3 杆系结构静力分析的有限单元法

nullnull 3.1 结构离散与向量表示 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法3.2 位移函数及单元的刚度矩阵 3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.4 整体刚度矩阵 3.5 约束处理及求解 3.6 计算示例 3.7 ANSYS桁架结构计算示例3.8ANSYS刚架结构计算示例 null3.1 结构离散与向量表示 工程上许多由金属构件所组成的结构，如塔式桁构支承架、起重机起重臂架、钢结构桥梁、钢结构建筑等可以归结为杆系结构。杆系结构按各杆轴线及外力作用线在空间的位置分为平面杆系和空间杆系结构。 杆系结构可以由杆单元、梁单元组成。 (a) Liebherr塔式起重机 (b) Liebherr履带式起重机(c) 钢结构桥梁 (d) 埃菲尔铁塔 图3-1 杆系结构第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.1.1 结构离散化 由于杆系结构本身是由真实杆件联接而成，故离散化比较简单，一般将杆件或者杆件的一段( 一根杆又分为几个单元 )作为一个单元，杆件与杆件相连接的交点称为结点。 杆系结构的离散化的要点可参考如下： a. 杆件的转折点、汇交点、自由端、集中载荷作用点、支承点以及沿杆长截面突变处等均可设置成结点。这些结点都是根据结构本身特点来确定的。 b. 结构中两个结点间的每一个等截面直杆可以设置为一个单元。 变换为作用在结点上的等效结点载荷。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null c. 变截面杆件可分段处理成多个单元，取各段中点处的截面近似作为该单元的截面，各单元仍按等截面杆进行计算。 d. 对曲杆组成的结构，可用多段折线代替，每端折线为一个单元。如若提高计算精度，也可以在杆件中间增加结点。 e. 在有限元法计算中，载荷作用到结点上。当结构有非结点载荷作用时，应该按照静力等效的原则将其第三章 杆系结构静力分析的有限单元法(a) 结点载荷处理方式 (b) 等效结点载荷处理方式 图3-2杆系结构离散化示意图 null3.1.2 坐标系 图3-3 坐标系示意图 为了建立结构的平衡条件，对结构进行整体分析，尚需要建立一个对每个单元都适用的统一坐标系，即结构坐标系或称之为整体坐标系、总体坐标系。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.1.3 向量表示 在有限单元法中力学向量的规定为：当线位移及相应力与坐标轴方向一致时为正，反之为负；转角位移和力矩，按右手法则定出的矢量方向若与坐标轴正向相一致时为正。对于任意方向的力学向量，应分解为沿坐标轴方向的分量。 刚架结构示意图 (b) 结点位移和结点力分向量 图3-4 平面刚架分析示意图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null结点位移列向量为 单元e结点位移列向量为 结点力向量为 单元e结点力列向量为 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.2 位移函数及单元的刚度矩阵 3.2.1 轴向拉压杆单元的位移的函数 有限单元法分析中，虽然对不同结构可能会采取不同的单元类型，采用的单元的位移模式不同，但是构建的位移函数的数学模型的性能、能否真实反映真实结构的位移分布规律等，直接影响计算结果的真实性、计算精度及解的收敛性。 为了保证解的收敛性，选用的位移函数应当满足下列 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 : a. 单元位移函数的项数，至少应等于单元的自由度数。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 由单元结点位移，确定待定系数项 当 时， 当 时， 所以 用结点位移表示 其中 、 分别表示当 ， 时； ， 时的单元内的轴向位移状态，故称为轴向位移形函数。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法 b. 单元的刚体位移状态和应变状态应当全部包含在位移函数中。 c. 单元的位移函数应保证在单元内连续，以及相邻单元之间的位移协调性。 null 3.2.2 梁单元平面弯曲的位移函数 梁单元平面弯曲仅考虑结点的四个位移分量 ， ， ， ，由材料力学知,各截面的转角: 故梁单元平面弯曲的位移表达式可分为仅包含四个待定系数 ， ， ， 的多项式 单元结点位移条件 当 时 ， 当 时 ，第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null称为形函数矩阵。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.2.3 单元的应力应变 在弹性范围内，并且不考虑剪力的影响时，平面刚架单元内任一点的轴向线应变由两部分组成，即轴向应变与弯曲应变之和，其轴向应变与平面桁架轴向应变相同。 轴向应变为 弯曲应变为 y为梁单元任意截面上任意点至中性轴 (x轴)的距离。 得出平面刚架单元应变 图3-5 弯曲应变计算示意图 则——平面刚架梁单元的应变转换矩阵。