北航XRD习题

例题 2．1体心立方和面心立方点阵的倒易点阵 证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵．反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵． [证明] 选体心立方点阵的初基矢量如图1．8所示， 其中a是立方晶胞边长， 是平行于立方体边的正交的单位矢量。 初基晶胞体积 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 于是有： 显然 正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 ． 同理，对面心立方点阵写出初基矢量 如图1.10所示。 初基晶胞体积 。 根据式(2．1)计算倒易点阵矢量 显然， 正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是 ． 2．2 (a) 证明倒易点阵初基晶胞的体积是 ，这里 是晶体点阵初基晶胞的体积；(b) 证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身． [证明] (a) 倒易点阵初基晶胞体积为 ，现计算 ．由式(2．1)知， 此处 而 这里引用了公式： 。 由于 ，故有 而 故有 或写成 倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的 倍。 (b) 现要证明晶体点阵初基矢量 满足关系 有前面知： 令 又知 ，代入上式得： 同理 可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身． 2．3 面间距 考虑晶体中一组互相平行的点阵平面(hkl)，(a) 证明倒易点阵矢量 垂直于这组平面(hkl)；(b) 证明两个相邻的点阵平面间的距离d(hkl)为： (c) 证明对初基矢量 互相正交的晶体点阵，有 (d) 证明对简单立方点阵有 证明 (a) 参看图2．3，在平面族(hkl)中，距原点最近的点阵平面ABC在三个晶轴上的截距分别是 ． 现要证明G(hkl)垂直于ABC，只需证明G(hkl)垂直于平面ABC上的两个矢量CA和CB即可． ， 用倒易点阵基矢与晶体点阵基矢间的正交关系式(2．2)，立即可得 同理， 故G(hkl)垂直于点阵平面(hkl)． (b) 点阵平面(hkl)的面间距d(hkl)为 (c) 如果晶体点阵的初基矢量 彼此正交，则倒易点阵的初基矢量也必然彼此正交． 设 由倒易点阵基矢的定义 及 得 于是面间距为 (d) 对立方晶系中的简单立方点阵， ，用(c)的结果可得 2．4 二维倒易点阵 一个二维晶体点阵由边长AB＝4，AC=3，夹角BAC＝ 的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量． [解] 解法之一 参看图2．4，晶体点阵初基矢量为 用正交关系式(2．2)求出倒易点阵初基矢量 。设 由 得到下面四个方程式 (1) (2) (3) (4) 由式(1)得： 由式(2)得： ，即 解得： 由式(3)得： 代入式(4)得： 于是得出倒易点阵基矢 解法之二 选取 为 方向的单位矢量，即令 于是初基晶胞体积 为 倒易点阵基矢为 对二维点阵，仅取 两个方向，于是得 2．5 简单六角点阵的倒易点阵 简单六角点阵的初基矢量可以取为 (a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为2π／c和 ，并且相对于正点阵转动了30角； (b)当比率c／a取什么值时，正点阵和倒易点阵的这个比率有相同数值?如果正点阵的c／a比率取理想值，倒易点阵的这个比率又是多少? (c)绘出简单六角点阵的第一布里渊区，并计算其体积． [解] (a)选取简单六角点阵的初基矢量如图2．5所示． 初基晶胞体积为 倒易点阵初基矢量为 或写为 同正点阵初基矢量 比较看出， 所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为 和 ，并相对于正点阵绕 转动了30角(见图2．6)。 (b)设倒易点阵的点阵常数比为 ，出(a)可知 若 ，则有 故当正点阵的 值为 时，倒易点阵的 和正点阵的 有相同值。 若正点阵c／a＝ ，则倒易点阵的 为 故当正点阵的c／a为理想值时，倒易点阵的这个比值为0.53． (c)简单六角点阵的第一布里渊区即倒易简单六角点阵的W—S晶胞．显然为一六角正棱柱(如图2．7)，其体积为 即倒易简单六角点阵初基晶胞的体积为 2．6 底心正交点阵的倒易点阵 证明底心正交点阵的倒易点阵仍为底心正交点阵． [证明] 底心正交点阵的惯用晶胞如图2．8所示．选取初基矢量为 初基晶胞体积为 倒易点阵基矢为 由图2．9可以看出，这组基矢所确定的仍是一底心正交点阵，点阵常数为 。 2．7 三角点阵的倒易点阵 三角点阵初基矢量具有相等长度a，彼此夹角为θ，试证明三角点阵的倒易点阵仍为三角点阵，且倒易点阵初基矢量的长度为 。 