第四章_真值函项逻辑

1 第四章 真值函项逻辑 直言命题逻辑的研究对象是基于 A、E、I、O 四种直言命题的论证形式的有效性分析 与 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 。这种四种命题通常对应是语言学所讲的陈述句。但是，在自然语言中，并不是所 有语句都是陈述句，即并非所有命题都可以化归为这种直言命题形式。语言学家们通常都 把语句分为单句和复句。陈述句是单句中的一种主要形式。真值函项逻辑所研究的复合命 题正是与复句所对应的。因此，真值函项逻辑的研究对象是复合命题论证的分析与评价。 这部分内容已经被现代逻辑学家很好地发展成为现代逻辑的两个演算之一――命题演算。 第一节 复合命题论证 复合命题论证是指前提或结论中至少有一个复合命题的论证。复合命题论证是亚里士 多德之后的斯多葛学派所讨论的主要论证类型。复合命题与语言学上所讲的复句相对应， 但不是一一对应。语言学家在讨论复句时，区分许多子类型，而逻辑学家在讨论复合命题 通常只区分为四种类型即条件命题、否定命题、合取命题、析取命题和等值命题。 一、 复合命题论证 复合命题是指包括一个或一个以上较短命题作为自身的一部分的命题。例如，“高罗 佩是《狄公案》的作者，并且高罗佩是荷兰人”。这是一个复合命题，它包括了两个较短 的命题：“高罗佩是《狄公案》的作者”和“高罗佩是荷兰人”。这两个命题是通过语词“并 且”连接在一起的。借助像“否定”、“析取”、“合取”以及“条件”之类的逻辑联结词， 我们就可以把一个或一个以上的较短命题组合在一起形成复合命题。由这些逻辑关系所构 成的命题所形成的论证就是复合命题论证。 常见的有效复合论证和无效复合论证可分为否定论证、析取论证、合取论证、合取论 证、条件论证和二难论证五种形式。有了这些有效论证和无效论证，我们就可以通过它们 是否具有与清单中某个论证的相同形式来判定一个具体论证是有效的还是无效的。下列论 证清单中，p、q、r 均代表命题。它既可以是第二章所讲的直言命题，也可以是本章所讲 的复合命题，还可以是第五章将要讲的关系命题。 二、 否定论证 否定论证与否定命题密不可分。否定命题，又称为负命题，是指通过对一个命题通过 加上否定逻辑联结词“并非”形成的。否定论证是指只有一个前提和一个结论且前提或结 论为两个否定词的论证形式。如下表所示： 双 重 否 定 论 证 有效形式一 有效形式二 ¬ ¬ p p ∴ p ∴¬ ¬ p 这里，我们用 p、q、r 等字母来代表一个较短命题。符号“¬”代表是联结词“否定”， 读作“非”或“并非”。在汉语中，“……是假的”、“并非……”、“并不是……”、“非……”、 “不可能……”、“……，那不是真的”、“……是错误的”、“……是不成立的”等语词都可 2 以翻译成“¬ p”的命题形式。有国内许多逻辑学教科书中，还把具有形式¬ p 的命题称 为负命题。 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 孙中山是孙逸仙； 因此，孙中山不是孙逸仙，那不是真的。 分 析 首先，我们令“p”代表命题“孙中山是孙逸仙”。 然后，我们用“¬ p”代表“孙中山不是孙逸仙”，再用“¬”代表“那不是真的”。 我们可以得出该论证的形式如下： p p∴¬¬ 这个论证具有上述双重否定论证形式之二，因此，它是有效论证。 思考题 识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式。 1. 人总是不会死的，这是错误的，因此，人总是会死的。 2. 有中国人会讲荷兰语，这是因为并不是中国人都不会讲荷兰语。 三、 合取论证 合取论证是指前提或结论有一个合取命题的论证形式。但这种论证并不必然具有两个 前提和一个结论，即它可能是只有一个前提和一个结论。如下表所示： 合 取 论 证 类型 形式 一 形式 二 形式 三 形式 四 形式 五 形式 六 有效合 取论证 (p q) p q ¬ ∧ ∴¬ ( p q ) q p ¬ ∧ ∴ ¬ p q p q∴ ∧ p q q p∴ ∧ p q q ∧ ∴ p q p ∧ ∴ 无效合 取论证 (p q) p q ¬ ∧ ¬ ∴ (p q) q p ¬ ∧ ¬ ∴ 其中，符号“∧”表示逻辑联结词“合取”，读作“并且”。在汉语中，具有“p q∧ ” 形式的命题通常与表达并列、转折、递进、承接等关系的复句相对应。 表达并列关系复句的关联词有：“有的……有的……”、“一方面……一方面……”、“有 时候……有时候……”、“那么……那么……”、“既然……又……”、“一边……一边……”、 “……也……”、“……又……”、“……还……”、“……同时……”，等等。 3 表达转折关系复句的关联词有：“……可是……”、“……但是……”、“虽然……可 是……”、“虽然……但是……”、“尽管……还……”、“虽然(虽是、虽说、尽管、固然)…… 但是(但、可是、然而、却) ……”、“……却……”、“……不过……”、“……然而……”、 “……只是……”，等等。 表达递进关系复句的关联词有：“不但……还……”、“不仅……还……”、“除了…… 还有……”、“不但……而且……”、“不但 (不仅、不光)……而且(并且)……”、“不但…… 还(也、又、更)……”、“……何况……”、“……而且……”、“……况且……”、“……尤其……”、 “……甚至……”，等等。 