浅谈_高等几何_对中学几何教学的指导意义

第 卷第 期 年 月 南 宁 师 范商等专 科 学 校 学报 刀 刃砚州困匹 放角西 扭川 侧心知洲正 】多 幻 几兀〔龙 浅谈 《高等几何 》对中学几何教学 的指导意义 赵 强 玉林师范学院 数学与计算机科学 , 广西 玉林 摘 要 本文论述高等几何与 中学几何的关系 , 揭示高等几何对中学几何的指导意义 。 关键词 高等几何 针影几何 仿射几何 欧氏几何 中图分类号 文献标识码 文章编号 以 一 。 解一 一 ‘ 叮 加 沙 柑 , 口 别 邻 , , , , 陇 ’ 即 郎。 比 罗帅 尽 伟 罗 甸 引官 《高等几何 》是高等师范院校数学专业的一门重要的 课程 。 该课程的教学 目的之一 , 是使学生加深对中学几何 的理论和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的理解 , 获得在较高观点上处理中学几何问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的能力 。 因此有必要探讨高等几何与中学几何的关系 , 使之更好的服务于教学 目标 。 离等几何与中学几何的关系 高等几何是中学几何的延深课程 , 它们之间有着很深 的渊源 。 它们之间的关系可概括为以下几方面 高等几何在几何学中的地位 现行的高等几何教材一般都是利用变换群的观点建 立的 , 按照兄 的观点 , 几何学是研究相应的变换群下图 形的不变量和不变性的学科 , 根据这个观点 , 与射影群相 应的是射影几何 , 与仿射群相应的是仿射几何 , 与正交群 相应的是殴氏几何 。 因为仿射群是射影群的子群 , 正交群 是仿射群的子群 , 所以仿射几何 、 殴氏几何都是射影几何 的子几何学 。 射影群 、 仿射群包含的变换较正交变换群 “ 多 ” , 保留的几何性质就较少 , 所以高等几何处理的问 题就有较大的普遍性及概括性 , 殴氏群包含的变换较 “少 ” , 保留的几何性质就较多 , 因而殴氏几何几何的内 容就更具体更丰富 。 中学几何基本上是属于殴氏几何的范 畴 。 由高等几何在几何学中的地位可知 , 高等几何的观点 是高层次的观点 , 从高等几何的高度看中学几何 , 能深化 对中学几何本质的认识 , 获得对度量性质较统一的理解 , 也就有可能从更高的观点看待几何图形 , 从而能抓住更本 质的东西 。 例如在仿射几何中对于一般的椭圆 , 圃的特殊 性消失了 , 但它和双曲线 、 抛物线的差异却仍存在 , 这就 说明 , 在一定意义上 , 圆和双曲线 、 抛物线的差异 , 比起 它和椭圆的差异是更本质的差异 。 高等几何是中学几何部分 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 的理论依据 现行中学几何教材部分内容仅从直观的的现象中发现 图形之间的内在联系 , 探索几何性质 , 向题的结论依赖于 默认 。 而在高等几何中 , 这些内容和问题都可以在严密的 数学系统内给出严格的论述 。 例如立体几何中的直观图及 截面图的画法 三点定一圆问题 一点在二次曲线的内部 还是外部的问题 二次曲线的切线的尺规作图问题 以及 著名的 “ 九树十行 ” 问题等 , 都能在高等几何中得到彻底 解决 。 用高等几何方法可给出一些中学几何问题的简捷 解法 一些中学几何问题运用初等几何方法解决时 , 有时会 非常复杂和困难 , 但应用高等几何方法解决此类向题却非 常简捷 。 例如平面几何中的共点线及共线点问题 。 高等几 何解决此类问题的常用方法有 定理及其逆定理 、 定理 定理 , 定理以及射影对应 、 中 心投影等方法 。 收稿日期 帕 一 一 一一 一 —作者简介 赵强 , 一 男 玉林师范学院数学与计葬机科学系讲师 , 主要从事数学教学与橄分方程研究 、、 一 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 浅谈 《离等几何 》对中学几何教学的指导意义 作者 、赵 强 例 设 、 、 ,分别是三角形 中乙 、 乙 、 乙 内的旁切圆的回心 , 且 ,交 于 , 。 