其中 是倒易点阵初基矢量间的夹角， 满足 -cosθ*＝cosθ／(1+cosθ) [证明] 三角点阵三个初基矢量的大小相等，且彼此夹角亦相等．现令初基矢量为 (1) 参见图2.10， 是 在x、y、z三个方向的方向余弦。 由 得 (2) 由 得 (3) 于是有 (4) 由倒易点阵基矢的定义可知 分别垂直于正点阵初基晶胞的 平面，且有相同长度， (5) 将 (6) 代入上式得 (7) 彼此间应有相间夹角．设 间的夹角为 ， 利用公式 上式化为 (8) 同理可以证明 任意二矢量间的夹角均为此值。 为了计算 ，利用式(4)得到 代入式(7)得 (9) 2.8 点阵平面上的阵点密度 (a) 证明点阵平面上的阵点密度（单位面积上的阵点数） ，这里 是初基晶胞的体积，d是该点阵平面所属的平面族中相邻两点阵平面之间的距离； (b) 证明面心立方点阵阵点密度最大的平面是{111}面，体心立方点阵阵点密度最大的平面是{110}面． [证明] (a) 考虑晶体点阵中相邻二平行点阵平面所构成的平行六面体，如图2．11所示．设该平行六面体中包含n个阵点，它的体积为 或写为 其中A是所考虑的平行六面体底面的面积，d是它的高．由以上二式得 于是点阵平面上的密度为 (b) 由(a)可知，面间距d较大的点阵平面也有较大的阵点密度．由倒易点阵矢量与面间距d的关系 可知，倒易点阵矢量G(hkl)越短，与之垂直的点阵平面(hkl)两点密度也就越大． 面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵，其初基矢量 都是最短的倒易点阵矢量， ，并都在立方晶胞的<111>方向，故{111}平面有最大的阵点密度． 体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，其初基矢量 也都是最短的倒易点阵矢量，并都沿立方晶胞的＜110＞方向，故{110}平面是体心立方点阵阵点密度最大的平面． 2．9 单斜点阵的面间距 已知平面族(hkl)的面间距与倒易点阵矢量G(hkl)间的关系为 其中 ，试证明单斜点阵的面间距d(hkl)由下式决定 其中 是单斜点阵惯用晶胞的三个边长， 为 间的夹角， （参看图2.12） 证明： 单斜点阵惯用晶脑的几何特征是 初基晶胞的体积为 (hkl)平面族的面间距为 要计算d(hkl)，除了计算各倒易点阵基矢的长度外，还要求出它们之间的标量积，由倒易点阵基矢的定义 此外，有 代入d(hkl)的表达式中得 2．10 外斯晶带定律 属于同一晶带的晶面彼此的交线相互平行，这些平行的晶棱的共同方向称为晶带轴的方向，试证明， (a) 晶带轴[uvw]与该晶带中的平面(hkl)满足关系 (b) 证明晶面( )，( )，( )属于同一晶带的条件是 证明 (a) 以晶面指数(hkl)为指数的倒易点阵矢量G(hkl)是与晶面垂直的最短倒易点阵矢量，于是 必定在晶面(hkl)法线方向．而晶带轴[uvw]的方向矢量为 . 既然晶带轴是以晶带中互相平行的交线为方向，带轴和属于该晶带的晶面总是相互平行的，于是行 用晶体点阵和倒易点阵基矢间的正交关系 直接可得 (b) 既然 属于同一晶带，由(a)有 由于 不同时为零，上述方程组的系数行列式必定为零，即 2．11 一个单胞的尺寸为 ，试求： (a)倒易点阵单胞基矢； (b)倒易点阵单胞体积； (c)(210)平面的面间距； (d)此类平面反射的布喇格角(己知λ＝1．54Å)． [解] (a)画出此单胞如图2．13所示． 写出晶体点阵单胞基矢如下： 晶体点阵的单胞体积为 ( Å)3 倒易点阵单胞的基矢为 (b) 倒易点阵单细体积为 (Å)-3 (c) 与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量 为 (Å)-1 Å (d)(210)面反射的布喇格角 为 2．12 (a)从体心立方结构铁的(110)平面来的X-射线反射的布喇格角为22，X-射线波长λ＝1．54Å，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是55．8，试计算铁的密度． [解] (a)求出(110)平面的面间距d(110) Å 于是求得点阵常数为 Å (b) (111)平面的面间距为 Å 于是(111)平面反射的不喇格角为 (c) 固体密度的公式为 其中a是立方惯用晶胞边长，Z是立方惯用晶胞中的原子数，M为原于的质量，对体心立方铁，Z＝2， ．将这些数值代入到 的表达式中，得到 2．13 衍射极大值的宽度 假定在一个线型晶体中，在每个阵点 处置有全同的点散射中心，此处m是一个整数，总的散射波振幅正比于 该式相当丁式(2．7)，只是对分离的点散射中心，积分化为求和． 利用级数 对M个阵点求和后，上式化为 (a) 已知散射强度I正比于 ，试证明 (b)当 (h为整数)时，出现衍射极大值．稍稍改变 并由 定义 ，使得 给出函数 的第一个零点．证明 ，对于宏观晶体，出于M很大，因此衍射极大值的宽度可以非常狭窄．以上结果对于三维晶体也是成立的． [证明] (a)从一个线型点阵而来的散射波的振幅应等于各个阵点而来的散射波振幅之和．