第七章 图形的变换与坐标第34课 图形的变换、坐标、
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同一平面直角坐标系中，感受图形变换前后(平移、轴对称、旋转、相似等)点的坐标的变化规律．一、考点知识，【例1】在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是__________，A1的坐标是__________．【考点1】在坐标系中图形变换前后，确定点的位置和坐标二、例
题
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与变式(3，0）(4，3）【变式1】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(3，4)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是________．(－4，3)【考点2】在坐标系中图形变换前后，解决有关函数的问题【例2】如图，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△A′OB′.(1)若点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为________；(2)若tan∠AOB＝，OB＝4，反比例函数y＝(k≠0)经过点A′，求k的值．解：（1）（－b，a）（2）由（1）知A′（－2，4），∴k的值为－8.【变式2】如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(0，－1)，C(3，－2)，△DEF是由△ABC绕着某点P旋转得到的．(1)求点P的坐标；(2)求直线EF的解析式．解：（1）（0，1）（2）∵E（2，1），F（3，4），设EF的解析式为y=kx+b，∴2k+b=1,解得k=3,3k+b=4.b=－5.【考点3】在坐标系中图形变换前后，相似问题【例3】如图，已知抛物线y＝2x2－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)写出以A，B，C为顶点的三角形面积；(2)过点D(m，0)(其中m＞1)且与x轴垂直的直线l上有一点Q(点Q在第一象限)，使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长．(用含m的代数式
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示)解：（1）∵y＝2x2－2，∴当y＝0时，2x2－2＝0，x＝±1，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(1，0），AB＝2.又当x＝0时，y＝－2，∴点C的坐标为(0,－2），OC＝2.∴S△ABC＝AB·OC＝×2×2＝2.(2)过点D(m，0)(其中m＞1)且与x轴垂直的直线l上有一点Q(点Q在第一象限)，使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长．(用含m的代数式表示)（2）∵点B的坐标为(1，0），点C的坐标为(0，－2），∴OB＝1，OC＝2.∵∠QDB＝∠BOC＝90°，∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则，即，解得DQ＝2(m－1)＝2m－2;②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则，即，解得DQ=.综上所述，线段QD的长为2m－2或.【变式3】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O，若点A的坐标是(1，2)，B的坐标是(2，1)．(1)求点A′和B′的坐标．(2)过点A的双曲线为，过点A′的双曲线为，求n－m的值．解：（1）A′(－2,－4）,B′(－4,－2）.（2）由已知,得m=2.n=8.∴n－m=6.A组1．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点A(－2，2)，B(0，5)，C(0，2)．(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C的图形，(2)平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为(－2，－6)，请画出平移后对应的△A2B2C2的图形；(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标．三、过关训练解：（1）图略（2）图略（3）旋转中心坐标(0，－2）2．(1)如图，写出坐标系中△ABC与△A′B′C′的顶点坐标，并判断这两个三角形是通过怎样的变换得到的；(2)如果点M(m＋1，n－3)与点M′(2m＋1，－7＋n)是两个三角形中的对应点，求m，n的值．解：（1）A(2，4），B(－2，2），C(3，1），A′(2，－4），B′(－2，－2），C′(3，－1）.关于x轴对称得到.（2）由题意,得m+1=2m+1,解得n＝5,n－3=－(－7+n）.m＝0B组3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－2，0)，(－1，0)，BC⊥x轴，将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′(A和A′，B和B′，C和C′分别是对应顶点)，直线y＝x＋b经过点A，C′，求点C′的坐标．解：把A(－2,0)代入y＝x＋b,得－2+b=0，b=2.∴y=x+2，当x=1时，y=1+2=3，∴点C′的坐标为(1，3).4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称．(1)画出对称中心E，并写出点E，A，C的坐标；(2)P(a，b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后点P的对应点为P2(a＋6，b＋2)，请画出上述平移后的△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；(3)判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系．(直接写出结果)解：（1）E(－3，－1），A(－3，2），C(－2，0）（2）A2(3，4），C2(4，2）.（3）△A2B2C2与△A1B1C1关于原点O成中心对称.C组5．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，(1)求证：①BE＝DG；②BE⊥DG；(2)用a和b的代数式表示DE2＋BG2.解：（1）证明：设BE，DG交于点O，∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°.∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.在△BCE和△DCG中，∵BC=DC，∠BCE=∠DCG，CE=CG，∴△BCE≌△DCG(SAS）.∴BE=DG，∴∠1=∠2.∵∠BCD=90°∵∠2+∠3=∠1+∠4=90°，∴∠BOD=90°，∴BE⊥DG.（2）解：连接BD，EG，如图，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，即DE2+BG2=2a2+2b2.(2)用a和b的代数式表示DE2＋BG2.
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