2004年第18期 数学通讯 25
“抽象函数周期性证明”的11种类型’ 、
刘 冰
(哈尔滨市师范大学附属中学，黑龙江 150080)
抽象函数的周期性的证明，是学习中的
重点和难点 本文旨在扩大同学们知识面，攻
破其难点．共11种类型．
记f(z)是定义在R上的函数，且a>b
>0．
类型1 若对于任意一个实数z，都有
，(z+a)=f(z+b)，求证：函数 =，(z)
是周期函数．
类型2 若对于任意一个实数z，都有
，(z+a)：一f(z)，求证：函数 =，(z)是
周期函数．
类型3 若对于任意一个实数z，都有
，(z+口) (，(z)≠0)，求 ：函数
：f(z)是周期函数．
类型4 若对于任意一个实数z，都有
，(z+口)=一 I_(，( )≠0)，求证：函数
=f(z)是周期函数．
类型5 若对于任意一个实数 z都有：
①f(z+a)=f(一z+b)；②函数 =f(z)
是奇函数，求证：函数 =f(z)是周期函数．
类型6 若对于任意一个实数 z都有：
q)f(x+口)=f(一z+b)；②函数 =f(z)
是偶函数，求证：函数 =，(z)是周期函数．
类型7 若对于任意一个实数z都有：
①f(z+．口)=一f(一z+b)；②函数 =
，(z)是奇函数，求证：函数 =f(z)是周期
函数． ．
类型8 若对于任意一个实数z都有：
①f(z+a)=一f(一z+b)；②函数 =
，(z)是偶函数，求证：函数 =，(z)是周期
函数．
类型9 若对于任意一个实数z都有：
①，(z+a)=f(一z+a)；②函数 ：f(z
+b)=f(一z+b)，求证：函数 =，(z)是
周期函数．
类型lO 若对于任意一个实数z都有：
(z+a)=一f(一z+a)；②函数 =
，(z+b)=一f(一z+b)求证：函数 =
f(z)是周期函数．
类型l1 若对于任意一个实数z都有：
q)f(x+a)=f(一z+a)；②函数 =f(z
+b)=一f(一z+b)求证：函数 =，(z)是
周期函数．
下面是以上11个类型的证明过程．
证明 类型1：函数，(曩 于任意的实
数z都有f(z+a)=f(z+b)，将上式中的
z以z—b代换，可得 ，[z+(a—b)]：
，(z)，这表明，(z)是R上的周的期函数，且
a—b是它的一个周期．
类型 2：依
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
意可知，
．
厂(z+2a)：
一 f(z+a)=f(z)，这表明f(z)是R上的
周期函数，且2口是它的一个周期．
类型3：依题意得可知，，(z+2a)=
1．
7i l一 ，(z)，这表明，(z)是R上的周
期函数，且2口是它的一个周期．
类型 4：依题意可知，，(z+2a)=’
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数学通 讯 2004年第l8期
一 工_ 厂( )，这表明厂( )是R上的
周期函数，且2口是它的一个周期．
类型5：对于任意的实数 都有，( +
a)=，(一 +b)，将上式中的 以 +b代
换，可得 厂[ +(a+b)]=厂(一 )=
一 厂( )，由本文类型2，可得到，[ +2(a+
b)]=，( )，这表明厂( )是R上的周期函
数，且2(a+b)是它的一个周期．
类型6：对于任意的实数 都有，( +
a)=，(一 +b)，将上式中的 以 +b代
换，可得厂[ +(a+b)]=厂(一 )=f(x)，
这表明，( )是R上的周期函数，且a+b是
它的一个周期．
类型7：对于任意的实数 都有．厂( +
a)=一f(一 +b)，将上式中的 以 +b
代换，可得，[ +(a+b)] =一厂(一 )=
厂( )，这表明，( )是R上的周期函数，且a
+b是它的一个周期．
类型8：对于任意的实数 都有 ．厂( +
口)=一，(一 +b)，将上式中的 以 +b
代换可得厂[ +(a+b)]=一厂(_ )=
一 厂( )，由本文类型2，可得到，[ +2(a+
b)]=厂( )，这表明厂( )是R上的周期函
数，且2(a+b)是它的一个周期．
类型9：依题意可知。将①式中的 以
+a代换，可得f(Za+ )=，(一 )，同理可
得，f(26+ )=，(一 )，所以f(za+ )=
f(26+ )，将此式中的 以 一26代换，可
得厂( +2a一2b)=厂( )，这表明，( )是R
上的周期函数，且2(a—b)是它的一个周期．
类型1O：依题意可知，将①式中的 以
+a代换，可得f(2a+ )=一，(一 )，同
理可得，f(Zb+ )=一，(一 )，所以f(za
+ )=f(Zb+ )，将此式中的 以 一2b
代换，可得，( +2a一2b)=厂( )，这表明
，( )是R上的周期函数，且2(a一6)是它的
一 个周期．
类型11：依题可知，将①式中的 以
+a代换，可得f(za+ )=，(一 )，同理可
得，f(26+ )=一，(一 )，所以f(za+ )
=一f(26+ )，将此式中的 以 一2b代
换，可得 厂( +2a一2b)=一厂( )，所以
厂[ 4(a—b)]=一厂[ +2(a—b)]=
，( )，这表明厂( )是 R上的周期函数，且
4(a—b)是它的一个周期．
注 类型1～类型4，函数满足特定的函
数方程时，函数是周期函数；类型5～类型8，
函数同时具有奇偶性和对称性，函数具有周
期性；类型9～类型11，函数，( )具有对称
性(两个对称关系)，函数具有周期性，另外，
对于这一类型还可推广到三个及三个以上对
称关系时，函数仍具有周期性，有兴趣的同学
可举例验证
例 (2001年全国高考22题)设，( )
是定义在R上的偶函数，其图象关于 =1
对称，证明，( )是周期函数
证明 ‘． ，( )关于直线 =1对称，
．
’
． 有，( )=厂(1+1一 )，即
，( )=f(z— ‘)， ∈R．
又因为函数，( )在R上是偶函数，即
厂(一 )=，(工)， ∈R，
．
。
．厂(一 )=厂(一 +2)， ∈R．
将上式中的一 以 代换，得，( )=
厂( +2)， ∈R，因此，，( )是 R上的周期
函数，且2是它的一个周期．
(收稿日期：2004—04—04J
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