考虑到相邻两阵点散射波的位相差因子是 ，总的散射波振幅正比于 因为散射波强度正比于 的平方，由题知 故 (b) 散射波强度的极大值出现在满足衍射条件 处，如果 与此条件略有偏差，衍射条件不再满足，散射波的强度将下降．假设当 时，对应于散射波强度的第一个零点(参见图2．14)，即满足 或 由此解得 表征散射波极大值酌宽度，它和 成反比，对于宏观晶体， 的数值足够大，因而衍射极大值的宽度非常窄，即谱线十分锐． 2．14 散射波的振幅 当衍射条件 满足时，从晶体射来的X-射线散射波振幅正比于 式小n(r)是r处的电子浓度．如果电子是定域化的，r处的电子浓度可以写为 式中l是第l个晶胞原点的位置矢量(参见图2．15)， 是第l个晶胞中第i个原子的中心相对于l的位置矢量． 是和第i个原子相联系的电于浓度．证明 可以写为 其中N是晶体中所包含的晶胞数． 是把晶胞中的原子选作基元，该基元的几何结构因子 其中 是第i个原子的形状因子。试问散射波极大值的强度 是多少？ 解 把晶体分成N个晶胞，当衍射条件满足时，从各个晶胞而来的散射波振幅正比于 令 由于 （n为整数）， ，于是 它表明当衍射条件 满足时，来自各个晶胞的散射波是相长干涉的．式中 是基元中第i个原子的形状因子，代表原于中各部分电子密度的散射波相互干涉的结果对散射波总振幅的贡献．于是我们得到 其中 是基元的几何结构因子，代表基元中各个原子的散射波互相干涉的结果对总振幅的贡献． 散射波的强度 ，正比于基元的几何结构因子的平方． 2．15 体心立方结构和面心立方结构的结构因子 有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子．说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X-射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的． [解] (a)体心立方结构 我们知道体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是 。相应于这个面心立方点阵的倒易点阵矢量G所给出的波矢改变 ，都有劳厄衍射峰出现．但是，为了方便，我们常把体心立方结构考虑为一个带有两点基元的简单立方点阵，基元中两点的坐标为 ．从这个观点来看，例易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长为 。根据衍射条件，当 等于这个简单立方倒易点阵的G时，都可能有劳厄衍射的峰值．但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因子，计入结构因子对散射波振幅的影响． 由式(2．11)知道，基元的几何结构因子为 (1) 其中 是基元中第j个原子的坐标 是简单立方点阵的初基矢量 G是简单立方点阵的倒易点阵矢量 将 和G的表达式代入式(1)中得到 (2) 体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原子．它们的位置是 而原子的形状因子 将以上关系式代入式(2)小，就得到体心立方结构的结构因子 在简单立方倒易点阵中，去掉那些 ＝奇数的点(在这些点，由于从基元中各个原子来的散射波相互抵消的结果，使散射波的总振幅为零，于是相应的反射消失)，剩下的正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为 ，如图2．16所示．当波矢改变 等于这个面心立方倒易点阵的G时，才有实际上的劳厄衍射的出现． 由以上的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 看出，体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，也可以作为带有基元的简单立方点阵处理，所得的X-射线反射谱是完全相同的． (b)面心立方结构 面心立方结构可以直接用面心立方布喇菲点阵处理，倒易点阵为体心立方点阵，立方晶胞边长为 ．与其倒易点阵矢量G相应的波矢改变 都有衍射峰出现．但是，为了方便，我们有时把面心立方结构用简单立方点阵处理，相应的基元包含四个点： ．这样处理后，相应的倒易点阵是简单立方点阵，立方晶胞边长为 需要注意的是，必须同时计入基元的结构对散射波振幅的影响。计算得到面心立方结构的结构因子为 当指数 部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的反射消失． 在简单立方倒易点阵中去掉结构因于为零的点，剩下的正好是一个体心立方点阵，其立方晶胞边长为 ，如图2．17所示．这和把面心立方结构直接用面心立方布喇菲点阵处理所得的结果是完全一样的． 2．16 金刚石结构的结构因子 金刚石结构的惯用晶胞是立方体，其个包含8个相同的原子．把立方惯用晶胞中的8个原子取作基元，金刚石结构可以作为带有基元的简单立方点阵处理，试计算基元的几何结构因子，并证明金刚石结构所允许的反射是所有指数 均为奇数，或均为偶数且 ，这里n是整数． [解] 金刚石结构的布喇菲点阵是面心立方，基元包含两个原于，位于 ．