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.2.4 平面刚架梁单元的刚度矩阵 梁单元的i，j结点发生虚位移为 单元内相应的虚应变应为 由虚功原理有 由于结点虚位移 的任意性，故上式可写成 上式称为局部坐标下的平面刚架单元的刚度方程，简称为单刚。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 横截面积A 横截面对形心轴z的静矩S 横截面对主惯性轴z的惯性矩I 得到四个3 3子块所组成的局部坐标系下的平面刚架梁单元的单元刚度矩阵。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 平面桁架的单元刚度矩阵为 空间桁架单元每个结点有3个位移分量，其单元结点位移列向量 空间桁架局部坐标下的单元刚度矩阵是6×6的 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 空间刚架单元每个结点有6个位移分量，其单元结点位移列向量 空间刚架局部坐标下的单元刚度矩阵是12×12的。 (a) 杆单元i端产生单位位移 (b) 杆单元j端产生单位位移 图3-6 平面桁架单元刚度系数的物理意义 (a) 梁单元i端产生单位位移 (b) 梁单元j端产生单位位移 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null(c) 梁单元i端产生单位角位移 (d) 梁单元j端产生单位角位移 图3-7 平面刚架单元刚度系数的物理意义 3.2.5 单元的刚度矩阵的性质 a. 单元刚度矩阵仅与单元的几何特征和材料性质有关。仅与单元的横截面积A、惯性矩I、单元长度l、单元的弹性模量E有关。 b. 单元刚度矩阵是一个对称阵。在单元刚度矩阵对角线两侧对称位置上的两个元素数值相等，即，根据是反力互等定理。 c. 单元刚度矩阵是一个奇异阵。 d. 单元刚度矩阵可以分块矩阵的形式表示。具有确定的物理意义。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.3 坐标变换及单元刚度矩阵 3.3.1 坐标变换 在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向量 可分别表示成 (a) 向量转换分析 (b) 向量转换 图3-8 向量转换示意图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录null对于梁单元如图3-8(b)所示，则有 可简写为 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 同理 式中 ——平面刚架梁单元的从局部坐标系向整体坐标系的转换矩阵。 3.3.2 整体坐标系下的单元刚度矩阵 式中 ——整体坐标下的单元刚度矩阵。 和 一样， 为对称阵、奇异阵。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.4 整体刚度矩阵 3.4.1 整体刚度矩阵的建立 整体刚度矩阵也称之为结构刚度矩阵或总体刚度 矩阵，简称总刚。 整体刚度矩阵的求解是建立在结构 平衡条件的基础之上， 因此研究对象以整体坐标系为 依据。 图3-9 载荷向量示意图 如右图所示刚架结构，其结点载荷列向量分别为 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null结构载荷列向量 结点位移列向量 建立结点平衡条件方程式如右表。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null用分块矩阵的形式，建立杆端内力与结点位移的关系式。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 单元刚度矩阵由2×2的子矩阵组成， 每个子矩阵是3×3的方阵。 的上角标表示单元编号，下角标表示单元j端单位位移所引起的i端相应力。 将杆端内力与结点位移关系式代入结点的平衡条件方程式中，经整理得： 简写为称之为结构原始平衡方程。其中 为整体刚度矩 阵。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.4.2 整体刚度矩阵的集成 整体刚度矩阵是由在整体坐标系下，矩阵按照结点编号的顺序组成的行和列的原则，将全部单元刚度矩阵扩展成n×n方阵后对号入座叠加得到。 对于单元1 对于单元2 对于单元3 单元刚度矩阵集成得出整体刚度矩阵 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.4.3 整体刚度矩阵的性质 整体刚度矩阵 中位于主对角线上的子块 ，称为主子块，其余 为副子块。 a. 中主子块 由结点i的各相关单元的主子块扩展之后叠加求得，即 b. 当结点i、 j为单元e的相关结点时， 中副子块 为该单元e相应的副子块，即 。 c. 当结点i、 j为非相关结点时， 中副子块 为零子块，即 。 d. 仅与各单元的几何特性、材料特性，即A、I、l、E等因素有关。 e. 为对称方阵， f. 为奇异矩阵，其逆矩阵不存在，因为建立整体刚度矩阵时没有考虑结构的边界约束条件。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null g. 