数学模型实验报告 ——插值 专业： 姓名： 李 学号： 姓名： 刘 学号： 姓名： 汪 学号： 数学模型实验报告（插值） 1、 实验目的： 1、了解插值的基本
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。 2、掌握用数学软件包求解插值问题。 二、实验内容： （一）一维插值 一、插值的定义 已知 n+1个节点 其中 互不相同，不妨设 求任一插值点 处的插值 构造一个(相对简单的)函数 通过全部节点, 即 再用 计算插值，即 二、插值的方法 拉格朗日(Lagrange)插值 已知函数f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn处的函数值为 y0,y1,…,yn 。求一n次多项式函数Pn(x)，使其满足： Pn(xi)=yi,i=0,1,…,n. 解决此问题的拉格朗日插值多项式公式如下 其中Li(x) 为n次多项式： 称为拉格朗日插值基函数。 特别地: 两点一次(线性)插值多项式: 三点二次(抛物)插值多项式: 例 采用拉格朗日多项式插值：选取不同插值节点个数n+1，其中n为插值多项式的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出插值结果图形. 拉格朗日多项式插值的这种振荡现象叫 Runge现象 解： 编写M文件程序如下： m=101; x=-5:10/(m-1):5; y=1./(1+x.^2);z=0*x; plot(x,z,'r',x,y,'LineWidth',1.5), gtext('y=1/(1+x^2)'),pause n=3; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y1=lagr1(x0,y0,x); hold on, plot(x,y1,'b'),gtext('n=2'), pause,hold off n=5; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y2=lagr1(x0,y0,x); hold on, plot(x,y2,'b:'),gtext('n=4'), pause,hold off n=7; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y3=lagr1(x0,y0,x);hold on, plot(x,y3,'r'),gtext('n=6'), pause,hold off n=9; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y4=lagr1(x0,y0,x);hold on, plot(x,y4,'r:'),gtext('n=8'), pause,hold off n=11; x0=-5:10/(n-1):5; y0=1./(1+x0.^2); y5=lagr1(x0,y0,x);hold on, plot(x,y5,'m'),gtext('n=10') 分段线性插值 计算量与n无关; n越大，误差越小. 例 用分段线性插值法求插值,并观察插值误差. 1. 在[-6,6]中平均选取5个点作插值 2. 在[-6,6]中平均选取11个点作插值 3. 在[-6,6]中平均选取21个点作插值 4. 在[-6,6]中平均选取41个点作插值 解： 编写M文件程序如下： x=linspace(-6,6,100); y=1./(x.^2+1); x1=linspace(-6,6,5);%第三个参数表示插值点的个数，可分别改为11，21，41 y1=1./(x1.^2+1); plot(x,y,x1,y1,x1,y1,'o','LineWidth',1.5), gtext('n=4'), 运行结果如下图： 结果分析：插值点越多越接近原函数 三次样条插值 比分段线性插值更光滑。 在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一个很好的例子。 g(x)为被插值函数。 例 用三次样条插值选取11个基点计算插值(ych) 解： 编写M文件程序如下： x0=linspace(-5,5,11); y0=1./(1+x0.^2); x=linspace(-5,5,100); y=interp1(x0,y0,x,'spline'); x1=linspace(-5,5,100); y1=1./(1+x1.^2); plot(x1,y1,'k',x0,y0,'+',x,y,'r'); 运行结果如右图： 用MATLAB作插值计算 3、 用Matlab解插值问题 一维插值函数：yi=interp1(x，y，xi，'method') yi xi：处的插值结果 x，y：插值节点 xi：被插值点 'method'：插值方法 注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够超过x的范围。 例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。 解： 编写M文件程序如下： hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius') 运行结果如右图： 例: 已知飞机下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y值。 X 0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 Y 0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 解： 编写M文件程序如下： x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ]; y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ]; x=0:0.1:15; y1=lagr1(x0,y0,x); y2=interp1(x0,y0,x); y3=interp1(x0,y0,x,'spline'); subplot(3,1,1) plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r') grid title('lagrange') subplot(3,1,2) plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r') grid title('piecewise linear') subplot(3,1,3) plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r') grid title('spline') 运行结果如右图：
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