若把金刚石结构的立方惯用晶胞中的8个原子选作基元，相应地，金刚石结构可用带基元的简单立方点阵来描写．这8个原于的坐标是：(000)、( )、( )、( )、( )、( )、( )、( )。把这8个原子的坐标代入结构因子的表达式 利用 ，计算得金刚石结构的结构因子为 经整理后得 其中 正是在面心立方阵点上所放置的基元(000) ( )的结构因子。 则正是面心立方点阵惯用晶胞中4个原子的几何结构因子（原子形状因子 为 所代替）。由上结果可见，由于放置在面心立方点阵的阵点上的不再是 形状因子为 的同种原子，而是一个结构因子为 的基元，用这个基元的结构因子 代替原子的形状因子 就得到金刚石结构立方惯用晶胞8个原子的结构因子。 现将以上结果讨论如下： 当 全为偶数，且 （n为整数）， ，故 。 当 全为偶数，且 （n为整数）， ，故 。 当 全为奇数，且 ， ，故 。 当 部分为偶数，部分为奇数时， ，故 。 所以，金刚石结构允许的反射是所有指数 均为偶数且 ，或者 全为奇数．可以看到，由于金刚石结构放置在fcc点阵阵点上的不再是同种原于，而是一个由两个原子组成的基元，此基元中两个原子的散射波相互干涉的结果使f cc点阵所允许的反射又有一部分消失． 2．17 氯化钠结构的结构因子 NaCl是立方晶体，把NaCl结构立方惯用晶胞中的原子选为基元，NaCl结构也可以用sc点阵处理．试计算基元的结构因子 ． [解] NaCl结构的布喇菲点阵是fcc，基元包含一个C1—， 位于(000)，一个Na+，位于( )。把这样一个基元放置在fcc点阵的阵点上，就得到NaCl结构．这个由两个离子组成的基元的几何结构因子是 其中 ， 分别代表Cl—和Na+的形状因子． 现在把这样一个基元放在fcc点阵的阵点上，用s代替fcc结构因子中的f就得到NaCl结构立方惯用晶胞的结构因子 KCl具有NaCl型结构，且fK+和fCl—接近相等，因而只有 均为偶数的反射是允许的．KBr也具有NaCl结构，但KBr小的Br—和K+的形状因子很不相同，因而fcc点阵允许的反射KBr也都有． 2．18 六角密堆积结构的几何结构因子 (a)证明单原子的六角密堆积结构的结构因子，当倒易点阵矢量G取简单六角点阵的诸点时，可以取 ，n＝1，2，…6，六个值中的任何一个值； (b)证明在通过原点G＝0并垂直于c轴的平面内，所有倒易点阵阵点都有不为零的结构因子； (c)证明结构因子为零的点位于垂直于c轴的例易点阵平面族中交错排列的平面内； (d)证明在这样的平面内，从G＝0出发，位移一个与c轴平行的矢量的点，结构因子为零； (e)证明从这样的平面中去掉结构因子为零的点后，倒易点阵的三角形网络将变成一个蜂巢形列阵． [解] (a)六角密堆积结构的布喇菲点阵是简单六角，相应的基元包括两个同种原子，它们的坐标是 ，如图2．18所示．原子形状因子是 ．将以上关系代入结构因子的表达式中，得 式中n＝4l1+2l2+3l3＝整数，n可以取1，2，…，6这六个数中的任何一个，当n取1，2，…6以外的数时，结构因子是重复的，例如n＝7和n＝l重复， n=2和n＝8重复…．所以，当倒易点阵矢量取简单六角点阵的所有点时，六角密堆积结构的结构因子只能取 ，n＝1，…，6这六个数中的任何一个． (b)由例题2．5可知，简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵．通过原点G＝0并与c轴垂直的平面是基矢b1、b2所构成的平面(见图2．19)，在此平面内，所有倒易点阵矢量都有指数l3＝0、l2、l3为任意整数．将l3＝0代入n的表达式中，得 若要结构因子为零，要求n是3的奇数倍，即 奇数 或写为 奇数． 满足此条件的整数l1、l2是不存在的．所以，在通过G=0并与c轴垂直的平面内，没有结构因子为零的点． (c)如果结构因子为零，则要求 奇数，或写为 奇数 当l3＝0，2，4，…等偶数值时，上式是无法满足的，因为这意味着要求 奇敛 故结构因子为零的点必定在 等奇数值的平面内。在这些平面内，如果满足 偶数 就得到结构因子为零的点． 由上述可见，结构因子为零的点只能在与c轴垂直的平面族中交错排列的平面内，即 等奇数值的平面内(参见图2．19)． (d)在这些 奇数值的平面内，从原点出发位移一个平行于c轴的矢量 的点，都有 ，这些点相应的n值为 而 奇数值，显然满足 奇数的条件．于是相应的结构因子为零． (e)在这些 奇数值的平面内，考虑其它结构因子为零的点，即满足 奇数 的点，此条件又可写为 整数 满足此条件的点正是二维六角点阵六角形单胞的中心点．在二维六角点阵中去掉这些点后剩下的正好是一个三维蜂巢形网络，如图2．20所示． 2．19 线性列阵的衍射 X-射线束垂直入射到点阵常数为a的线性结构上，相长干涉的条件是 ，这里n是整数， 是衍射束与线性结构的夹角．对于一定的n，波长 恒定的衍射束位于一个圆锥表面上，如图2．21所示． (a)用圆筒底片来拍摄图2．2l(b)的衍射图样，圆筒的轴与线性结构的轴相—致．描述胶片上的衍射图样； (b)如果把一张平底干板放在线性结构的后面，并与入射束垂直．