表达承接关系复句的关联词有：“……就……”、“……便……”、“……才……”、“…… 又……”、“……于是……”、“……然后……”、“……接着……”、“首先（起初）……，然 后……”、“……从而……”，等等。 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 在桌子上有三张牌排成一行，现在我们已知： （1）K 右边的两张中至少有一张是 A； （2）A 左边的两张中也有一张 A； （3）方块左边的两张中至少一张上是红桃； （4）红桃右边的两张中也有一张是红桃。 请问：最左边和最右边的两张牌各是什么？ 分 析 首先，让我们先看最右边这张牌是什么？根据已知条件（1），我们可知最右边的这张 牌是 K；根据已知条件（4），我们可知这张牌是红桃，因此，最右边这张牌是红桃 K。其 论证是： 这张牌是 K； 这张牌是红桃； 因此，这张牌是红桃 K。 用论证形式来表示，这个论证的形式是： p q q p∴ ∧ 这个论证形式是有效的。 其次，让我们来看看最左边这张牌。根据已知条件（3），我们可得知这张牌是方块； 根据已知条件（2），我们可知这张牌是 A，因此，最左边的这张牌是方块 A。其论证是： 这张牌是方块； 这张牌是 A； 因此，这张牌是方块 A。 用论证形式来表示，这个论证的形式是： 4 p q p q∴ ∧ 这个论证形式是有效的。 思考题 识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成标准形式。 1. 鞠实儿和苏天辅都是当代中国逻辑学家，因此，鞠实儿是当代中国逻辑学家。 2. 并非陈那和墨子都是中国古代逻辑学家，陈那不是中国古代逻辑学家，因此，墨 子是中国古代逻辑学家。 四、 析取论证 析取论证是指这样一种论证，它是由两个前提组成，其中一个前提是析取命题，另一 个前提是对其中一个析取肢进行否定或肯定的论证。如下图所示： 析取 论证 类型 形式一 形式二 有效析取论证 p q p q ∨ ¬ ∴ p q q p ∨ ¬ ∴ 无效析取论证 p q p q ∨ ∴ ¬ p q q p ∨ ∴ ¬ 其中符号“∨”代表逻辑联结词“析取”，读作“或者”。在汉语中，常见的表达析取 关系的语词有“……或……”、“或者……或者……”、“……或者……”、“或是……或 是……”、“是……还是……”等。从语言学角度来讲，它对应的是相容选择关系复句，因 此，在国内许多逻辑学教科书中，具有这种形式的复合命题又通常被称“相容选言命题”。 与相容选择关系复句相对应，还有一类不相容选择关系复句，许多逻辑学教科书把这 种复句所表达的命题称为“不相容选言命题”。表达这种复句的关联词有“不是……就 是……”、“要么……要么……”、“或者……或者……，二者不可得兼”、“宁可……也 不……”、“与其……不如……”等等。但这类复句所表达的命题不能简单地表达成“p q∨ ”。 由于 p 和 q 不可能同时为真，因此，我们需要借助前面的否定词“¬”和后面将要讲的合 取联结词“∧”来表示这类命题的形式。 在上述析取论证中，第一个前提是析取命题，第二个前提对其中一个析取肢进行肯定 或否定，最后一个命题是结论。由于这种论证也是三个命题组成，因此，这种论证又被有 些逻辑学家称为选言三段论。 然而，在自然语言论证中，我们常常遇到的有效论证，但它并不正好与我们给定的形 式之一相匹配。我们处理这种情形的 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 之一就是，将给定论证翻译成为标准形式之一。 这可以通过两种办法来实现：一是用与其逻辑等值的命题来取代前提或结论，这在后面的 逻辑等值讨论中进行阐述；二是重新排列前提次序，使得其与标准形式的析取论证相符。 5 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 李白不可能出生于焉耆碎叶； 李白或出生于中亚碎叶，或出生于焉耆碎叶； 因此，李白出生于中亚碎叶。 分 析 由于这个论证的选言前提是第二个前提，因此，我们需要重新排排序前提次序，即： 李白或出生于中亚碎叶，或出生于焉耆碎叶； 李白不可能出生于焉耆碎叶； 因此，李白出生于中亚碎叶。 这个论证具有形式： p q p q ∨ ¬ ∴ 这是有效析取论证的形式一，因此，它是有效的。 思考题 识别下列论证的形式，并指出其是否有效？若有必要，请重新排列成标准形式。 3. 艾丽丝没有穿过玻璃房不是真的，因此，艾丽丝穿过了玻璃房。 4. 艾丽丝遇到了红皇后；或者艾丽丝遇到了红皇后，或者艾丽丝迷了路，因此，艾 丽丝迷了路。 五、 条件论证 条件论证与条件命题密不可分。条件命题有广义和狭义之分。广义条件命题包括充分 条件命题、必要条件命题和充分条件命题。狭义条件命题仅仅是充分条件命题。在大多数 西方逻辑教科书中，条件命题往往指的是后者，因为必要条件命题和充分条件命题都可以 用“条件”联结词和其它联结词组合在一起表达。 为此，我们这里也采用狭义条件命题概念。条件命题又称为充分条件假言命题或蕴涵 命题，是指反对一个命题为真是另一命题为真的充分条件的命题。条件命题的标识词是“如 果……，那么……”。其中，省略号部分可以填入不同的命题，所填入的命题可以是直言 命题，可以是复合命题，也可以是关系命题。标识词“如果”后面的命题被称为前件，标 识词“那么”后面的命题被称为后件。 其中，符号“→”表示逻辑联结词“条件”，读作“如果……，那么……”。在汉语 中，具有条件命题形式“p q→ ”通常都与表达条件、假设、因果关系的复句相对应。 