第5章 刚体的定轴转动

nullnull 第5章 刚体的定轴转动 (The rotation of a rigid body about a fixed axis)§5.1 刚体的运动(The motion of rigid body)一、刚体(特殊的质点系):受力时物体的形状和体积不变二、刚体的平动和转动1.平动(任意两质点的连线方向始终不变)特点:刚体上每个质点的位移、速度、加速度均相等2.转动(所有质点绕同一直线作圆周运动)转动平面垂直于转轴的平面特点:各质点角位移,角速度,角加速度相等;位移,速度,加速度不相等(1)平动通常用刚体质心的运动来代表。null(2)3.刚体定轴匀加速转动β=Cnull一、力矩(moment of force)1.绕定轴转动的力矩(3)大小: Mz=Fr sinα方向: 右手螺旋 §5.2 刚体定轴转动定律 (The law of rotation of a rigid body about a fixed axis)null2.对定轴的合外力矩对定轴的合外力矩等于各分力矩的矢量和:沿轴线选定力矩方向:与ω相同的方向为力矩的正方向(4)null二、刚体定轴转动定律将刚体视为许许多多小质元(质点)组成法向力通过转动中心不产生力矩切线方向的牛顿第二定律(5)null二边同乘ri对整个刚体转动惯量转动定律意义 : 刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此力矩作用下所获得的角加速度的乘积。(6)M —是合外力矩说明:1)定律的瞬时性, 2)定律中各物理量是对同一转轴的。null三、转动惯量(moment of inertia)1.质点(m)对转动轴的转动惯量:2.质点系对同一个转动轴的转动惯量:3.刚体的转动惯量(7)刚体上取质元dm, 质元对转动轴的转动惯量:刚体的转动惯量nullρ[kg/m3]体密度 dm=ρdV说明:1) J与质量有关木(J小)铁(J大)2) J与质量的分布有关 (m相同)园盘3) J与轴的位置有关(8)λ[kg/m]线密度 dm= λdlσ[kg/m2]面密度 dm=σdSnull5)迥转半径(gyroscopic radius)刚体质量(m), 转动惯量(J)(9)4)平行轴定理:刚体对任一轴A的转动惯量JA和通过质心并与A轴平行的转动惯量Jc有如下关系:null例1:质量为m,长为l 的匀质棒的转动惯量求1)定轴在一端, 2)定轴在质心解: 积分四大步:(1)化整为零, 写出微分(2)寻找对称, 选择坐标(3)引入密度, 统一变量(4)定上下限, 积零为整1)(10)2)由平行轴 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 null例2:园盘(m,R)绕oo' 轴的转动惯量解:(11)问:1)园盘的回转半径是多少?2)园盘绕y轴的转动惯量?3)园盘边缘有一质量为m1的小块(很小)脱落了, 求对过中心垂直轴的转动惯量? null四、转动定律应用举例 解题步骤: 1. 认刚体; 2. 定转轴,找运动; 3. 分析力和力矩; 4. 定转向,列方程。注意: 1. 明确转动轴位置。2. 选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速 度的正负。 3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。二类问题:第一类: 由角量运动, 求力矩(微分法)第二类: 由力矩及初始条件, 求刚体运动(积分法)(12)null对轮:对m :解: 轮与m为联结体,轮为定轴转动、m为平动,但二者用绳联系起来。m的速度大小与轮边缘线速度大小相等。例3:己知:定滑轮为均匀圆盘,其上绕一细绳,绳一端固定在盘上,另一端挂重物m, 绳与轮无相对滑动,绳不可伸长,轮半径R=0.2m, m=1kg, m下落时间 t =3s, v0=0, h=1.5m。