交 于 , , ,交 于 , 求证 、 、 共线 。 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 丫 、 、 ,分别是三角形 旁心 , ⋯ 、 、 , 相交于三角形 的内心 , 即三角形 与三角形 」有透视中心 , 由 定理 , 它们的三对对边的交点 、 , 、 共线 。 此外 , 中点 、 平行 、 面积等问题 , 利用仿射几何理论 去解决也非常简捷 。 构造初等几何新命题 从高等几何与初等几何的关系出发 , 可以构造许多 初等几何新命题 , 主要方法有 将初等几何命题推广 例 初等几何命题 从圆上一点 作 垂直于直径 于 , 过 作圆的切线与 、 处的切线分别相交于 、 , 则直线 、 、 共点 , 且线段 被此点平分 。 因在射影变换下圆可变为椭圆 , 故可得关于椭圆的初 等几何命题 从椭圆上一点 作 直径 的共扼弦交 与 , 过 作椭回的切线与 、 处的切线分别相交于 、 , 则直线 、 、 共点 , 且线段 被此点平分 。 同理可得到关于双曲线 、 抛物线的初等几何命题 。 将高等几何命题特殊化 例 高等几何命题 是二阶曲线的内接完全四 点形 , 、 、 是完全四点形的对边点 , 则 、 处的切线 之交点 及 、 处的切线之交点 都在直线 上 。 将其特殊化可得初等几何命题 四边形 内接于 圆 , 四边形的对边 与 相交于 , 与 相交与 , 则 、 处的切线之交点 及 、 处的切线之交点 都在直 线 上 。 例 高等几何命题 在平面上给定二直线 、 及不在 。 、 上的一点 , 不先定出 、 的交点 可用直尺作出通 过此点和 点的直线。 将其特殊化可得初等几何命题 在平面上给定二平行 直线 、 及不在 、 上的一点 , 只用直尺可作出通过 点 且与 、 平行的直线 。 作法 过 作二直线 、 分别与 、 相交于 、 , 、 、 , 连 、 , 得交点 。 过 任作一直线与 、 分别交于 、 。 连 卫 、 得交点 , 则直线 为所求作的直 线 。 从此例可看到由高等几何可探求一些初等几何问题的 解法 。 利用配极原则 取定一条特殊的二阶曲线 —圆来建立点线之间的配极对应 。 这个圆叫作基圆 , 它有下列性质 基圆圆 心的极线为无穷远直线 , 基圆直径的极点为无穷远点 在基圆的同一直径上的点的极线为垂直与该直径的 平行直线 。 反之 , 一组平行线的极点在垂直于该组平行线 的基回直径上 两点关于基圆心所张的有向角等于 这两点的极线所夹的同向角 。 利用这些性质 , 可以通过配 极对应 , 由一个初等几何命题导出一个新命题 。 例 “ 三角形三中线交于一点 ” 取三角形的外接 圆作为基回 。 原图形 △ 内接于圆 三顶点 、 、 三边中点 、 、 三条边 、 、 三中线 、 、 定理 任意三角形三中 线交于一点 。 酉改及图形 △ 丑亡 夕沏于圆 三条褪田 , 、 , 、 旧 三条切线 乙 ’、 乙 ’、 乙 的夕确平分 线 , 、 下 、 ’ 三顶点 、 ’、 直线 ℃ 、 人 、 卫分召与角 乙 ’、 乙甘 、 乙 的夕确平 分线交于点口 、 公 、 配极定理 任意三角形夕确平分 线与其对边交点在一直线上 。 离等几何对中学几何的指导意义 由高等几何与中学几何的关系可知 , 高等几何对中学 几何的教学有重要的指导意义 。 拓广知识领域 , 从全局与整体上把握中学几何教 学 中学几何无论在内容和研究方法方面还是在几何思想 方面都存在很大的局限性 , 例如在解析几何中虽然研究了 “ 二次曲线的一般理论 ” , 但二次曲线的射影性质没有也 不可能作介绍 仿射性质和度 性质虽有阐述 但不深刻 也不全面 , 而射影几何中对一些概念 如二次曲线的中 心 、 直径 、 渐近线 、 焦点 、 准线等 作了比解析几何更深 刻 、 更科学 、 也更抽象的定义 。 通过高等几何的学习 能 加深对中学几何的理论和方法的理解 , 并可将它放在一个 更广阔的背景下来把握和处理 , 这有助于在全局和整体上 用高观点来分析和理解中学几何问题 , 丰富和改进中学几 何教学 。 拓广途径 , 丰富初等几何的研究方法 由于初等几何是射影几何 、 仿射几何的子几何学 , 因 此射影几何 、 仿射几何的性质必是欧氏几何的性质 , 故可 以运用高等几何的理论解决初等几何的问题 。 