表达条件关系复句的常用关联词有：“只要……就……”、、“只有……才”、“除非…… 才（不）……”、“无论（不管，不论）……都……”、“如果……那么……，并且只有…… 6 才……”、“……当且仅当……”、“……若且惟若……”，等等。不过，这里有些关联词表 达充分条件，有些表达必要条件，有些表达充要条件。因此，这些复句的命题形式并不总 是“p q→ ”形式。例如，必要条件关系复句“只有 p，才 q”的命题形式是“q p→ ”。 再如，“p 当且仅当 q”的命题形式需要借助合取联结词“∧”和条件联结词“→”才能 表达，即为形式“ (p q) (q p)→ ∧ → ”。 表达假设关系复句的常用关联词有：“如果（假如、倘若、若、要是、要、若要、假 若、如若）……就（那么、那、便、那就、则）……”、“即使（就是、就算、纵然、哪怕、 即便、纵使）……也（还、还是）……”、“再……也……”，等等。 表达因果关系复句的常用关联词有：“因为（因）……所以（便）……”、“由于…… 因而……”、“……因此……”、“……故此……”、“……故而……”“之所以……是因为……”、 “既然（既是）……就（那就、便、又何必）……”，等等。事实上，这类标识词也是论 证标识词。但当它们只是作为子论证时，我们就可以将其视为条件命题。 条件论证是指前提或结论中至少有一个条件命题的论证。其论证如下图所示： 有效 论证 分离 论证 p q p q → ∴ 逆分离 论证 p q q p → ¬ ∴¬ 连锁论 证 p q q r p r → → ∴ → 归谬 法 p p p →¬ ∴¬ p (q q) p → ∧¬ ∴¬ 无效 论证 肯定 后件 谬误 p q q p → ∴ 否定 后件 谬误 p q p q → ¬ ∴¬ 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 如果你不称职，那么你就看不见新衣； 你看见了新衣； 因此，你称职。 分 析 我们用 p 代表“你称职”， p¬ 代表“你不称职”，q 代表“你看见新衣”， q¬ 代表“你 看不见新衣”，那么，上述论证的论证形式如下： p q q p ¬ →¬ ∴ 这是上面的逆分离论证论证形式，是有效的。 7 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 如果猫多，那么田鼠少； 如果田鼠少，那么熊蜂多； 因此，如果猫多，那么熊蜂多。 分 析 我们用 p、q、r 分别代表“猫多”、“田鼠少”、“熊蜂多”，那么，上述论证的形式便是： p q q r p r → → ∴ → 从上表中可以查到，这是一个有效论证形式。 思考题 识别下列论证的形式，并指出其是否有效？ 1. 如果天不下雨，我就去；天没下雨；因此，我去。 2. 如果天不下雨，我就去；天下雨；因此，我不去。 3. 如果天下雨，我就不去；天没下雨；因此，我不去。 4. 如果天下雨，我就去；天下雨；因此，我去。 六、 二难论证 二难论证是指由两个条件命题、一个二肢析取命题和一个结论的论证。在这种论证形 式中，第三个前提是用一个二肢析取命题来肯定第一、二两个条件命题的前件或否定这两 个条件命题的后件而推导结论的。这种情形非常相似于条件论证中“分离论证”或“逆分 离论证”两种有效论证形式的情形。其有效论证形式如下图所示： 简单 类型 有效 形式 复杂 类型 有效 形式 简单 构成式 p q r q p r q → → ∨ ∴ 复杂 构成式 p q r s p r q s → → ∨ ∴ ∨ 简单 破坏式 p q p r q r p → → ¬ ∨ ¬ ∴¬ 复杂 破坏式 p q r s q s p r → → ¬ ∨¬ ∴¬ ∨¬ 当然，与上述有效论证对应的二难论证也有无效形式。这种无效论证形式正是我们在 使用这种论证时需要避免的。如下图所示： 简单 无效 复杂 无效 8 类型 形式 类型 形式 简单 构成式 p q p r q r p → → ∨ ∴ 复杂 构成式 p q r s q s p r → → ∨ ∴ ∨ 简单 破坏式 p q r q p r q → → ¬ ∨ ¬ ∴¬ 复杂 破坏式 p q r s p r q s → → ¬ ∨¬ ∴¬ ∨¬ 其中，论证是用一个二肢析取命题来分别肯定两个条件命题的后件或否定其前件而推 导出结论的，它类似于条件论证中肯定后件谬误或否定前件谬误两种无效论证的情形。 例 子 请分析下列论证的形式，并判定其是否有效？ 如果给他寄去征衣，那么他就会迟迟不归； 如果不给他寄去征衣，那么他会挨冻受寒； 或者给他寄去征衣，或者不给他寄去征衣； 因此，他或者会迟迟不归，或者他会挨冻受寒 分 析 这是根据元代著名文学家姚燧（1283-1313 年）的《越调•凭栏人•寄征衣》改编二难论 证。原文是“欲寄君衣君不还，不寄君衣君又寒。寄与不寄间，妾身难上难。”这描写了 一个思妇在寄与不寄征衣之间的矛盾心情。其论证是： p q p s p p q s → ¬ → ∨ ¬ ∴ ∨ 这是一个有效论证。 思考题 请用二难论证分析下山姆是否有罪？ 在美国芝加哥，有一家大百货商店被人盗窃了一批财物。芝加哥警察局经过侦察，拘 捕了三个重大的嫌疑犯：山姆、汤姆与吉宁士。后来，又经过审问，查明了以下的事实： 1. 罪犯带着赃物是坐车逃掉的； 2. 不伙同山姆，吉宁士决不会作案； 3. 汤姆不会开汽车； 4. 罪犯就是这三个人中的一个或一伙。 在这个案子里，山姆有罪吗? 9 第二节 真值函项 命题是指或者为真或者为假的语句。