第三节一、收敛半径与收敛区间二、幂级数的运算及求和幂级数机动目录上页下页返回结束第十二章高等数学
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一、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称机动目录上页下页返回结束高等数学课件定理1.(Abel定理)收敛发散若幂级数则对满足不等式的一切x幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使阿贝尔目录上页下页返回结束高等数学课件运行时,点击相片,或按钮“阿贝尔”可显示阿贝尔简介,并自动返回.收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕机动目录上页下页返回结束高等数学课件幂级数在(－∞,+∞)收敛;由Abel定理可以看出,中心的区间.用±R
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示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;R=时,幂级数在(－R,R)收敛;(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.R称为收敛半径，在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在(－R,R)称为收敛区间.机动目录上页下页返回结束高等数学课件定理2.若的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则机动目录上页下页返回结束高等数学课件2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意x原级数因此因此的收敛半径也表示为说明:据此定理和根值法因此级数的收敛半径机动目录上页下页返回结束高等数学课件例1.求幂级数对端点x=－1,的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为机动目录上页下页返回结束高等数学课件例2.求下列幂级数的收敛域:解:所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=1机动目录上页下页返回结束(1)高等数学课件例3.的收敛半径.解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由机动目录上页下页返回结束高等数学课件例4.的收敛域.解:令级数变为当t=2时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即机动目录上页下页返回结束高等数学课件二、幂级数的运算定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.机动目录上页下页返回结束高等数学课件*幂级数的除法设幂级数及则此两幂级数相除定义其中机动目录上页下页返回结束即由此式可以定出为如高等数学课件说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是机动目录上页下页返回结束高等数学课件结论.若幂级数的收敛半径R>0,则此级数在(－R,R)内任一闭区间[a,b]上一致收敛.证:则对[a,b]上的一切x,都有由阿贝尔定理(第三节定理1)级数绝对收敛,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.说明:若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛区间可包含此端点.证毕机动目录上页下页返回结束高等数学课件定理4若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.机动目录上页下页返回结束高等数学课件定理4.若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即注:关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯特拉斯判别法的推论及定理1,2立即可得.下面证明逐项可导的结论:机动目录上页下页返回结束高等数学课件证:则由比值审敛法知级数故故存在M>0,使得由比较审敛法可知机动目录上页下页返回结束高等数学课件上一致收敛,故原级数内任一闭区间上满足定理3条件,从而可逐项求导,即知再证级数的收敛半径由前面的证明可知若将幂级数机动目录上页下页返回结束高等数学课件推论.级数的收敛半径不会缩小,因逐项积分所得幂级数(－R,R)内有任意阶导数,且有其收敛半径都为R.的和函数S(x)在收敛区间证毕第七节目录上页下页返回结束高等数学课件例5.解:由例2可知级数的收敛半径R＝+∞.则故有故得的和函数.因此得设机动目录上页下页返回结束高等数学课件例6.的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,x＝±1时级数发散,机动目录上页下页返回结束高等数学课件例7.求级数的和函数解:易求出幂级数的收敛半径为1,收敛,机动目录上页下页返回结束高等数学课件因此由和函数的连续性得:而机动目录上页下页返回结束高等数学课件例8.解:设则机动目录上页下页返回结束高等数学课件而故机动目录上页下页返回结束高等数学课件内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对
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型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.机动目录上页下页返回结束高等数学课件2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习1.已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在收敛,时发散.故收敛半径为机动目录上页下页返回结束高等数学课件答:不能.2.在幂级数中,n为奇数n为偶数能否确定它的收敛半径不存在?因为当时级数收敛,时级数发散,说明:可以证明比值判别法成立根值判别法成立机动目录上页下页返回结束高等数学课件阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,高等数学课件补充题求极限其中解:令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则机动目录上页下页返回结束高等数学课件运行时,点击相片,或按钮“阿贝尔”可显示阿贝尔简介,并自动返回.
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