求: 轮对O轴 J = ?(13)null联立解得:(14)null解:1) 解得: a1=0.82[m/s2], a2=1.63[m/s2](15)例4: 组合轮由二个匀质园盘固结而成, 己知mA=6kg rA=0.1m,mB=4kg,rB=0.05m, 二盘边缘绕有细绳,绳子 下端挂二个物体m1=m2=2kg, 二个物体离地面高度均为 h=2m, 求1)二物体的加速度a1,a2 ; 2)下降物体着地 时间, 3)绳中张力2)h=a2t2/2 t=1.56[s] 3)T1=m1(g+a1)=21.2[N], T2=m2(g-a2)=16.3[N]ABnull例5: 如图装置, 己知木块 (m1=5kg)可在斜面上滑动 (μ=0.25)斜面倾角θ=30º 定滑轮(m=20kg, R=0.2m), 重物m2=10kg设绳与轮之间无相对滑动 求重物 m2 加速度, 绳中张力?解:解得(16)null例6: 如图: 二个匀质园盘(m1,R1,m2,R2), 园盘1上施 一力矩M使之由静止开始转动, 设皮带不伸长不打滑, 求: 二盘的角加速度各为多少?解:园盘1园盘2皮带不打滑解得:(17)J1=m1 R12/2 J2=m2 R22/2null例7: 匀质园盘(m,R),初角速度ω0 不计轴承处的摩擦,如空气对园盘表面每单位面积摩擦力正比于该处速 率 f=kv(k为常数)求 1)园盘所受空气阻力矩 2)园盘停 止前转数?rdr1)取环形质元,环形质元受阻力矩:(18)解:r不同时, f 不同, 力臂也不同, 需划分微元求M取刚体m为对象, 逆时转为正方向设t 时刻圆盘角速度为ω 用积分法求力矩。dθnull2) 根据转动定律(19)null §5.3 转动中的功和能 (Work and energy about rotation of a fixed axis)一、刚体的转动动能刚体转动动能(20)Δm1 Δm2 … Δmi …r1 r2 … ri …v1=r1ω v2=r2ω … vi=riω …nullθ1θ2过程中Fi对刚体所作的功:三、力矩的瞬时功率P:(21)二、力矩的功外力Fi对刚体所做的元功:所有外力对刚体的功:力对刚体所做的功可用力矩与刚体角位移乘积的积分 表示, 叫力矩的功。null刚体定轴转动动能定理(22)四、刚体定轴转动的动能定理二边积分意义:合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的 功等于刚体转动动能的增量。 null五、刚体的重力势能各质元重力势能的总和, 就是刚体的重力势能。刚体的重力势能等于其质量集中在质心时所具有的重力势能。(23)null六、定轴转动的功能原理质点系功能原理对刚体仍成立:若体系是一个包含刚体、质点、弹簧等复杂系统时七、机械能守恒定律对于包括刚体在内的体系, 若只有保守内力作功则系统机械能守恒(24)null例8: 匀质园盘(m,R)在水平桌面上可绕过园心并与桌面垂直的轴转动, 它与桌面之间摩擦系数为μ ; 求1)从ω0 到停止转了多少圈? 2)用了多少时间?解法一: 1)(25)取细园环dm根据动能定理: A=Ek2 - Ek1drdf=μgdmdM=-r·dfnull解法二: 根据转动定律:解得:解得:2)(26)null例9: 匀质细杆(m1,L)一端挂在墙上,一端固定有一物体(m2) 求1)转动惯量, 2)从图中水平位置无初速落下时的 β , 3) 落到铅直位置时的角加速度, 角速度解: 1)2)解得3)以m1,m2,地球为系统, E守恒解得(27)null §5.4 刚体的角动量 对定轴的角动量守恒定律 (The angular momentum of a rigid body and the conservation of angular momentum about a fixed axis ) 一、刚体定轴转动的角动量 刚体视为许许多多质点组成刚体定轴转动的角动量:(28)第i个质点对定轴转动的角动量:null例11:质量为M,长为l 的均匀细杆,中点有一垂直于杆 的转轴。