复合命题的真假是根据其肢命题的真假来判定 的。逻辑联结词的性质是判定复合命题真假的关键。不同的逻辑教科书使用的逻辑联结词 数量有所不同。本书所要介绍的逻辑联结词有否定、合取、析取、条件和等值。通过知道 复合命题肢命题的真值以及看真值表中相应的行与列，要判定一个复合命题的真或假是很 容易的。如果把复合命题翻译成为符号形式，这个过程将变得更加容易。有时，我们不得 不引入逻辑技术符号来帮助理解复合命题。 一、 概述 如果你知道了所有肢命题的真假，你就可以判定整个复合命题的真假。此时，我们就 可以说复合命题真假是其肢命题真假的一个函项。 例 子 如何判断下列命题的真假？ 勇士队赢得了东部联赛，而且道奇队赢得了西部联赛。 分 析 首先，这是一个复合命题，它包含了两个肢命题：“勇士队赢得了东部联赛”和“道 奇队赢得了西部联赛”。 其次，只有当两队都赢了比赛，做出这个预言的所说的话才是真的，否则他的预言便 是假的。 二、 逻辑联结词 像上面这样的命题被称为真值函项命题。这种命题总是包含着逻辑联结词，又被称为 “逻辑算子”。我们这里将讨论一个逻辑联结词，其中，每一个联结词都可以用一个“真 值表”来表达。真值表的目的是展示真值函项命题所具有的所有可能真假组合。 1. 否定：通常用“并非”来表达，用符号“¬”来表示。其真值规则是其真值相反。 情形 p p¬ 1 1 0 2 0 1 其中，“1”表示“真”，“0”表示“假”。从上述真值表可以看出，否定联结词的真值 情况是：如果 p 为真，那么 p¬ 为假；如果 p 为假，那么 p¬ 为真。 2. 合取：通常用“并且”来表达，用符号“∧”来表示。其真值规则是：只有当所 有肢命题为真时，它才为真，否则便为假。 情形 p q p q∧ 1 1 1 1 2 1 0 0 10 3 0 1 0 4 0 0 0 从这个真值表我们可以看出，合取联结词的真值情况是：只有第（1）种情形，即所 有合取肢命题都为真时，它是真的，其余情况都是假的。 3. 析取：通常用“或者”来表达，用符号“∨”来表示。其真值规则：只有当所有 肢命题为假，该命题才为假，其余情形都为真。也可以说，只要有一个肢命题为真，该命 题便为真，否则为假。 情形 p q p q∨ 1 1 1 1 2 1 0 1 3 0 1 1 4 0 0 0 从这个真值表可以看出，析取联结词的真值情况是：只有第四种情形为假，其余情形 都为真。 4. 条件：通常用“如果……那么……”来表达，用符号“→”来表示。其真值规则 是：只有当前件真后件假时，它才为假，否则便为真。 情形 p q p q→ 1 1 1 1 2 1 0 0 3 0 1 1 4 0 0 1 从这个真值表可以看出，条件联结词的真值情况是：只有第（2）情形为假，其余情 形都为真。 5. 等值：通常用“……当且仅当……”来表达，用符号“↔”来表示。由于这表示 “左边”是“右边”的充分条件，同时“右边”也是“左边”的充分条件，即：左右两边 互为充分条件，因此，这种命题又可称为“双条件命题”。其真值规则是：只有当前件和 后件都具有相同的真值时才为真，否则为假。由于前件和后件具有相同真值，因此，我们 把这种命题又称为等值命题。 情形 p q p q↔ 1 1 1 1 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0 1 从这个真值表可以看出，等值联结词的真值情况是：只有第（2）、（3）情形为假，（1）、 （4）两种情形为真。 三、 翻译成符号形式 通过知道复合命题肢命题的真值以及看真值表中相应的行与列，要判定一个复合命题 的真或假是很容易的。如果把复合命题翻译成为符号形式，这个过程将变得更加容易。 11 为了“翻译”复合命题，我们选择关键字母来表示。例如，我们可以把复合命题“鞠 实儿和梁庆寅都是中山大学教授”翻译成“ J L∧ ”，其中，J 代表“鞠实儿是中山大学教 授”的缩写，L 代表“梁庆寅是中山大学教授”的缩写。 一旦命题的简写得以完成，我们就能将合取规则应用于可以附加给 J 和 L 的任何真值。 也就是说，如果 J 是真的，L 是假的，那么复合命题“ J L∧ ”便是假的。但是，如果 J 是真的，而且 L 是真的，那么复合命题“ J L∧ ”便是真的。 例 子 将下列命题翻译成符号形式。 或者赵希顺是中山大学教授，或者鲁迅在中山大学任过教。 分 析 令“Z”代表“赵希顺是中山大学教授”，“L”代表“鲁迅在中山大学任过教”。既然 这是两个简单命题的析取，我们可以将其写成“或者 Z 或者 L”。再进一步符号化为： Z L∨ 例 子 假定“赵希顺是中山大学教授”是真的，而“鲁迅在中山大学任过教”是假的，那么 复合命题“Z L∨ ”的真值情况如何呢？ 分 析 析取规则说的是，只有当所有肢命题为假，析取命题才为假，否则为真。在这种情况 下，如果我们指派“1”给 Z，而指派“0”给 L，那么，复合命题“Z L∨ ”便为真。 例 子 现在假定“赵希顺不是中山大学教授”而且“鲁迅没有在中山大学任过教”，这个复 合命题的真值情况又如何呢？ 分 析 析取规则说的是，只有当所有肢命题为假，析取命题才为假，否则为真。在这种情形 下，如果我们指派“0”给 Z 和 L，那么这个命题“Z L∨ ”的真值便为假。 思考题 令“G”代表“广东宏远队获得了 A 组冠军”，“B”代表“八一火箭队获得了 B 组冠 军”。假定“G”是真的而“B”是假的。首先，将下列复合命题翻译成为符号形式；其次， 判定其真假。 1. 