两个重要极限魏永强清华大学数学博士两个重要的极限预备知识1.有关三角函数的知识2.有关对数函数的知识以e为底的指数函数y=ex的反函数y=logex，叫做自然对数，在工程技术中经常被运用，常简记为y=lnx.数e是一个无理数，它的前八位数是：e=2.71828183.有关指数运算的知识4.无穷小量定义在某个变化过程中，以0为极限的变量称为在这个变化过程中的无穷小量，常用字母性质无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量.5.极限的运算法则X10.50.10.010.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998X－1－0.5－0.1－0.01－0.001….0.841470.958850.998330.999980.9999998第一个重要极限OxBACD证解这个结果可以作为
公式
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使用例1 求例2 注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：练习1.求下列极限:例3 解例4 解思考
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
练习3：下列等式正确的是（）．练习4：下列等式不正确的是（）练习5.下列极限计算正确的是（）练习6.已知当（ ）时，为无穷小量. ，当时，为无穷小量．练习7.已知练习8.练习9.X-10-100-1000-10000-100000…2.8682.7322.7202.71832.71828X10100100010000100000…2.5942.7052.7172.7182.71827第二个重要极限解 因为所以，有例1例2 解 方法一 令u=-x，因为x0时u0，所以方法二 掌握熟练后可不设新变量例3 解 练习1.解练习2.解练习3.解两个重要极限:小结练习题思考题解 因为所以令u=x-3，当x时u，因此附录两个重要极限的证明OxRABC证AOB面积<扇形AOB面积<AOC面积,即例两个重要极限的证明因为所以再次运用定理6即可得≤≤重要极限1其中的两个等号只在x=0时成立.证设圆心角过点A作圆的切线与OB的延长线交于点C，又作则sinx=BD，tanx=AC，这就证明了不等式(7).从而有重要极限2证这是重要极限2常用的另一种形式.分析：此是一个和式的极限，显然第一项及第二项函数中分子、分母的极限均存在且分式函数中分母的极限不等于零，因此可以直接利用极限的运算法则求解。极限综合练习题(一)例3求下列极限：解：当x从0的左侧趋于0时，当x从0的右侧趋于0时,例5求下列极限分析：本例中均是求分式的极限问题，且在各自的极限过程中，分子、分母的极限均为零，不能直接用极限商的运算法则。求解此类极限的关键是找出分子、分母中共同的致零因式，把它们约去后再求解。寻找致零因式常用的方法为：①若是有理分式的极限，则需把分子分母、分别分解因式（一般采用：“十字相乘法”、公式法、或提取公因式法）；②若是无理分式的极限，则需要把分子、分母有理化。解：（1）把分子分母分解因式，消去致零因式，再求极限。求解。又当x→0时，ax→0，bx→0，于是有分析：当x→0时，分子，分母的极限均为0，且分子是一个无理函数，分母是正弦函数，于是可先把分子有理化（分子，分母同乘以，然后看是否可利用第1个重要极限。解法2：分析：当x→0时，分式中分子分母的极限均为0，不能直接使用极限的运算法则，但前面所介绍“分解因式”、“有理化”的方法在此又不适用。能否利用第1个重要极限呢？这就需要首先利用三角恒等式对函数进行适当的变形。解：因当x→∞时，sinx的极限不存在，故不能用极限的运算法则求解，考虑到解1.求极限:极限综合练习题(二)解:利用第一重要极限和函数的连续性计算，即2.求下列极限：解:对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即3.求下列极限：分析：此极限属于时有理分式的极限问题，且m=n，可直接利用上述结论得出结果，也可用分子、分母同除以x15来计算。解：分子分母同除以x15，有=22+1=5解5.求解6.求极限解：容易算出分式分子的最高次项是，分式分母的最高次项是，所以7.求极限8.求极限9.设函数问：（1）当a为何值时，f(x)在x=0右连续；（2）a,b为何值时，f(x)在x=0处有极限存在；（3）当a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。处右连续。在时，。故当，从而，，又右连续，须有在要使 解：0)(11sin0lim)0()0()(0lim0)()1(====®==®=++xxfaaaxxxaffxfxxxf根据f(x)x=0处极限存在的充分必要条件：即a=1,故当a=b=1时，f(x)在x=0处连续解:利用第二重要极限计算，即10.求下列极限
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