粗略画出干板上的衍射图样； (c)如果用单原子的二维正方点阵(点阵常数为a)，点阵平面垂直于X-射线族．粗略地绘出干板上的衍射图样； (d)镍晶体(110)表面的原子在背射方向所产生的电子衍射图样如图2．22所示．说明衍射图样的取向与镍表面原子的相对位置关系(假定在低能电子衍射中只是表面原子起作用)． [解] (a)用圆筒形底片拍照，底片上的衍射图样是一个圆锥面和圆柱面的交线．若将底面展开，则各条线互相平行，中间一条正对入射方向的是零级衍射线，上下两侧对称分布的是其它各级衍射线，如图2．23所承．衍射级越高(即n越大)，相应的锥面的 角则越小，圆柱面与锥面的交线距中心也越远，如图2．24所示． (b)平面干板上的衍射图样是底片平面与锥面的交线，为双曲线，如图2．25所示． (c)由(b)的结果，对二维正方点阵，在两个互相垂直的方向上得到两组双曲线，分别代表在这两个方向上的相干加强．而在于板上必须同时满足这两个方向上的相反干涉条件，才能得到一个亮点．因此，干板上的衍射图样由此两组双曲线的交点确定，见图2．26． (d)由衍射条件可知 ，对于一定的衍射级n，a越大则 角也越大，衍射点到中心线的距离也越近．因此，对镍表面层的原子所构成的二维矩形点阵，衍射图样如图2．22(a)所示，可见底片应与镍表面原子层平行．‘ ’ 2．20 用粉末法作结构分析 用X—射线粉末照相机分析三种不同的单原子立方晶体的粉末样品．已知一个样品是fcc结构，一个是bcc结构，还有一个是金刚石结构．每种样品前四个衍射环的大约位置(见图2．27)如下表所示． (a)判断三种样品A、B和C的晶体结构； (b)如果X-射线入射束波长是1．5Å，试问每种样品的立方惯用晶胞边长是多少？ (c)如果用有同样立方晶胞边长的闪锌矿结构代秒金刚心结构，那么，前四个环应在什么角度出现? [解] (a)考虑从X—射线粉末照相机得到的衍射图样，衍射环出现的角度 和布喇格角 的关系是 参看图2．28，由不喇格定律得 对于sc结构，而间距d为 代入到布喇格定律中，得 (1) 对于A、B和C三种样品，分别计算出sin2θ的数值如下表 现考虑bcc、fcc和金刚石结构的结构因子． bcc——当指数 (n为整数)时，有反射，前四个衍射环相应的指数是(110)、(200)、(211)和(220)． fcc——当 均为奇数或均为偶数时，有反射，前四个衍射环相应的指数是(111)、(200)、(220)、(311)． 金刚石结构——当 均为奇数或均为偶数，且 (n为整数)时，有反射，前四个衍射环相应的指数是(111)、(220)、(311)和(400)． 相应的 ，如下表 现在考察三种样品的前四个环由 的测量值所计算出的 ．按式(1)， ，将由测量值计算出的 与以上三种结构的 比较，就可以确定晶体结构类型。对于样品A，前四个衍射环的 (测近值)为 正好和fcc结构前四个环的 比率相同，因此，可以断定样品A是fcc结构． 对于样品B，前四个环的 为 正好和bcc结构前四个环的 比率相同．可见样品B是bcc结构． 对于样品C，前四个衍射环的 为 正好和金刚石结构前四个环( )比率相同．可见样品C是金刚石结构． (b)现用入射束波长 Å，计算立方惯用晶胞的边长． 对于样品A，由(a)已知是fcc结构．将(311)线的 ，代入式(1)得 Å 对于样品B，已知是bcc结构，用(220)线的 ，代入式(1)得 Å 对于样品C，已知是金刚石结构，用(400)线的 ，代入式得 Å (c)如果用有同样立方晶胞边长的闪锌矿结构代替金刚石结构，考虑到闪锌矿结构两种原子的形状因子不同， ．fcc点阵所允许的反射它都有，即 全为奇数或全为偶数都有反射．前四个衍射环的指数应当是(111)、(200)、(220)和(311)．将金刚石结构的立方晶胞边长a代人式(1) 可以分别求出这四个衍射环相应的 角( )是42.8，49.9，73.2和88.7．下表列出了闪锌矿结构和金刚石结构前几个衍射环的指数和 角。 2．29 用低能电子衍射计算金属势阱的深度 一束平行的能量为25eV的电子束射到一个薄的金属多晶样品上，已知该金属为立方结构，点阵常数为5Å．电子束穿过金属薄片形成衍射花纹，拍照后发现，最小衍射环的角径是120．试求这种金属势阱的深度． [解] 在真空中电子的速度 由下式决定 仅当电子入射到金属晶体中，由于金属势阱的吸引作用，电子速度增加．设增加后电子的速度为vc，显然vc由电子在金属中的动能决定 式中 是金属势阱的深度（以eV计），于是有 (1) 量 起到一个电子折射率n的作用．当电子垂直于晶体表面入射到晶体时，电子将受到晶面的布喇格反射，而当电子由晶体射出时，因折射率偏转(见图2．29)．由折射率公式得 (2) 由图2．29可知，从晶体射出的电子束相对于表面法向的夹角是 (3) 式中θ是电子入射到晶面的布喇格角． 按照布喇格定律，电子受晶面的布喇格反射满足 (4) 令 ，于是有 式中 是电子在金属晶体中的校长，它和电子在真空中的波长的关系是 (5) 式中p0、pc分别表示电子在真空中和金属晶体中的动量．将题设的数值代入，并利用式(5)，布喇格定律可写为 (6) 现在得到 (7) 将式(2)和式(7)代入到 中去得到 (8) 现在的问题在于求出A，即求出衍射指数G( )．