如果广东宏远队获得了 A 组获军，那么八一火箭队就获得了 B 组冠军。 12 2. 如果并且只有八一火箭队就获得了 B 组冠军，那么广东宏远队才获得了 A 组获军。 四、 逻辑技术符号 在许多情况下，在把复合命题翻译成符号形式时，我们需要逻辑技术符号。这种需要 的理由与数学为了避免含混而使用括号是一样的。在没有任何指导规则情况下，表达式 5 ＋3×2＝？既可以得到 16 又可以得出 11。前者理解为（5＋3）×2，而后者理解为 5＋（3 ×2）。在翻译复合命题时，我们会发现同样的问题。 例如，在没有括号情况下，下列命题是含混的：“辽宁盼盼队赢得了比赛并且山东永 安队赢得了比赛或者北京首钢队赢得了比赛”。这个命题可以理解为： （1）（辽宁盼盼队赢得了比赛并且山东永安队赢得了比赛）或者（北京首钢队赢得了 比赛）。 （2）（辽宁盼盼队赢得了比赛）并且（山东永安队赢得了比赛或者北京首钢队赢得了 比赛）。 在第一种解释中，命题是一个析取命题，其中，第一个析取肢是一个合取命题；在第 二种解释中，命题是一个合取命题，其中，第二个合取肢是一个析取命题。使用括号之后 就消除了含混，而且告诉了读者哪一种解释是作者的意图。 要注意，我们这里只假定了一种情况不需要使用括号，这与否定联结词有关。其规则 是“否定符号“¬”后面直接跟随什么就否定什么”，因此， p q¬ → 会被解释为一个带 有否定前件的条件命题。但是， (p q)¬ → 将被解释为对整个条件命题的否定。在第一种 情形下，否定了 p，在第二种情况下，否定了p q→ 。 例 子 将下列命题进行符号化。在需要使用括号的地方请使用括号。 或者吉林大禹队输给了广东宏远队或者浙江万马队和上海东方队都赢得了比赛。 分 析 首先，我们令“J”代表“吉林大禹队没有赢广东宏远队”，“Z”代表“浙江万马队赢 得了比赛”，“S”代表“上海东方队赢得了比赛”。 其次，我们要注意到命题中的逻辑算子。这里有三个逻辑算子，即：析取、否定与合 取。 第三，要判断主要的逻辑算子是什么，例如，问你自己这个命题主要说的是什么。在 这里，主要是“或者……或者……”，即“或者吉林大禹队……或者浙江万马队……”。 最后，你可以插入主算子的肢命题：（1）这个析取命题的第一个肢命题是一个否定命 题“ J¬ ”；（2）第二个肢命题是一个合取命题“Z S∧ ”；（3）如果你把两个肢命题用析取 命题合并起来，并且要确信“Z S∧ ”已用括号分开，但否定 J 不必这样做“ ( J)¬ ”，那 么，你就可以得到命题形式“ J (Z S)¬ ∨ ∧ ”。 13 思考题 将下列命题符号化。 1. 如果湖北美尔雅队没有赢得这场比赛，那么江苏南钢队赢得了这场比赛。（令“H” 代表“湖北美尔雅队赢得这场比赛”，“J”代表“江苏南钢队赢得了这场比赛”）。 2. 并非前卫奥神队和八一火箭队都赢得了这场比赛。（令“Q”代表“前卫奥神队赢 得了这场比赛”，“B”代表“八一火箭队赢得了这场比赛” 第三节 真值表 在这一节，我们将用逻辑算子规则来构造复合命题的真值表。一旦真值被构造出来， 我们以弄清真值表的各种应用。具体地说，我们可以用真值表来判定：（1）蕴涵和有效性； （2）等值；（3）重言式与矛盾式。 一、 概述 构造真值表是基于下列逻辑算子规则的：（1）否定：其真值相反；（2）合取：只有当 所有肢命题为真时，它才为真，否则便为假；（3）析取：只有当所有肢命题为假，该命题 才为假，其余情形都为真; （4）条件：：只有当前件真后件假时，它才为假，否则便为真； （5）等值：只有当前件和后件都具有相同的真值时才为真，否则为假。 真值表向我们展示了一个真值函项所具有的所有真假可能性。一个简单命题“p”有 2 种真假可能，二个简单命题“p”和“q”有就 4 种可能；三个简单命题“p”、“q”和“r” 就有 8 种可能，如此依此类推。因此，我们可以下列标准来建立针对不同简单命题数量建 立真值表。 情形 p 情形 p q 情形 p q r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1 0 2 1 1 0 3 0 1 3 1 0 1 4 0 0 4 1 0 0 5 0 1 1 6 0 1 0 7 0 0 1 8 0 0 0 二、 构造真值表 为了针对给定命题构造真值表，下列程序是有帮助的： 首先，注意到不同字线的数量，并且针对那个数量建立真值表。 其次，注意到主要逻辑算子，并通过构造围绕这个主算子的每个肢命题的辅助栏。 一旦这些工作被正确地做了，这个最终栏就代表着这个复合命题的所有真假可能组 合。 14 例 子 请构造命题“p q∨¬ ”的真值表。 分 析 首先，要注意到这里有两个字母 p 和 q。这个真值表就应当从下列这种形式开始。 情形 p q 1 1 1 2 1 0 3 0 1 4 0 0 其次，要注意到给定命题是一个析取命题，其中第一肢命题是 p 而第二个肢命题是 q 的否定。为了揭示 p 和 q¬ 之间的析取，你不得不知道针对 q¬ 的真值栏是什么。因此， 现在要做的事就是针对 q¬ 建立一个辅助列，本质上这一列是 q 的否定，如下表： 情形 p q q¬ 1 1 1 0 2 1 0 1 3 0 1 0 4 0 0 1 现在，你就可以画出整个析取命题的真值列。在这里，需要把前面所讲到的析取命题 真值规则应用到针对 p 和 q¬ 的列，构造出最后一列真值，从而得出一个完整的真值表。 情形 p q q¬ p q∨¬ 1 1 1 0 1 2 1 0 1 1 3 0 1 0 0 4 0 0 1 1 思考题 请构造下列命题形式的真值表。 