11.2与三角形有关的角第1课时三角形的内角——三角形的内角和第十一章三角形1课堂讲解 三角形内角和定理 三角形内角和的应用2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升知1－导1知识点三角形内角和定理问题1 在
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我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．方法：度量、剪拼图、折叠在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现
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的思路吗？知1－导◎探究追问1 在下图中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？直线l与边BC平行．知1－讲追问2 在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论．追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：△ABC.求证:∠A+∠B+∠C=180°.知1－讲如图,过点A作直线l,使l//BC.∵l//BC,∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).同理∠3=∠5.∵∠1,∠4,∠5组成平角，∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°,得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.证明：知1－讲在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.知1－讲知1－练（来自《教材》）1如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度数.解：∠C＝180°×2－(40°＋40°＋150°)＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为( )A．30° B．40° C．50° D．60°2知1－练D知1－练在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( )A．40°B．60°C．80°D．90°3A三角形内角和定理的“三个应用”1.已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.3.已知三个角的度数关系，求这三个角的度数.知2－讲2知识点三角形内角和的应用如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°,AD是△ABC的角平分线.求∠ADB的度数.由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－75°－20°=85°.例1解：知2－讲三角形的三内角和是180º，所以三内角可能出现的情况：一个钝角两个锐角钝角三角形锐角三角形一个直角两个锐角直角三角形三个都为锐角知2－讲知2－讲图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A,B两岛的视角∠ACB呢？例2知2－讲A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB,∠ABC,就能求出∠ACB.
分析
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：解：∠CAB=∠BAD－∠CAD=80°－50°=30°.由AD//BE，得∠BAD－∠ABE=180°.方法一：所以∠ABE=180°－∠BAD=180°－80°=100°,∠ABC=∠ABE－∠EBC=100°－40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°－∠ABC－∠CAB=180°－60°－30°=90°.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.答：知2－讲你还能想到其他解法吗？B你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？1250°40°过点C画CF∥AD∴∠1＝∠DAC＝50°,F∵CF∥AD,又AD∥BE，∴CF∥BE，∴∠2＝∠CBE＝40°∴∠ACB＝∠1＋∠2＝50°＋40°＝90°知2－讲解：北方法二：知2－练如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°,从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A,B两处的视角∠ACB是多少度？（来自《教材》）1知2－练在△ACD中，因为∠CAD＝30°，∠D＝90°，所以∠ACD＝180°－90°－30°＝60°.在△BCD中，因为∠CBD＝45°，∠D＝90°，所以∠BCD＝180°－90°－45°＝45°.所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°.解：答：从C处观测A，B两处的视角∠ACB是15°.如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( )A．45°B．54°C．40°D．50°知2－练2C知2－练 直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°，则∠2＝________．340°知2－练4如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？知2－练因为在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，所以∠ABD＝60°.又因为∠DBE＝90°，所以∠ABE＝90°－∠ABD＝90°－60°＝30°.因为在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，所以∠ACE＝90°－40°＝50°.所以∠BAC＝∠ACE－∠ABE＝50°－30°＝20°.即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.解：通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度证法应用转化为一个平角或同旁内角互补辅助线三角形的内角和等于180°请同学们完成《高分突破》的相关习题.**
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