杆绕轴旋转的角速度为ω 求:杆对中点的角动量。解：质元dm对o轴的角动量为则杆对中点的角动量：方向:与ω转向构成右手螺旋。(29)null二、刚体的角动量定理刚体的角动量定理: 刚体所受合外力矩等于刚体角 动量对时间的变化率刚体的角动量定理: 刚体所受合外力矩的冲量矩等 于刚体角动量的增量.(30)微分形式积分形式刚体定轴转动:说明:式中合外力矩及角动量都是对同一个轴的。null三、角动量守恒定律角动量守恒定律定轴转动时:意义:当系统所受合外力矩为零时系统角动量守恒(31)1. J不变, 也不变, 保持匀速转动。2. J发生变化, 但J不变, 则 要发生改变。3.开始不旋转的物体, 当其一部分旋转时, 必引起另一部分朝相反方向转。null例10:长l=0.4m均匀木棒质量M=1kg, 可绕o点的水平轴在铅垂面内转动, 开始时棒自然下垂,有一质量m=8g的子弹以v=200m/s速度在A点射入棒中, OA=3l/4, 求 1)棒开始转动时的角速度 2)棒的最大偏角?解: m的质量很小,整个过程分成两个阶段, 第一阶段:m与M碰撞,但碰撞过程未引起M转动; 第二阶段:m与M一起转动。oA(32)1)以子弹与木棒为研究对象,子弹与棒碰撞null2)子弹,木棒,地球为系统,摆动过程只有重力(保守内力) 做功, 所以机械能守恒(取o点处为势能零点)(33)null例11:匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转,轻绳跨过圆盘一端与弹簧相连, 另一端与质量为m的物体相连, 弹簧另一端 固定在地面上, 轻绳与盘无滑动, 系统处于静止状态, 此 时一质量为m0的小物块从h高度处自由落下, 与m碰撞后粘在一起。求: m下降的最大位移s 。解: m0的质量很小,整个过程分成两个阶段,第一阶段:m0与m碰撞,但碰撞过程未引起m移动;第二阶段:m0与m一起下降。m0与m碰撞前的速度v0 :(34)null第一阶段角动量守恒：第二阶段机械能守恒(取下落s处为势能零点):其中x0为m下降前弹簧的伸长量, 且mg=kx0其中JM为圆盘的转动惯量，(35)null例12: 转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为ω0 ,转台对此轴的转动惯量 J=5×10-5kg·m2,今有砂粒以每秒1g速率垂直落在转台上,砂粒落点距轴 r =0.1m,求砂粒落在转台上使转台角速度减为ω0/2 所需时间?解: 取转台和落下的砂粒为系统(36)t 时刻落下的砂粒质量: m=0.001t [kg/s]null例13: 质量为m1的匀质园盘,半径为R,盘底面与水平接触面之间之间摩擦系数为μ .一个质量为m2的子弹以速度v射入盘边缘并嵌在盘边,求 1)子弹嵌入盘边后盘的角速度? 2) 经多少时间停下来? 3)盘共转多少角度?dr2)子弹与盘从 ω到停止转动, 运用角动量定理(37)MΔt=0 - Jωnull(38)M=M1+M2M2=-μm2 gRnull3)运用功能原理:(39)nulldt 时间内轴oo' 转过 dθ 角进动(又叫旋进): 高速自旋的物体的转轴在空间转动的现象称为进动。(40)§5.5 进动(Precession)重力矩: M=mgr角动量定理:进动的角速度:思考:为什么炮筒内壁上刻有螺旋线(又称来复线)?null 刚体的定轴转动 (The rotation of a rigid body about a fixed axis)基本要求1.理解描述刚体定轴转动的物理量,并掌握角量和线量 的关系。 2.理解力矩和转动惯量的概念,掌握刚体绕定轴转动的 转动定律。 