1. p q¬ ∧ 2. p q¬ → 3. p p∨¬ 要构造真复杂的真值命题的真值表，你基本要遵循同样的程序。最重的事是小心逻辑 技术符号。 例 子 请构造命题“ (p q) q∧ ∨¬ ”的真值表。 15 分 析 首先，要弄清这个复合命题中字母的数量。既然这里只有两个不同字母 p 和 q，那么 真值表就从 2 列 4 行开始。 其次，要注意到这是一个析取命题，其第一个肢命题是一个合取命题“p q∧ ”，第二 个肢命题是 q 的否定即 q¬ 。括号将析取联结词左边的肢命题分了出来。这个命题的真值 表有两个辅助列，一个是针对p q∧ 的，一个是针对 q¬ 的。然后，析取规则将被应用这些 列。 情形 p q p q∧ q¬ ( p q ) q∧ ∨ ¬ 1 1 1 1 0 1 2 1 0 0 1 1 3 0 1 0 0 0 4 0 0 0 1 1 三、 用真值表检验蕴涵式 我们这里要讲的真值表应用的第一项就是用它来判定逻辑蕴涵。逻辑蕴涵，又称实质 蕴涵，通常被直接简称蕴涵，它是指一个命题与另一个命题之间的关系。这种关系是，如 果第一个为真，那么第二个也必然为真。 为了判定逻辑蕴涵，需要建立一个真值表，其中，包含了第一个命题和第二个命题的 真值列。然后，检查一下看其中是否存在这样一行：第一个命题为真，第二个命题为假。 如果存在，该蕴涵式不成立；如果不存在，该蕴涵式成立。 例 子 请用真值表检验“ (p q)¬ ∨ ”是否蕴涵“ p q¬ ∧¬ ”。 分 析 首先，建立两个命题的一个真值表。 情形 p q p q∨ (p q)¬ ∨ p¬ q¬ p q¬ ∧¬ 1 1 1 1 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 1 0 0 4 0 0 0 1 1 1 1 其次，注意这个表中只有第 4 种情形是“ (p q)¬ ∨ ”为真，而此时“ p q¬ ∧¬ ”也为 真，即：这里不存在“ (p q)¬ ∨ ”为真但“ p q¬ ∧¬ ”为假的这样一行真值，因此，“ (p q)¬ ∨ ” 蕴涵了“ p q¬ ∧¬ ”。 思考题 请用真值表检验下列蕴涵式是否成立。 16 1. (p q)¬ ∧ 是否蕴涵 p q¬ ∨¬ ？ 2. p q¬ ∧¬ 是否蕴涵 (p q)¬ ∧ ？ 四、 用真值表检验有效论证或无效论证 逻辑蕴涵思想为真值函项论证有效提供了理由，因为我们可以把前提作是一个用合取 联结词组合起来的一个合取命题，且这个合取命题是蕴涵结论的。 真值表检验论证有效性充分利用了蕴涵思想，提供了这样一种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：我们可以看是否 存在所有前提合取为真而结论为假的这样一行真值。其中，所有前提的合取为真，即是说， 所有前提均真。如果存在，这个论证就是无效的；如果不存在，那么这个论证就是有效的。 例 子 用真值表判定下列论证是否有效？ p q p q → ¬ ∴¬ 分 析 首先，我们用合取联结词将前提“p q→ ”和“ p¬ ”合并成“ (p q) p→ ∧¬ ”。要 注意，如果某一个前提是复合命题（否定命题除外），那么就必须用括号将这个前提括起 来。 其次，检查一下这个命题有多少个字母，并根据字母数量建立真值表。这个命题有两 个字母，因此，其真值表是要从下表开始。 情形 p q 1 1 1 2 1 0 3 0 1 4 0 0 第三，在真值表中表达整个论证的真值，即画出所有前提合取的真值列以及结论的真 值列。 情形 p q p q→ p¬ (p q ) p→ ∧ ¬ q¬ 1 1 1 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 3 0 1 1 1 1 0 4 0 0 1 1 1 1 第四，我们逐行读真值表，看看从前提合取命题到结论是否存在前者为真后者为假的 17 情形。如果你找到这样一行真值，那么该论证就是无效的；如果没有找到，那么该论证就 有效。上述真值表明，在第 3 种情形下，前提的合取式为真，但结论却为假。因此，这个 论证是无效的。这个真值表实际上表明了本章第一节所讲的否定前件谬误。 思考题 请用真值表检验判定下列论证是否有效。 1. p q r q p r q → → ∨ ∴ 2. (p q) p q ¬ ∧ ¬ ∴ 五、 用真值表检验等值 真值表的第二个主要应用就是用来检验真值函项等值。所谓真值函项等值是指：如果 两个命题必然具有相同的真值，那么它们就是真值函项等值的。真值函项等值又被称为逻 辑等值。通过展示复合命题的所有可能真假组合，我们可以用真值表来展示这种等值。如 果在每一种情形下两个命题的真假都是完全相同的，那么这两个命题就是逻辑等值的。相 反，只有一行是不同的，它们就不是等值的。 例 子 请用真值表判定下列两个复合命题是否逻辑等值：“p q→ ”与“ (q p) (p q)→ ∧ → ”。 分 析 首先，在画出基本真值表之后，写出每个命题的真值列。 情形 p q p q↔ q p→ p q→ (q p ) ( p q )→ ∧ → 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 1 0 0 3 0 1 0 0 1 0 4 0 0 1 1 1 1 其次，逐行检查一下两个命题的真值。如果每一种情形下两个命题的真值都是完全一 致的，那么这两个命题是等值的；否则就不是等值的。