由于 是正数，所以必须有 此外，由式(8) 有 由此得到 既有 ，又有 ，所以，最小的A值只能是 由 知道，最小衍射环的衍射指数是(200)，将A=4代入式(8)，得到金属势阱的深度 为 eV 此题中(100)面的一级反射是消失了的，不然相应的衍射环将有比120更小的角径，这种金属可能有fcc结构或bcc结构． 2．22 含有n个离子的基元 考虑一个带有基元的点阵，其基元由n个离子组成．假定基元中第i个离子又包含 个带电荷 的质点．当把这第i个离子平移到r＝0的位置时，这些带电质点的位置矢量是 ( )，如图2．30所示． (a)证明第i个离子的形状因子是 (b)证明基元的几何结构因子和把点阵等价地描写为一个带有 个点状离子的基元所得的结构因子相同． [解] (a)基元中的第i个离于由 个带电质点组成，其中第j个质点所带电荷是 ，其位置矢量是 。第i个离子的形状因子表示第i离子内各个带电质点的散射波互相干涉的结果对散射波振幅的贡献．由原子形状因子的公式知，第i个离子的形状因子为 对分离的带电质点，上述积分化为求和，于是得到 (b)基元由n个离子组成，其结构因子是 其中 是基元中第i个离子的形状因子， 是第i个离子的位置矢量。 将第i个离子的形状因子 代入，得 如果将点阵等价地看作一个带有由 个点状离子的基元，这个基元的结构因子为 其中 是第i离子中第j点电荷的形状因子．求和对 个点状离子进行．原第i个离于中的第j个点电荷所带电荷为 (即第 个点状离子所带电荷为 )，形状因子就是 ，而该点电荷的坐标是 。于是 可以看到，由n个带电离子组成的基元(每个离子又由 个点电荷组成)，其结构因子和由 个点离子组成的基元的结构因于是相同的． 2．23 原子形状因子 设晶体中原子的电子密度是这样一个周期函数，在每个晶胞中定义为 求原子的形状因子． [解] 原子的形状因子决定于电子密度的傅里叶变换 题中所给的电子密度是球对称的．令r与G间的夹角为a，从而 用球坐标， 如果 简化为 即等于原子中电子的数目。 习题 2.1 一个具有晶体点阵周期性的函数 ，可以用倒易点阵矢量 展为博里叶级数 其中 是点阵周期，P是整数。 (a)​ 证明傅立叶系数 是 (b)证明在三维情况下， 的逆傅立叶变换给出 这里 是初基晶胞的体积。 2．2 试写出14种布喇菲点阵的倒易点阵，指出其中哪些点阵的倒易点阵不再同于正点阵的点阵类型． 2．3 (a)试证明简单四角点阵的倒易点阵仍为简单四角点阵；(6)试证明体心四角点阵的例易点阵仍为体心四角点阵． 2．4 证明体心正交点阵的倒易点阵是面心正交点阵．反之，面心正交点阵的倒易点阵是体心正交点阵． 2．5 一个二维晶体点阵的初基矢量长度为a1=1.25Å，a2=2.5 Å，夹角 ＝120，求倒易点阵基矢和倒易点阵类型． 2．6 对点阵常数为a的二维六角点阵， (a)写出正点阵的初基矢量； (b)计算倒易点阵的初基矢量； (c)画出第一、二、三布里渊区； (d)计算第一布里渊区的体积． 2．7 倒易点阵矢量的一般形式可以写为 式中 是晶体点阵初基矢量，vc是初基晶胞体积．对于fcc点阵取惯用晶胞的三个棱为笛卡尔坐标抽，求倒易点阵矢量G的一般表达式． 对下面给出的 值，计算倒易点眸矢量G的长度． 2．8 (a)试问fcc结构原于密度最大的平面是什么指数?铜具有fcc结构，试问该平面的原子密度是多少?(b)bcc结构原子密度最大的平面是什么指数? Fe具有bcc结构，试问该平面的原子密度是多少? 2．9 证明简单六角点淬(hkl)平面的面间距是 2．10 证明简单四角点阵(hkl)平面的面间距是 2．11 在X-射线辐射中所观察到的最短波长是λ＝1．23Å，试问轰击靶的电子的动能应当是多少eV? 2．12 (a)试计算当一个电子的动能为l0keV时相应的波长是多少?(b)写出300 K的热中子相应的波长是多少(中子动能 )?(c)当所加电压为30 kV时，X-射线白色辐射的最小波长应是多少?所可能发射出的X-射线的最短波长是多少? 2．13 一束150 eV的电于射到镍的粉末样品上，试求出发生反射的两个最小的布喇格角是多少?已知镍为fcc结构，立方晶胞边长3．25Å． 2．14 立方晶体单胞的边长a＝2．62Å， 已知X-射线波长λ＝1.54 Å，试求相当于下列平面反射的布喇格角． (100)，(110)，(111)，(200)，(210)和(211) 2．15 一个铜靶发出的X-射线的波长λ＝1.54 Å， (a)已知铝具有fcc结构，从铝的(111)面反射的布喇格角为19．2，试计算铝(111)晶面族的面间距和铝的点阵常数； (b)巳知铝的原子量是27．0，铝的密度是2．7×l03kg•m-3，试计算阿伏加德罗常数 ． 2．16 CuCl为闪锌矿结构，其密度 kg·m-3，从(111)面来的反射相应的布喇格角是6．5，试求入射X-射线波长。 2．17 如果晶体受热膨胀，体膨胀系数为 ，试证明温度每升高一度时X-射线的反射束将转动一个角度 其中 是体积未膨胀时的不喇格角。 2．18 用铜的 辐射( ＝1．5405Å)对铝样品作X-射线背反射实验．实验表明，当铝样品的温度升高100℃时，(422)环的布喇格角改变了0．3．