精心整理2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1•设集合S={a,A,A,A}，在S上定义运算“㊉”为：A㊉A=A，其中k为i+j被4除的余数，0123ijki,j=0丄2,3.则满足关系（x㊉x）㊉A=A的x（x&S）的个数为（）20A．1B．2C．3D．4答案：B．提示：因为(x㊉x丿㊉A=A,，设x㊉x，所以A㊉A=a,k=2,即x㊉x=A，故x=A或x=A.20kk20213答案：A.2•—个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是（）A.6B.3C.1D.23-设函数f0=2尸C0Sx{an}是公差为I的等差数列，f（a1）+f（。2）++f（an）=5兀，则-aa=()15n11A.0B.兀C.168D.13兀216答案：D.提示：因为｛a｝是公差为号的等差数列，且n8即2(a+a++a)—(cosa+cosa++cosa)=5兀，所以125125即10a-2cos3二匸+2cos巴+1]cosaI48丿：记g(x)=10x-(c兀c兀J-2cos—+2cos—+1cosx-5兀，贝卩I48丿则/\(兀兀)'(x)=10+2cos—+2cos—+1sinx>0，I48丿所以(兀J2兀兀'2-aa=-1512丿(24丿124丿13=——兀2.16兀兀即g（x）在R为增函数，有唯一零点x=乙，所以a3=24.设m,n为非零实数，i为虚数单位，zeC，则方程|z+nz]+|z-mz]=n与方程|z+ni|-|z-mi|=-m在精心整理精心整理精心整理同一复平面内的图形（其中F,F是焦点）是（）12答案：B.提示：z+ni+z一mi=n表示以F（0,—n）,F（0,m）为焦点的椭圆且n>0.z+ni一z一mi=-m表示以12F（0,—n）,F（0,m）为焦点的双曲线的一支.由n=|z+n］屮z—冲，丰m^|,知mV0.故双曲线z+ni一z一mi一m的一支靠近点F2-5•给定平面向量（1,1），那么，平面向量是将向量（1,1）经过变换得到的，答案是（）A.顺时针旋转60所得B.顺时针旋转120所得C.逆时针旋转60所得D.逆时针旋转120所得答案：C.提示：设两向量所成的角为e，则cos9eeT0,180］，所以e=60.又二^3<0,1^3>0，所以c正确.。。」。226•在某次乒乓球单打比赛中，原
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（）A.OB.1C.2D.3答案：B.提示：设这3名选手之间比赛的场数是r，共n名选手参赛，依题意有C2+6一r=50，即（"一3）（"一4）二44+r.n一3因为0
7,SC>9,AB=5,BC<6,AC<8,则三棱锥的体积的最大值为.提示：设上SAB=a，根据余弦定理有cosa=SA+SABABSB<4；+]-]_2SA-AB2x4x55，故si血=-1261coo纟"S,=-SA-ABa0时，16x+—'8，当且仅当x二一时取“二”.而16sin兀xcos兀x=8sin2kx<8，当且仅当x4111x二4+k,keZ时取“=”号•于是，当x>0时，方程只有一个解x蔦.由奇函数的性质可知，x一4是方程的另一个解•故方程的解集合为12.当一个非空数集F满足条件“如果a,beF，则a+b,a—b,a-beF,且当b丰0时，agF”时，我们b称F就是一个数域。以下四个关于数域的命题:①0是任何数域的元素；②若数域F有非零元素，贝2016eF；③集合P=（xIx=3k,keZ｝是一个数域；④有理数集是一个数域。其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）答案：①②④.a1提示：根据数域的定义判断，①②④均正确.取a二3,b二6，则a,beP，但匸二入纟P，即③错误.b2三、简答题（本大题共4个小题，满分72分）x2y2（—I113.（本小题满分16分）已知椭圆C:+=1（a>b>0）经过点，离心率为了，经过椭圆C的右焦a2b22点F交椭圆于A,B两点，点A,F,B在直线x=4的射影依次是D,K,E。求椭圆的C的方程；连接AE,BD，试探求当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标并给予证明；否则，说明理由。解：(1)由经过点C,J3)，得b二';3,由离心率为;，得e==■，得a=2.2aa2故椭圆C的方程为C咛+寸=1.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l丄x轴，则ABED为矩形，由对称性知，直线AE与BD相交于FK的中点N2,0，由此猜想直线AE与BD相交于定点Nf斗,0、・2丿证明：设A(X,y),B(x,y),D(4,y),E(4,y)直线AB的方程为y=k(x-1)，联立椭圆C的方程消去y得1122123x2+4k2(x-1)2=12，即)8k24k2-12+42丿x2-8k2站4k-12=x04；x=,xx=.又因为123+4k2123+4k2l:y-y=严(x-4)，AE24-x21k(x-x)35k(x+x21X=14-x21)-2kxx-8k2(4-x)*12—1即点Nf2,01在直线l上.k2丿AE-8k(3+4k2)-2k(4k2-12)BD同理可证，点N2,0在直线/上，所以，当直线/的倾斜角变化时，直线AE与BD相交于定点Nf|,0'.2丿14.(本小题满分16分)已知四边形ABCD是正方形，P是边CD上一点(点P不与顶点重合)，延长AP与BC的延长线交于点Q。设AABQ，ApAD，ApCQ的内切圆半径分别是ri，r2,r3。证明：r2>4rr，并指出点P在什么位置时等号成立；TOC\o"1-5"\h\z1231若AB=1,试求证：3—2、：22話rr，即r2>4rr.当且仅当r=r，即P为CD的中点时，等号成立.123丫2312323精心整理22精心整理(2)由(1)得r二r+r，所以有123(兀、记/dap=00e2。12x=(kn+ck,>0.p(x)=Inx+x-1,x>0,贝pr(x)=-+1>0，于是p(x)在(0,+8)上为增函数.x又p(1)=0，所以，当m=-2时，函数f(x)有唯一零点x=1.⑵若f(x)有两个极值点x1,3,则导函数f'(x)有两个零点x1,⑰由广(x)=Inx-mx,可知<厂lnx—mx=0,11lnx-mx=0.'22要证x1x2>e2，可转化为证明：lnx1+lnx2>2・lnx一mx=0,,lnx+lnx1可得m=12lnx—mx=0x+x212lnx—mx=0,11c可得m=lnx—mx=022lnx-lnx12x-x12lnx+lnx两式联立，得一-x+x12lnx-lnx12.进x-x1rH步，设02，即证Int<当00,t+1t(t+1)2t(t+1)2(t-1)2故函数g(t)在(o,i)上为增函数，g(t)e2.t+112(1111)16.已知互异的正实数x,x,x,x满足不等式(x+x+x+x)1II<17。(xxxx丿'1234712341234求证：从x1，x2,x3,x4可任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形。证明：由于C：二4，故从x1，x2,x3,x4中任取3个数作为边长，共可构成4个不同的三角形,即是任取3个数作为边长均可构成不同的三角形.下面用反证法给出证明:若存在某三个数为边长的不能构成三角形，由对称性可知不妨设这三个数为且满足x>x+x・因为123(11、J11—+—>4，知一+—>(xx丿、23丿4，并设xxx+x232311由(x+x)23由条件，得12+4t+<17，即4t+-tt/1t4-t+5(41-)(t-)1八4t+—-1==>0,ttx1——x+x23-1©t)>事.实上，当t>1=t(t>1)，得这与上面所得结论矛盾.所以，原命题成立.2(4-x)(3+4k2)1
浙公网安备 33021202002483