从上述真值表可以看出，在第 1、2、 3、4 种情形下，命题“p q↔ ”和“ (q p) (p q)→ ∧ → ”都是完全相同的，因此，这两 个命题是等值的。 思考题 18 用真值表判定下列命题是否等值。 1. “p (q r)∧ ∨ ”与“ (p q) (p r)∧ ∨ ∧ ”。 2. “ p q¬ ∧ ”与“ (p q)¬ ∧ ”。 六、 用真值表检验重言式与矛盾式 我们这里真值表的最后一个应用是用来检验重言式和矛盾式。 重言式，又称为永真式，是指其真值函项必然真的命题。矛盾式，又称为永假式，是 指其真值函项必然假的命题。 我们可以用真值表来判定一个命题是重言式或矛盾式，或两者都不是。其具体步骤如 下：（1）针对所讨论的命题建立一个真值列；（2）看看这一列是否包含了全部为真、全部 为假或者部分为真部分为假。如果最后一列真值在任何情况下都为真，那么这个真值表就 表明这个命题是一个重言式；如果最后列真值在任何情况下都为假，那么这个真值表表明 这个命题是一个矛盾式；如果最后一列真值表既包含了真的情形又包含了真的情形，那么 这个命题就既不是重言式也不是矛盾式。 例 子 用真值表判定下列命题是重言式、矛盾式还是两者都不是 p (p q)→ ∨ 分 析 在针对这个命题建立一列真值之后，看看这列真值是否都为真，或是否都为假，或者 并不都真或并不都假。 情形 p q p q∨ p (p q)→ ∨ 1 1 1 1 1 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 4 0 0 0 1 从上述真值表可以看出，最后一列真值在任何情况下都为真，因此，这个真值表表明 该命题必须为真，即是一个重言式。 思考题 用真值表判定下列命题是重言式、矛盾式还是两者都不是 1. (p q) (p q)∨ ∧¬ ∨ 2. (p q) ( q p)→ ↔ ¬ →¬ 19 第四节 形式演绎 形式演绎是指一个论证有效性的证明。在第二章中，面对三段论的有效性，我们可以 用文恩图来检验，也可以用三段论规则来检验。但是，我们无法用文恩图来检验复合命题 论证的有效性。对于比较简单的复合论证，我们可以用本章第一节中所讲的基本论证形式 即可检验其有效性。但是，并非所有复合命题论证都能够被化归为上述提及的基本论证形 式。有时，复合命题论证是相当复杂的，为此，我们需要采用形式演绎来检验一个复杂的 复合命题论证有效性。根据形式演绎方法，如果结论能够被通过使用有效论证、逻辑等值 和重言式原则从给定前提中一步一步地演绎出来，那么这个论证被表明是有效的。在这一 节中，我们给出了一系列基本有效论证、逻辑等值和重言式，利用这些原则或形式就可以 构造出有效性证明了。 一、 有效论证的基本形式 有效的论证很多。在这里，我们选出了 18 个有效论证作为基本形式，并将它们用来 证成形式演绎中的一步。不仅如此，这些基本形式的每个替换事例也都是有效的。 序 号 名称 形式 替换事例 1 分离论证 （MP） p q p q → ∴ (A B) C A B C ∧ → ∧ ∴ 2 逆分离论证 （MT） p q q p → ¬ ∴¬ X (Y Z) (Y Z) X ¬ → ∧ ¬ ∧ ∴¬¬ 3 假言连锁论证 （CH） p q q r p r → → ∴ → A (B C) (B C) D A D → ∧ ∧ → ∴ → 4 析取论证 （DA） p q p q ∨ ¬ ∴ (E F) G (E F) G ∧ ∨ ¬ ∧ ∴ 5 p q q p ∨ ¬ ∴ E F F F ∨¬ ¬¬ ∴ 20 6 p p q∴ ∨ X Y (X Y) Z ∧ ∴ ∧ ∨ 7 q p q∴ ∨ W Z Y (W Z) → ∴¬ ∨ → 8 合取论证 （CA） (p q) p q ¬ ∧ ∴¬ (A B) A B ¬ ∧ ∴¬ 9 (p q) q p ¬ ∧ ∴¬ ( G H) H G ¬ ¬ ∧ ∴¬¬ 10 p q p q∴ ∧ E F G (E F) G → ∴ → ∧ 11 合取简化 （CS） p q p ∧ ∴ (A B) C A B ∨ ∧ ∴ ∨ 12 p q q ∧ ∴ X Y Y ¬ ∧¬ ∴¬ 13 归谬法 （RaA） p p p →¬ ∴¬ (X Y) (X Y) (X Y) ∧ →¬ ∧ ∴¬ ∧ 14 p (q q) p → ∧¬ ∴¬ A (B B) A → ∧¬ ∴¬ 15 二难论证 简单构成式 （SC） p q r q p r q → → ∨ ∴ E (G F) H (G F) E H G F → ∧ → ∧ ∨ ∴ ∧ 21 16 二难论证 简单破坏式 （SD） p q p r q r p → → ¬ ∨¬ ∴¬ (M N) O (M N) L O L (M N) ∧ → ∧ → ¬ ∨¬ ∴¬ ∧ 17 二难论证 复杂构成式 （CC） p q r s p r q s → → ∨ ∴ ∨ A (B C) D E A D (B C) E → → → ∨ ∴ → ∨ 18 二难论证 复杂破坏式 （CD） p q r s q S p r → → ¬ ∨¬ ∴¬ ∨¬ X Y W Z Y Z X W → ¬ → ¬ ∨¬ ∴¬ ∨¬¬ 思考题 考虑下列每一个例子，识别其所展示的一般原则或形式。 