试计算铝的平均热膨胀系数．已知铝的点阵常数为4．041Å． 2．19 从铜的粉末样品得到的某X-射线反射的布喇格角在温度为20℃时是47．75，在1000℃时是46．60，试计算铜的线膨胀系数． 2．20 以波长为λ的X-射线沿简单立方晶胞的Z方向入射，求证当 时，衍射光线在y-z平面内．其中 为衍射光线和z轴之间的夹角，a为晶胞边长． 2．21 用连续X-射线沿简单立方晶体的[100]方向入射，用反射球法作出波长范围在 到 的衍射点． 。 2．22 平面X-射线投射到一个三维简单正交晶格上，晶格的三个主轴方向的周期分别为a、b、c，当入射X-射线与[100]方向一致时，试确定在哪些方向上出现衍射极大?对什么样的波长方可观测到衍射极大? 2．23 对bcc、fcc和金刚石结构，试分别指出下列反射中哪些反射将消失． (100)、(110)、(111)、(200)、(210)和(211)． 2．24 证明立方晶系的粉末衍射实验中出现的衍射线相应的 的值如下： Sc：l，2，3，4，5，6，… fcc：3，4，8，11，12，… bcc：2，4，6，8，10，12，… 金刚石：3，8，11，16，… 2．25 (a)闪锌矿具有fcc点阵，基元包括—个Zn离子，一个S离子．把立方惯用晶胞选为基元，闪锌矿结构也可以用sc点阵处理，试求此基元的结构因子；(b)GaSb具有闪锌矿结构。设原子形状因子 ，试问立方晶胞的结构因于是多少? 2．26 (a)CsCl为立方结构，其中一种类型的离子位于立方晶胞角隅上，另一种离子位于晶胞中心，试计算立方晶胞的结构因子；(b)设 ，试求 是多少?(c)试说明为什么CsCl结构的消光规律与bcc结构不同． 2．27 氧化亚铜具有立方结构，氧原子位于立方晶胞中心000和晶胞角隅 处，铜原子则排列在包围中心氧原子的四面体中，即位于 ， ， 和 处(见图2．31)．将立方晶胞中的原了选作基元，试计算儿何结均因子，并指出： (a)当指数 均为奇数时，反射仅决定于钢： (b)当指数 中的两个为偶数，一个为偶数时，反射决定于氧； (c)当 中的两个为偶数，一个为奇数时，反射消失： (d)当 均为偶数时，反射由铜和氧共同决定． 2．28 对最近邻距离为a的二维的蜂巢形网络结构，试计算基元的结构因子． 2．29 考虑一个假想的具有sc布喇菲点阵的晶体，基元由三个原子ABC组成，这三个原子的坐标依次是：000， ， ，它们的形状因子分别为 ，试求基元的几何结构因子 ．如果所测量出的衍射极大值对应于 为偶数，试求衍射线的强度． 2．30 考虑一个双原子键ABAB．．．AB，AB键的长度是 ，A、B原子的形状因子分别是fA、fB，入射X-射线束垂直于原子键． (a)证明相长干涉的条件是 ，此处 是衍射束和原子键之间的夹角； (b)试求基元A—B的几何结构因子，并证明，对于n为奇数，衍射束的强度正比于 ，对于n为偶数，衍射束的强度正比于 ； (c)如果 ，其结果如何? 2．31 面心立方铜的单胞尺寸为0．36nm，试计算能从密堆积面产生X-射线衍射的最长波长是多少?如果X-射线的波长为0．5nm，试问从什么平面可以发生衍射？ 2．32 二维正方点阵中的6个A原于的位置如下图所示，单胞边长为0．3nm．当X-射线的波长为0．2nm时，试计算X-射线在水平平面内散射的布喇格角．如果将6个原子中每个原子对衍射束的贡献加起来，试比较最低的两个衍射级的强度比总多少? A A A A A A 2．33 在上题的图中，若在A原子间的空隙处填入6个B原子(见下图)，A-A间仍为0．3nm，再将12个原子对衍射束的贡献直接累加，对上题的两个角度比较衍射束强度的大小． (a)如果B原于和A原子的散射能力相同； (b)如果B原于的散射能力是A原子的一半． A A A B B B A A A B B B 2．34 己知—简单立方晶体的原子间最近邻距离是0．35nm，画出与立方晶胞表面平行的倒易点阵截面图．如果该晶体被波长为0．25nm的X-射线照射，在图中指出可能的入射束和衍射束方向，并问不同类型的反射的总数目是多少? 2．35 体心立方结构铁的单胞尺寸为0．29nm，从(110)平面观察到两级中子衍射，试计算所要求的中子的最小能量是多少？如果中子遵守麦克斯韦分布，试问什么温度下这种中子最多？ 2．36 一个点阵间距为0．4nm的立方晶体，共[001]轴固定于与X-射线入射束垂直，入射束波长为0．1nm，如果最初晶体固定的方位是使( )平面产生衍射束，试问为了使( )平面产生衍射束晶体必须转动多少角度？这里 ( )＝(0 20) ( )—(030) ( )＝(020) ( )＝(130) 另外，如果晶体是(a)sc，(b)fcc，(c)bcc，那么在( )的衍射束中有无被消光的? 2．37 用50 keV的辐射得到铝晶体(点阵常数为0．405nm)的背反射劳厄图，(111)面与入射束间的夹角是88，试问这组平面的衍射束中所出现的反射级是哪些?假设波长比0．2nm更长的衍射很弱，不能被观测到。因而可以忽略不计． 2．38 面心立方晶体的单胞边长为0．5nm，试问由(110)平面产生的衍射束将出现在什么角度上?假设衍射级为1，波长为0．8nm． 2．