3.理解角动量的概念,掌握刚体绕定轴转动的角动量守 恒定律。 4.理解刚体绕定轴转动的转动动能的概念,会在有刚体 绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律。 5.能综合应用以上规律分析和解决包括质点和刚体在 内的简单系统的力学问题。(41)null知识网络null刚体力学习题课基本思路 两大类:1.刚体定轴转动的运动学问题刚体的运动 = 平动 + 转动 已知θ(t), 求ω,β 用导数已知 ω或β ，求 θ(t) 用积分2.刚体定轴转动的动力学问题关键是分析受力(力矩), 两套方法:(43)null方法一: 用转动定律解题(1)平动物体,用隔离体法,写出牛顿方程(2)转动物体,用隔离体法, 分析力矩, 写出转动方程(3)由角量和线量关系,将平动和转动联系起来方法二: 用运动定理或守恒定律解题(1)刚体定轴转动的功能问题(包括机械能守恒)(2)角动量守恒问题3.习题的基本类型(1)刚体的纯转动问题(2)刚体平动与转动的综合问题(3)质点与刚体的碰撞问题(44)null习题1: 如图所示,一根质量m、长l 的均匀细棒AB可 绕一水平的光滑转轴O在竖直平面内转动,O轴离A端 的距离为l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O轴 转动。求: 1)棒在水平位置时刚起动时的角加速度; 2)棒转到竖直位置时的角速度和角加速度; 3)棒转到竖直位置时,棒两端和中点的速度和加速度。解:以棒为对象,受重力和轴的支持力,支持力不产生力矩。 选顺时针方向为正。1)棒在水平位置时受到的合外力矩:(45)null棒对O轴的转动惯量：由转动定律得2)重力矩的元功: 棒从水平位置转到竖直位置过程中,重力矩作功:由动能定理得竖直位置时,棒受重力矩为零,此时瞬时角加速度为零。(46)null3)方向向左方向向右方向向左方向向上，指向O点方向向下，指向O点方向向上，指向O点(47)null习题2:如图,设滑块A,重物B及滑轮C质量分别为MA,MB, MC,滑轮C是半径为 r 的均匀圆板。滑块A与桌面之间, 滑轮与轴承之间均无摩擦,轻绳与滑轮之间无滑动。 求:(1)滑块A的加速度a (2)滑块A与滑轮C之间绳的张力T1 (3)滑轮C与重物B之间绳的张力T2解:选正方向列方程 A : T1＝MAa B : T2'r－T1' r＝JCβ C : MBg－T2＝MBa(48)null解方程得讨论:(49)null习题3:长为l ,质量M的竖直杆可绕水平轴o转动,质量为m的小球垂直击中杆的中部,并且碰撞后自由下落, 而杆在碰后的最大偏角为θ 求:1)小球击中杆前的速度; 2)使轴上的横向力为零时打击的位置。解: 1)小球和杆为系统,角动量守恒碰后杆和地球为系统, 机械能守恒(取杆在竖直位置质心处为势能零点)(50)null2)小球和杆为系统(动量不守恒),设小球击中的位置为x由角动量守恒:(51) 对系统应用动量定理:水平方向:null习题4: 水平圆盘(M,R),以 ω0转动;玩具汽车(m,质点)以匀速 v相对于盘沿一条半径由中心向边缘行驶; 求 玩具汽车行至园盘边缘时, 园盘转了多少圈?解: 园盘转动惯量: J1=MR2/2车在r 处转动惯量: J2=mr2=m(vt)2系统角动量守恒:(52)null习题5: 质量为M、半径为R的转台,可绕通过中心 的竖直轴转动。质量为m的人站在边沿上, 人和转 台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周, 求:对地而言,人和转台各转动了多少角度？解: 以M , m为研究对象故角动量守恒。以地面为参照系,建立轴的正方向如图Mm设人和转台对地面的角速度分别为ω人地 ,ω台地(53)null因人和台原来都静止故角动量(2)式×dt 积分:(54)