1. A A C (A B) C ∨ ∴ ∨ ∧ 2. L N L ¬ ∧¬ ∴ 3. (X Y) W (U V) Z (X Y) (U V) W Z ∧ → ∧ → ∧ ∨ ∧ ∴ ∨ 4. (U W) V V ∨ ∧ ∴ 5. W U W U →¬ ∴¬ 6. (E F) G G (H I) (E F) (H I) ∧ → → ∧ ∴ ∧ → ∧ 7. ((E F) G) E F G ¬ ∨ ∧ ∨ ∴¬ 8. (X Y) Z (X Y) Z →¬ ∨¬ ¬ →¬ ∴¬ 演绎有效论证即是指结论能够从前提中逻辑推导出来的论证。判定给定论证是有效的 方法这定是，展示其结论是否从前提出发，借助逻辑规则一步一步地演绎出来的。如果超 出前提的每一步都通过逻辑规则得到了证成，且如果最后一步是结论，那么该论证的有效 性就得到了证明。这就是形式演绎的含义。 例 子 请从前提“ N O→¬ ”、“O M∨ ”和“N”演绎出结论“M N∧ ”。 22 分 析 首先，把前提写成竖式，并在最后标注“前提”。 1. N O→¬ 前提 2. O M∨ 前提 3. N 前提 从 N O→¬ 演绎出 O¬ ： 4. O¬ 1,3 分离论证 从O M∨ 演绎出 M： 5. M 2,4 析取论证 从 M 和Ｎ演绎出M N∧ ： 6. M N∧ 5,3 合取论证 为了简便，在写每一步推导的理由时，我们也可以只写前面已经给出的名称英文缩写， 例如，“分离论证”可写“MP”，“析取论证”可写“DA”，“合取论证”可写“CA”，如此 等等。前提也可以只有一个“P”来表示，即英文单词“premise”的第一个字母。 思考题 在下列例子中，形式演绎已经给出，但是每一个的证成理由没有给出，你的任务就是 标准下列论证的前提和不是前提的每一步的证成理由。注意：只能使用前提已经给出的逻 辑规则。 （1）1. A (B C)→ ∧ 2. A 3. B C∧ 4. B （2）1. (K L) M∧ → 2. K 3. L 4. K L∧ 5. M （3）1. X (Y Z)→ → 2. X 3. Z¬ 4. Y Z→ 5. Y¬ （4）1. D E→ 23 2. E F→ 3. F G→ 4. D F→ 5. D G→ （5）1. (A B) (A (D E))∧ → → ∧ 2. (A B) C∧ ∧ 3. A B∧ 4. A (D E)→ ∧ 5. A 6. D E∧ 7. E （6）1. (C D) A∧ → 2. (E F) B∧ → 3. C D∧ 4. A¬ 5. (C D) (E F)∧ ∨ ∧ 6. A B∨ 7. B （7）1. M O¬ → 2. L M→¬ 3. O O→¬ 4. L O→ 5. O¬ 6. L¬ 7. L O¬ ∧¬ （8）1. (A B) (C D)→ ∧ → 2. B¬ 3. A B→ 4. C D→ 5. B D¬ ∨¬ 6. A C¬ ∨¬ 24 （9）1. U (W V)¬ → ∨ 2. X U¬ ∧¬ 3. (W Y) (V Z)→¬ ∧ → 4. U¬ 5. W V∨ 6. W Y→¬ 7. V Z→ 8. Y Z¬ ∨ （10）1. (A B) (A B)∨ →¬ ∨ 2. C (A B)→ ∨ 3. C D¬ → 4. (A B)¬ ∨ 5. C¬ 6. D 7. C D¬ ∧ 8. (E F) ( C D)∧ ∨ ¬ ∨ 二、 如何构造形式证明 构造形式证明的一般条件是： 1. 不是前提每一步都必须借助逻辑规则来证成。 2. 最后一步一定是结论。 通常情况下，从给定前提到给定结论有几个不同的步骤。因此，我们所构造的这种证 明又被称为“巧妙证明”。就像下棋一样，有许多路子赢棋，但下棋者必须在下棋的规则。 换句话说，针对有些论证，不同的证明者可以给出的证明过程是不同的。 例 子 请从“A B→ ”、“B C→ ”和“A D∧ ”演绎出结论“C”。 分 析 首先，按照下列程序排列前提： 1. A B→ 2. B C→ 3. A D∧ 现在，这里的策略是： 25 既然结论只是字母“C”，你只能够从第二个前提推导出来，因为这是包含“C”的唯 一前提。 要注意“C”是如何被包含在前提中的。它是在一个条件命题中的，其中“B”是前件， 而“C”是后件。什么原则可以帮助我们从一个条件命题中分离出后件呢？如果你看看分 离规则，你便可以想象到下列可能性： p q p q → ∴ B C B C → ∴ 如果我们可以得出“B”，那么就可以得到“C”了。而“B”在第一个前提之中，因 此，我们需要建立另一个分离论证。 p q p q → ∴ A B A B → ∴ 这里，如果我们能够出“A”，那就可以得出“B”。而“A”是包含在第三前提之中的。 第三个前提是一个合取命题。此时，我们需要考虑到下列论证： p q p ∧ ∴ A D A ∧ ∴ 根据合取简化，我们可以从第 3 行即第三个前提中分解出“A”。因此，接下的形式演 绎构造是： 首先，从第 3 行合取简化出“A”。 4. A 3 CS 其次，根据第 1、4 行使用分离论证推导出“B”。 5. B 1,4 MP 第三，根据第 2、5 行使用分离论证推导出“C”。 6. C 2,5 MP 此外，针对同一个论证，我们也有另一个证明策略，即从第一个前提和第二个前提使 用假言连锁论证开始。 1. A B→ 2. B C→ 3. A D∧ 4. A C→ 1,2 CH 下一步要做的是在第 3 个前提上合取简化。 5. A 3 CS 然后，根据分离论证演绎出结论。 6. C 4,5 MP 三、 等值规则 26 这里的等值就是逻辑等值。“等值”所对应的英文术语是“Equivalence”，因此，为了 在形式证明中书写方便，我们用“Equi