinxcosxx”是“k1”的（）2A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4【答案】B考点：导数的应用．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______．【答案】25【解析】4511试题分析：由题意得抽样比例为，故应抽取的男生人数为50025．9002020考点：分层抽样．14．若ABC中，AC3，A450，C750，则BC_______．【答案】2【解析】ACBCACsinA试题分析：由题意得B1800AC600．由正弦定理得，则BC，sinBsinAsinB23所以BC22．32考点：正弦定理．15．若函数f(x)2xa(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在[m,)单调递增，则实数m的最小值等于_______．【答案】1【解析】试题分析：由f(1x)f(1x)得函数f(x)关于x1对称，故a1，则f(x)2x1，由复合函数单调性得f(x)在[1,)递增，故m1，所以实数m的最小值等于1．5考点：函数的图象与性质．16．若a,b是函数fxx2pxqp0,q0的两个不同的零点，且a,b,2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于________．【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)等差数列a中，a4，aa15．n247（Ⅰ）求数列a的通项公式；na2（Ⅱ）设b2nn，求bbbb的值．n12310【答案】（Ⅰ）an2；（Ⅱ）2101．n【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得a,d，进而求a的通项公式；（Ⅱ）求数列前n项和，首先考虑其1n通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题b2nn，故可采取分组求和法求其n前10项和．试题解析：（I）设等差数列a的公差为d．nad4由已知得1，a3da6d1511a3解得1．d1所以aan1dn2．n16考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组频数1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．9【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）6.05．10解法一：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在4,5内的“省级123卫视新闻台”记为，．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有12基本事件是：,，,，,，,，,，,，,，,，1213231112212231,，,，共10个．3212其中，至少有1家融合指数在7,8内的基本事件是：,，,，,，,，,，12132311127,，,，,，,，共9个．212231329所以所求的概率．102873（II）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.55.56.57.56.05．20202020解法二：（I）融合指数在7,8内的“省级卫视新闻台”记为，，；融合指数在4,5内的“省级123卫视新闻台”记为，．从融合指数在4,5和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有12基本事件是：,，,，,，,，,，,，,，,，1213231112212231,，,，共10个．3212其中，没有1家融合指数在7,8内的基本事件是：,，共1个．1219所以所求的概率1．1010（II）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值．19．（本小题满分12分）已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且AF3．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．【答案】（Ⅰ）y24x；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由AF3可p得23，可求p的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必2与直线GB相切．可证明点F到直线GA和直线GB的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GFGF，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．p试题解析：解法一：（I）由抛物线的定义得F2．28p因为F3，即23，解得p2，所以抛物线的方程为y24x．2（II）因为点2,m在抛物线:y24x上，所以m22，由抛物线的对称性，不妨设2,22．由2,22，F1,0可得直线F的方程为y22x1．y22x1由，得2x25x20，y24x11解得x2或x，从而,2．22又G1,0，220222022所以k，k，G213G1132所以kk0，从而GFGF，这表明点F到直线G，G的距离相等，GG故以F为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切．解法二：（I）同解法一．（II）设以点F为圆心且与直线G相切的圆的半径为r．因为点2,m在抛物线:y24x上，所以m22，由抛物线的对称性，不妨设2,22．由2,22，F1,0可得直线F的方程为y22x1．y22x1由，得2x25x20，y24x11解得x2或x，从而,2．22又G1,0，故直线G的方程为22x3y220，222242从而r．8917又直线G的方程为22x3y220，222242所以点F到直线G的距离dr．8917这表明以点F为圆心且与直线G相切的圆必与直线G相切．考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系．920．（本题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，垂直于圆所在的平面，且1．（Ⅰ）若D为线段AC的中点，求证C平面D；（Ⅱ）求三棱锥PABC体积的最大值；（Ⅲ）若BC2，点E在线段PB上，求CEOE的最小值．