从而为初等 几何解题方法寻求更广泛的途径 。 利用仿射变换证明平面几何问题 若某个只涉及几何图形仿射性质的命题在某个特殊图 形中成立 , 我们可将给定的一般图形用仿射变换变为特殊 图形 , 得出结论后又回到原图形 , 于是便完成了命题的证 明 。 例如 命题 “梯形两腰延长线的交点和对角线交点的 连线必平分上 、 下底 ” 便可用此法证明 。 利用投影到无穷远证明初等几何题 一 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 浅谈 离等几何 对中学几何教学的指导意义 作者 、赵 强 给定平面 , 及其上一直线 , 可选取平面 二 ’与投影中 心 使 对应于 , ’上的无穷远直线 , 称此过程为 “将直 线投影到无穷远 ” , 利用此法可证明一些初等几何题 。 例 设 、 为两定点 , 、 为定直线 , 在 上任取 两点 、 , 又 与 交点为 , 与 的交点为 , 求 证 通过直线 上的一定点 。 证明 将直线 投影到无穷远直线 , 把 上任取的两 点 、 分别投影为 , , , 则 , 与 都是平行四边形 , 因此 、平行于 , 于是 、与 相交于无穷远点 , 故 通过 上一定点 。 德萨格定理极其逆定理的应用 利用德萨格定理极其逆定理可证明大量的初等几何中 的共线点和共点线的问题 。 例如命题 “三角形的三中线交 与一点 ” 便可用此法证明 。 交比 、 调和比的应用 利用交比 、 调和 比可证明大量的初等几何中的共线 点 、 共点线 、 线段相等 、 平分角等问题 。 例如著名的 “ 蝴 蝶定理 ” 用交比来证明非常简便 。 利用配极理论证明平面几何命题 取定一条特殊的二次曲线 —圆来建立点线之间的配极对应 , 对于待证的几何命题 , 先导出配极命题 , 取其易 者加以证明 , 从而这两个几何命题都成立 。 例如 命题 “ 三角形的三中线交与一点 ” 与命题 “ 任意三角形外角平 分线与其对边交点在一直线上 ” 是一对配极命题 , 前者比 后者易证 可利用前者来证明后者 。 运用高观点 , 探索教学科研的道路和方向 作为连接射影几何和欧氏几何的纽带的仿射几何 , 在初等几何中有着广泛的应用 , 是应用高等几何于初等几 何的一条重要通道 , 对于只涉及图形仿射性质的命题 , 可 以运用仿射变换的有关性质借助仿射变换和仿射坐标系加 以解决 , 它能达到化繁为简 , 事半功倍的效果 , 还可探求 出一些中学几何题的新解法 。 运用射影几何 、 仿射几何 、 欧氏几何的关系来处理中 学几何问题可以超越初等几何的局限 , 具备判断一个几何 命题能否推广及能否用其来构造新命题的能力 。 反过来 , 由于许多高等几何的定理和间题能用初等几何方法来证明 解答 , 因而我们可以依据它们构造中学几何的新的习题和 竞赛题 , 为中学的教学和科研开辟新的途径 。 结束语 高等几何能在较高的层面上认识几何空间的基本特 征 、 研究方法 、 内在联系 , 确认几何学的本质 , 从而发展 了几何空间的概念 , 便于我们居高临下地认识和掌握初等 几何的本质和内涵 。 它不仅在提高观点方面具有独特的作 用 , 而且在论证方法 、 思考问题方面也具有独特的灵活 、 巧妙的特点 。 因此高等几何对中学几何的教学有着高观点 的指导作用 , 对提高教学质量 , 开拓教学科研途径的有重 要意义 。 参考文献 梅向明 , 刘增贤 王汇浮 王智秋 高等几何【 」北京 高等教育出版 社 、 以卜 朱得祥 初等几何研究【 北京 高等教育出版社 , 陈启旭 , 王 大淦 林达坚 , 陈达惠 高等几何【 】福州 福建人民出版 社 , 邓鹤年 高等几何对初等几何的指导意义 松辽学刊 , , 张初荣 试谈高等几何时初等几何的指导意义 零陵师专学报 , · ‘资任编辑 工庆甫 资任校对 赵美斌 》 一 一 © 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. 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