39 已知X-射线一级布喇格反射的衍射束出现在θ角为3和9处，X-射线的波长为0．1nm，试求相应的反射平面的面间距。 2．40 有一块正交晶体，其单胞尺寸为a＝3Å (x方向)，6=2 Å (y方向)，c＝1．5 Å (z方向)．单胞含有一个原子，位于它的角隅上．现在考虑通过x轴上第一个原子，y轴上第三个原子，z轴上第二个原子的晶面 (a)该晶面和与它平行的晶面族的密勒指数是多少？ (b)这组晶面的面间距是多少? (c)沿z轴方向入射并在这组晶面上产生布喇格反射的X-射线波长是多少? (d)(c)中的入射束和衍射束间的夹角是多少? 2．41 一束平行的波长范围在 Å的连续X-射线谱，沿下图所示方向入射到二维蜂巢形网络晶体上．试问： (a)在图中平面内与入射束成120角散射的X-射线束的波长是多少？ (b)在该方向上可以得到多少个衍射级?它们的强度比如何? 2．42考虑到晶体的折射率n，试导出布喇格定律的形式．假定晶体表面平行于发生布喇格反射的平面，计入晶体折射率 ，试计算 时的改变量 ． 2．43 用铜的Kα辐射( Å)得到CsCl晶体的粉末相，如果测得前几条衍射线的布喇格角为10．72，15．31，18．88，20．91，24．69和27．24，试求衍射线的指数和点阵常数a． 2．44 用λ＝1．54Å的X-射线束照射到Ta粉末样品上，得到的前几条谱线的布喇格角如下表： (a)计算面间距d； (b)求出每条谱线的衍射指数； (c)从每个d值计算点阵常数a； (d)画出a对 的曲线，再外推到θ＝90，得到点阵常数最准确的值，这样一种作法可以消除大量的系统误差。 2．45 用钼的Kα辐射( Å)得到从NaCl晶体(200)平面来的X-射线反射的布喇格角为7．3，如果NaCl晶体的密度为 kgm-3，试计算阿伏加德罗常数．已知钠的原子量为23，氯的原子量为35．5．(提示：在NaCl晶体边长为d200的立方晶胞中含有 个钠原子和 个氯原子)． 2．46 在NaCl晶体中，相邻两(200)平面间的距离是2．820Å．设X-射线照射在晶面上，当掠射角为835’时观察到(200)布喇格反射，试问X-射线波长是多少?并计算在多大角度下可以发生(400)布喇格反射． 2．47 对某种金属元素，用钥的Kα辐射( Å)进行粉末照相，观测到前六条谱线的θ值分别为7．35，7．82，8．33，10．7，12．8和13．9，试求点阵类型和衍射线的指数．如果已知该物质的密度为 kgm-3，试计算其原于量． 2．48 (a)试讨论旋转晶体法衍射图样中层线之间的距离；(b)在旋转晶体法中，设NaCl晶体绕[001]轴旋转，入射的X-射线为铜的Kα线，波长 Å．照片卷简半径R＝5×10-2m．若已知点阵常数a＝5．63 Å，试求照片上第一、二层线与中央层线间的距离． 2．49 从反应堆来的中子经瞄准和过滤，使中子束只包含能量低于15MeV的中子．将其沿[100]方向入射到面心立方铝单晶(最近邻原子间距为2．8 Å)上，试问会观察到什么样的衍射花样? 2．50 用铜的Kα辐射( Å)，对具有立方结构的某种物质进行粉末法实验．设衍射谱线相应的布喇格角是12．3，14．1，20．2，24．0，25．1，29．3，32．2和33．1． (a)试确定这些谱线的指数并判断点阵类型是sc、bcc还是fcc？ (b)计算立方晶胞边长； (c)如果已知该物质的密度是 kgm-3，分子量是312，试求一个立方晶胞中的分子数． 2．51 在粉末法中，用铜的KαX-射线入射到某种立方晶体上，已知 Å．粉末照相机的直径2R＝5cm，现由照片上得到衍射环直径是L1=2．396cm，L2=2．775cm，L3=3．979cm，L4=4．718cm，试判断此晶体是何种点阵类型?点阵常数是多少? (提示： rad) 2.52 氢原子在基态下的电子密度是球对称的，n(r)由下式给出 其中a0是第一玻尔半径．试计算氢原子的形状因子。 思考题 2．1 一种给定的晶体点阵是否只有唯一的倒易点阵与之对应?倒易点阵的初基矢量是否只有唯一的一组？一个给定的晶体点阵当选用不同的初基矢量时，得到的倒易点阵是否相同? 2．2 什么是布喇格反射？它和光学中反射的概念有何不同?劳厄和布喇格处理X-射线衍射的方法有什么不同？为什么说劳厄条件和布喇格条件是完全等价的? 2．3 布里渊区有什么物理意义?为什么说布里渊区是衍射条件的几何表示法? 2．4 为什么可见光不能用于分析晶体结构?如果晶体结构可以用可见光作结构分析，那么点阵常数的数量级要多大才行? 2．5 试说明X-射线衍射实验方法的原理和大意． 2．6 在结构分析中，除了用X-射线外，还可以用什么作入射束?为什么中子比质子更有用？ 2．7 金刚石和锗、硅都具有金刚石结构，但点阵常数各不相同，它们的结构因子是否相同? 2．8 KCl具有NaCl型结构，但K+和C1—的形状因子大约相等．试讨论KCl结构的消光规律。 2．9 当X-射线被电子散射时，光于有可能受到电子的康普顿散射，尽管这种散射的几率很小．这种散射叠加在本章所讨论的散射(称为汤姆逊散射)之上．康普顿散射是非弹性散射，光子的一部分能量损失交给了电子，能量损失依赖于散射角，试问康普顿散射能否得到衍射花纹？为什么？