126【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．32【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C平面D，只需证明AC垂直于面D内的两条相交直线．首先由垂直于圆所在的平面，可证明C；又C，D为C的中点，可证明CD，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥PABC中，高PO1，要使得PABC体积最大，则底面ABC面积最大，又AB2是定值，故当AB边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥PABC体积；（Ⅲ）将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，此时线段OC'的长度即为CEOE的最小值．试题解析：解法一：（I）在C中，因为C，D为C的中点，所以CD．又垂直于圆所在的平面，所以C．因为D，所以C平面D．（II）因为点C在圆上，所以当C时，C到的距离最大，且最大值为1．1又2，所以C面积的最大值为211．2又因为三棱锥C的高1，11故三棱锥C体积的最大值为11．33（III）在中，1，90，所以12122．同理C2，所以CC．在三棱锥C中，将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示．当，，C共线时，C取得最小值．又因为，CC，所以C垂直平分，10即为中点．2626从而CC，22226亦即C的最小值为．2解法二：（I）、（II）同解法一．（III）在中，1，90，所以45，12122．同理C2．所以CC，所以C60．在三棱锥C中，将侧面C绕旋转至平面C，使之与平面共面，如图所示．当，，C共线时，C取得最小值．所以在C中，由余弦定理得：C212212cos456021231222222223．26从而C23．226所以C的最小值为．2考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．xxx21．（本题满分12分）已知函数fx103sincos10cos2．222（Ⅰ）求函数fx的最小正周期；（Ⅱ）将函数fx的图象向右平移个单位长度，再向下平移a（a0）个单位长度后得到函数gx的6图象，且函数gx的最大值为2．（ⅰ）求函数gx的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x，使得gx0．00【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）（ⅰ）gx10sinx8；（ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将fx化为f(x)10sinx5，然后利62用T求周期；（Ⅱ）由函数fx的解析式中给x减，再将所得解析式整体减去a得gx的解析式6为gx10sinx5a，当sinx取1的时，gx取最大值105a，列方程求得a13，从而gx的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数x，使得gx0，可解不等式gx0，只需000解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数x．011xxx试题解析：（I）因为fx103sincos10cos222253sinx5cosx510sinx5．6所以函数fx的最小正周期2．（II）（i）将fx的图象向右平移个单位长度后得到y10sinx5的图象，再向下平移a（a0）6个单位长度后得到gx10sinx5a的图象．又已知函数gx的最大值为2，所以105a2，解得a13．所以gx10sinx8．（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x，使得gx0，就是要证明存在无穷多个互不相同的004正整数x，使得10sinx80，即sinx．0005434由知，存在0，使得sin．5203054由正弦函数的性质可知，当x,时，均有sinx．005因为ysinx的周期为2，4所以当x2k,2k（k）时，均有sinx．005因为对任意的整数k，2k2k21，00034所以对任意的正整数k，都存在正整数x2k,2k，使得sinx．k00k5亦即存在无穷多个互不相同的正整数x，使得gx0．00考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．(x1)222．（本小题满分14分）已知函数f(x)lnx．2(Ⅰ)求函数fx的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当x1时，fxx1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x1，当x(1,x)时，恒有fxkx1．00150,【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．2【解析】x2x1试题分析：(Ⅰ)求导函数fx，解不等式f'(x)0并与定义域求交集，得函数fx的单x调递增区间；（Ⅱ）构造函数Fxfxx1，x1,．欲证明fxx1，只需证明F(x)的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II）知，当k1时，不存在x1满足题意；当k1时，对于x1，012有fxx1kx1，则fxkx1，从而不存在x1满足题意；当k1时，构造函数0Gxfxkx1，x0,，利用导数研究函数G(x)的形状，只要存在x1，当x(1,x)时00G(x)0即可．1x2x1试题解析：（I）fxx1，x0,．xxx015由fx0得解得0x．x2x102150,故fx的单调递增区间是．2（II）令Fxfxx1，x0,．1x2则有Fx．x当x1,时，Fx0，所以Fx在1,上单调递减，故当x1时，FxF10，即当x1时，fxx1．（III）由（II）知，当k1时，不存在x1满足题意．0当k1时，对于x1，有fxx1kx1，则fxkx1，从而不存在x1满足题意．0当k1时，令Gxfxkx1，x0,，1x21kx1则有Gxx1k．xx由Gx0得，x21kx10．1k1k241k1k24解得x0，x1．1222当x1,x时，Gx0，故Gx在1,x内单调递增．22从而当x1,x时，GxG10，即fxkx1，2综上，k的取值范围是,1．考点：导数的综合应用．13