不等式的证明方法习题精选精讲

不等式的证明方法小结 不等式的证明 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意 的变式应用。常用 (其中 )来解决有关根式不等式的问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 1、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1 已知a,b,c均为正数，求证： 证明：∵a,b均为正数， ∴ 同理 ， 三式相加，可得 ∴ 2、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2 a、b、 ， ，求证： 证： ∴ 3 设 、 、 是互不相等的正数，求证： 证：∵ ∴ ∵ 同理： ∴ 4 知a,b,c ，求证: 证明：∵ 即 ，两边开平方得 同理可得 三式相加，得 5 且 ，证： 。 证： 6已知 策略:由于 证明： 。 3、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法 分析法的思路是“执果索因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件，直至已成立的不等式。 7已知 、 、 为正数，求证： 证：要证： 只需证： 即： ∵ 成立∴ 原不等式成立 8 且 ，求证 。 证： 即： ∵ 即 ∴原命题成立 4、换元法 换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。 9， ，求证： 。 证明：令 左 ∴ 10： ，求证： 证：由 设 ， ∴ ∴ 11知a>b>c,求证： 证明：∵a－b>0, b－c>0, a－c>0 ∴可设a－b=x, b－c=y (x, y>0) 则a－c= x + y, 原不等式转化为证明 即证 ，即证 ∵ ∴原不等式成立（当仅x=y当“=”成立） 12知1≤x ＋y ≤2，求证： ≤x －xy＋y ≤3． 证明：∵1≤x ＋y ≤2，∴可设x = rcos ，y = rsin ，其中1≤r ≤2，0≤ ＜ ． ∴x －xy＋y = r －r sin = r (1－ sin )，∵ ≤1－ sin ≤ ，∴ r ≤r (1－ sin )≤ r ，而 r ≥ ， r ≤3∴ ≤x －xy＋y ≤3． 13已知x －2xy＋y ≤2，求证：| x＋y |≤ ． 证明：∵x －2xy＋y = (x－y) ＋y ，∴可设x－y = rcos ，y = rsin ，其中0≤r≤ ，0≤ ＜ ． ∴| x＋y | =| x－y＋2y | = | rcos ＋2rsin | = r| sin( ＋ractan )|≤ ≤ ． 14解不等式 ＞ 解：因为 =6，故可令 = sin ， ＝ cos ， ∈［0， ］ 则原不等式化为 sin － cos ＞ 所以 sin ＞ + cos 由 ∈［0， ］知 + cos ＞0，将上式两边平方并整理，得48 cos2 +4 cos －23＜0 解得0≤cos ＜ 所以x＝6cos2 －1＜ ，且x≥－1，故原不等式的解集是｛x|-1≤x＜ . 15：－1≤ －x≤ ． 证明：∵1－x ≥0，∴－1≤x≤1，故可设x = cos ，其中0≤ ≤ ． 则 －x = －cos = sin －cos = sin( － )，∵－ ≤ － ≤ ， ∴－1≤ sin( － )≤ ，即－1≤ －x≤ ． 增量代换法 在对称式(任意互换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简． 16a，b R，且a＋b = 1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ． 证明：∵a，b R，且a＋b = 1，∴设a = ＋t，b= －t， (t R) 则(a＋2) ＋(b＋2) = ( ＋t＋2) ＋( －t＋2) = (t＋ ) ＋(t－ ) = 2t ＋ ≥ ． ∴(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ． 利用“1”的代换型 17 策略：做“1”的代换。 证明： . 5、反证法 反证法的思路是“假设 矛盾 肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。 18若p＞0，q＞0，p ＋q = 2，求证：p＋q≤2．证明：反证法 假设p＋q＞2，则(p＋q) ＞8，即p ＋q ＋3pq (p＋q)＞8，∵p ＋q = 2，∴pq (p＋q)＞2． 故pq (p＋q)＞2 = p ＋q = (p＋q)( p －pq＋q )，又p＞0，q＞0 p＋q＞0， ∴pq＞p －pq＋q ，即(p－q) ＜0，矛盾．故假设p＋q＞2不成立，∴p＋q≤2． 19已知 、 、 （0，1），求证： ， ， ，不能均大于 。 证明：假设 ， ， 均大于 ∵ ， 均为正 ∴ 同理 ∴ ∴ 不正确 ∴ 假设不成立 ∴ 原命题正确 20已知a,b,c∈（0，1），求证：（1－a）b, （1－b）c, （1－c）a 不能同时大于 。 证明：假设三式同时大于 ∵0＜a＜1 ∴1－a＞0 ∴ 21 、 、 ， ， ， ，求证： 、 、 均为正数。 证明：反证法：假设 、 、 不均为正数 又 ∵ 、 、 两负一正 不妨设 ， ， 又 ∵ ∴ 同乘以 ∴ 即 ，与已知 矛盾 ∴ 假设不成立 ∴ 、 、 均为正数 6、放缩法 放缩时常用的方法有：1去或加上一些项2分子或分母放大（或缩小）3用函数单调性放缩4用已知不等式放缩 22已知a、b、c、d都是正数，求证：1＜ ＋ ＋ ＋ ＜2． 证明：∵ ＜ ＜ ， ＜ ＜ ， ＜ ＜ ， ＜ ＜ ， 将上述四个同向不等式两边分别相加，得：1＜ ＋ ＋ ＋ ＜2． 23 ，求证： 。 证明：∵ ∴   判别式法 24A、B、C为 的内角， 、 、 为任意实数，求证： 。 证明：构造函数，判别式法令 为开口向上的抛物线 无论 、 为何值， ∴ ∴ 命题真 构造函数法 构造函数法证明不等式24 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b ＋c ＋abc≥2ab＋2bc＋2ca． 证明：视a为自变量，构造一次函数 = 4a＋b ＋c ＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b ＋c －2bc)，由0≤a≤2，知 表示一条线段．又 = b ＋c －2bc = (b－c) ≥0， = b ＋c －4b－4c＋8 = (b－2) ＋(c－2) ≥0， 可见上述线段在横轴及其上方，∴ ≥0，即4a＋b ＋c ＋abc≥2ab＋2bc＋2ca． 构造向量法证明不等式 根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系 · ≤| |·| |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握． 25 设a、b∈R ，且a＋b =1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ． 证明：构造向量 = (a＋2，b＋2)， = (1，1)．设 和 的夹角为 ，其中0≤ ≤ ． ∵| | = ，| | = ，∴ · = | |·| |cos = · ·cos ； 另一方面， · = (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos |≤1， 所以 · ≥5，从而(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ． 构造解析几何模型证明不等式 如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决． 26设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证： ＋ ≤2 ． 证明：所证不等式变形为： ≤2．这可认为是点A( )到直线 x＋y = 0的距离． 但因( ) ＋( ) = 4，故点A在圆x ＋y = 4 (x＞0，y＞0)上．如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有： ≤2，所以 ＋ ≤2 ．