为稀疏矩阵，整体刚度矩阵中的非零元素分布区域的宽度与结点编号有关，非零元素分布在以对角线为中心的带状区域内，称为带状分布规律，见图3-10(a)。在包括对角线元素在内的区域中，每行所具有的元素个数叫做把半带宽，以d表示。 最大半带宽等于相邻结点号的最大差值加 1 与结点自由度数的乘积，结点号差越大半带宽也就越大。计算机以半带宽方式存储，见图3-10(b)。半带宽越窄，计算机的存储量就越少，而且可以大幅度减少求解方程所需的运算次数。其效果对大型结构显得尤为突出。 图3-10 整体刚度矩阵存储方法 h. 整体刚度矩阵稀疏阵。 故整体刚度矩阵不能求逆，必须作约束处理方能正确地将结点位移求出，进而求出结构的应力场。 (a) 带状分布规律 (b) 带状存储 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.5 约束处理及求解 3.5.1 约束处理的必要性 建立结构原始平衡方程式 时，并未考虑支承条件（约束），也就是说，将原始结构处理成一个自由悬空的、存在刚体位移的几何可变结构。整体刚度矩阵是奇异矩阵，因此，无法求解。可以参照第 2 章的原则，结合实际工程结构引入支承条件，即对结构原始平衡方程式 做约束处理。 约束处理后的方程称为基本平衡方程。 统一记为 3.5.2 约束处理方法 约束处理常用方法有填0置1法和乘大数法。采用这两种方法不会破坏整体刚度矩阵的对称性、稀疏性及带状分布等特性。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法返回章节目录null 下面以图3-11所示刚架结构为例，解释如何进行约束处理。对于下图所示刚架结构 设结点位移列向量为 设结点载荷列向量为固定支座 (b) 支座强迫位移已知 图3-11 结构约束第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null其原始平衡方程式为 按照每个结点的位移分量将上式展开为第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 对于如图3-11(a)所示，结构约束（支座）位移全部为零，此时做约束处理时，采用填0置1法比较适宜。 对于如图3-11(b)所示，某约束（支座）位移为给定的强迫值，此时做约束处理时，采用乘大数法比较适宜。 (1) 填0置1法 如右图所示结点1、3处为固定支座，可知 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部置换成1， 相应行和列上的其它元素均改为0。 同时，所在同一行上的载荷分量替换成0，则有第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null则第三章 杆系结构静力分析的有限单元法 也可简便地采用划行划列的办法。在整体刚度矩阵中将与约束位移为 0 的行和列划掉，包括相关的所在行的位移和载荷向量。null 处理后得基本平衡方程 (2) 乘大数法 右图所示刚架，结点1为固定支座，结点3处在方向的约束为已知强迫位移。即 将整体刚度矩阵中与之相对应的主对角元素全部乘以一个大数N，一般取 。同时，将相应同一行上的载荷分量替换成 N 乘以其主对角刚度系数和给定的强迫位移（包括零位移）。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null得到由于N 足够大，可以近似认为 ,则得出 同时得到求出位移 之后，即可以求出结构的应力场 。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null第三章 杆系结构静力分析的有限单元法 用有限单元法计算空间刚架结构，在原理上及推导过程与计算平面刚架结构相同。在此不再重复。但应注意到，由于空间的每一结点一般具有六个自由度，故计算较之复杂些。3.6 计算示例 设两杆的杆长和截面尺寸相同， 杆件长 m。 图3-12 刚架受力简图null结构离散化后 将结构划分为4个结点、3个单元截面积 ，惯性矩 (2) 求结点载荷 首先须求局部坐标系中固定端内力 (a) 单元1作为两端固定梁反力示意图 (b) 单元2作为两端固定梁反力示意图 图3-13内力示意图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null单元1 单元2 在局部坐标系下单元载荷列向量 单元1 单元2 单元3 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 为了求出在整体坐标下的载荷列向量，先求单元得坐标转换矩阵 单元1、2 单元3 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 求各单元在整体坐标下的等效结点载荷 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 求刚架的等效结点载荷 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null因为无结点载荷作用，总结点载荷即为等效结点载荷。 (3) 求单元刚度矩阵 由于单元1、2、3的尺寸相同，材料弹性模量相同，故 梁单元的局部坐标下的刚度矩阵表达式 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null则（4）求整体坐标系中的 单元1 单元2 单元3 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null（5）求结构整体刚度矩阵 利用刚度集成法 （6）建立原始平衡方程式第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null（7）引入约束条件解方程组 由于1、3、4为固定端， 修改整体刚度矩阵中的1~3，6~12行与列， 以及载荷列向量中的相应的行，既约束处理。 建立基本平衡方程 即得到 （8）求各杆的杆端力 单元3结点位移列向量 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null单元1杆端内力计算 单元2杆端内力计算单元3杆端力计算第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null（9）作内力图 （a） 刚架轴力图（b） 刚架剪力图（c） 刚架轴弯矩图 图3-14 刚架内力图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.7 ANSYS桁架结构计算示例=1m; =1m; 材料为Q235;（1）选择单元类型 运行Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete 在结点8上施加竖直向下的集中载荷F＝60000N， 约束为结点1处约束X,Y方向自由度，结点5处约束Y方向自由度。 图3-15 桁架结构示意图 图3-16 桁架各单元横截面图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法图3-17 单元类型对话框 null图3-18 单元类型库对话框 （2）设置材料属性 运行Preprocessor>Material Props>Material Models 图3-19选择材料属性对话框 图3-20设置材料1属性对话（3）设置单元截面形式 选择菜单Preprocessor>Sections>Beam>Common Sections 图3-21梁截面设置对话框第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （4）定义实常数运行Real Constants>Add/Edit/Delete 图3-22 设置LINK1单元的实常数 （5）建立模型 首先生成结点，运行主菜单Preprocessor>Modeling > Create> Nodes> In Active CS; 再生成单元，运行主菜单 Preprocessor>Modeling>Create>Elements>Auto Numbered>Thru Nodes穿越结点命令。 图3-23 创建结点对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null图3-24通过结点建立单元 图3-25 桁架的有限元模型 （6）施加约束 运行主菜单Solution>Define Loads > Apply>Structural>Displacement>On Nodes 图3-26 结点施加约束对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （7）施加载荷 运行主菜单Solution>Define Loads>Apply>Structural> Force/Moment>On Nodes。 图3-27 结点施加载荷对话框 （8）求解 运行主菜单 Solution> Solve>Current LS，分析当前的负载步骤命令， 弹出如图3-28所示对话框，单击OK，开始运行分析。分析完毕后， 在信息窗口中提示计算完成， 单击Close将其关闭。 （9）后处理 运行主菜单 General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu命令，运行DOF Solution> Displacement vector sum，出现桁架轴向应力云图。图3-29 云图显示对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法图3-28 求解对话框 null图3-30 位移云图 选择Stress>von Mises stress，则出现桁架位移云图 图3-31 云图显示对话框 图3-32 轴向应力云图 桁架的位移云图可知，最大位移发生在桁架的中部，最大位移为 m。 桁架的轴向应力云图可知，最大应力发生在2单元。最大应力45.9MPa。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null3.8 ANSYS刚架结构计算示例 图3-33 刚架示意图 约束形式为：A、F点施加全约束。在CE梁中点处受到竖直向下集中载荷的作用F1=20000N， AC柱的中点处受水平向右的集中载荷 F2=10000N；AC＝2m， CE＝2m，材料为钢材，弹性模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3。 （1）选择分析范畴图3-34选择分析范畴对话框 在主菜单中单击Preferences菜单， 弹出Preferences for GUI Filtering窗口， 选择Structural， 然后单击OK按钮。第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （2）选择单元类型 运行Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete， 弹出Element Types对话框，选择BEAM188单元。图3-35 单元类型对话框图3-36 单元类型库对话框 （3）设置单元截面形式 运行Preprocessor>Section>Beam>Common Sections，弹出 Beam Tool 对话框，W1选项栏中填写0.1，W2选项栏中填写0.2，t1~t4中填写0.008。 设置完毕单击OK按钮。 图3-37 梁截面设置对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （4）设置材料属性 运行Preprocessor>Material Props> Material Models，弹出Define Material Model Behavior对话框。双击Isotropic选项，弹出Linear Isotropic Properties for Material Number1对话框，在EX选项栏中设置数值2.1e11，在PRXY选项栏中设置数值0.3。设置完毕单击OK按钮。 图3-38 选择材料属性对话框 图3-39 设置材料属性对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （5）建立模型 设置材料属性对话框运行Preprocessor>Modeling>Create>Keypoints>In Active CS。创建关键点1，在NPT选项栏中设置数值1， 表示设置的关键点号为1，在X,Y,Z栏中设置数值0，0，0，表示关键点1的坐标为：（0,0,0）。同理设置关键点2，3，4。坐标分别为（0,2,0），（2,2,0），（2,0,0）。 运行Preprocessor>Modeling>Create> Lines>Lines>Straight Line， 弹出Create Straight Line 对话框。 分别拾取点 1-2, 3-4,2-3。并经过布尔运算将两直线相加。 图3-40 创建关键点对话框 图3-41 创建直线对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null图3-42 刚架模型 （6）划分网格 选择刚架的单元属性，运行Preprocessor> Meshing>Mesh Attributes>Picked lines，弹出Line Attributes对话框。拾取刚架后弹出Meshing Attributes对话框，采取默认设置。 点击OK。 图3-43 划分网格拾 取线对话框 图3-44设置网格单元属性第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 选择 Preprocessor>Meshing>Size Cntrls > Manual Size> Lines>Picked Lines，选择刚架，弹出对话框。在NDIV一栏中输入30，单击OK。最后在Mesh Tool中自由划分网格。 图3-45 定义单元尺寸拾取线对话框 图3-46 设置线上单元尺寸对话框 （7）施加约束 运行 Solution>define Loads> Apply>Structure >Displacement >On Keypoints，选择关键点1，选择ALL DOF。同理对关键点4进行全约束。 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null图3-47 对关键点施加全约束 （8）施加载荷。 将图形结点显示，运行PlotCtrls>Numbering，激活Node Numbers后面的选框，使它变成on形式。选择菜单Solution>Define Loads>Apply>Structure> Force/ Moment>On Nodes。拾取结点17，施加集中载 荷Fy=-20000N。 同理，在结点7上施加集中载荷Fx=10000N。图3-48 编号显示设置对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null 图3-49 拾取点对话框 图3-50 施加约束、载荷后的刚架有限元模型 （9）求解 选择 Solution>Solve>Current LS，弹出如右图所示对话框，单击OK按钮，开始计算。计算结束会弹出计算完毕对话框，单击Close关闭对话框，计算完毕。图3-51 求解对话框 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法null （10）后处理 显示位移云图：运行 General Postproc>Plot Results> Contour Plot>Nodal Solu。 弹出如下图所示对话框，运行DOF Solution>Displacement vector sum显示刚架位移云图。 图3-52 云图显示对话框 图3-53 刚架的位移云图 第三章 杆系结构静力分析的有限单元法