实数连续性九个定理等价的证明

实数连续性九个定理等价的证明万方数据实数连续性九个定理等价的证明作者＼陈芝辉 a|l0，了N，使n>N时， lb。一a。I=b。一aIIN时， Ia。一a．1l卢，由于∥，0，从而对于一切自然数n都有： b。一s：b。一鱼!；—生>卢，一掣：』!妄j堡>∥ Z ‘ Z 即对于任意n∈N，都有b》芦+占，这与牌。 b描卢矛盾．所以∥为A的最大数。同理可证，若∥诺A，则∥∈A’，那么∥是A 的最小数。 2．戴狄金基本定理j确界定理定义2⋯：设E是非空数集，若存在实数卢，具有下列性质： 1)vx∈E，有...

万方数据实数连续性九个定理等价的证明作者＼陈芝辉 a|l0，了N，使n>N时， lb。一a。I=b。一aIIN时， Ia。一a．1l卢，由于∥，0，从而对于一切自然数n都有： b。一s：b。一鱼!；—生>卢，一掣：』!妄j堡>∥ Z ‘ Z 即对于任意n∈N，都有b》芦+占，这与牌。 b描卢矛盾．所以∥为A的最大数。同理可证，若∥诺A，则∥∈A’，那么∥是A 的最小数。 2．戴狄金基本定理j确界定理定义2⋯：设E是非空数集，若存在实数卢，具有下列性质： 1)vx∈E，有x≤∥ 2)Vs>0，xo∈E，有∥一占0，Xll∈E，有xo<口+占则称口是数集E的下确界，记为d=infE．不难看出，非空数集E的上确界就是E的最小上界，而数集E的下确界是E的最大下界。确界定理：若非空数集E有上(下)界，则数集E存在唯一的上(下)确界。证明，首先证明有上界的非空数集有唯一上确界。存在性：因为E有上界，设E的所有上界组成的集合为A’，令A=R—A7，则A和A’形成实数域的一个分划，根据戴狄金基本定理，分划AH必有一个实数∥，使得p是下类A的最大数或上类A’的最小数。但是，分划中的下类A没有最大数。事实上， Va∈A，则a不是E的上界。于是存在x∈E，使x> a，从而有矾使x>xt>a，即xt不是E的上界，所以 xt∈A，也就是A中没有最大数，于是∥是A’的最小数。由于p是A’的最小数，∥∈A’，A’是E的上界组成的集合，所以Vx∈E，都有x≤∥。另一方面，对于Vg>0，必存在xo∈E，使∥一s卢，令8=卢，一芦>0，由于∥’是上确界，存在xlEE，使x1>∥’一8=p，这与p是E 的上确界矛盾，故∥’=B，从而证明了上确界的唯一性。同理可证，有下界的数集有唯一的下确界。 3．确界定理界点定理定义4”1：设E是R的子集，x是R的某点， 1)x的某个邻域u(x．万)∈E，称x是E的内点。 2)若存在x的某个邻域u(x．J)￡R—E，称x是 E的外点。 3)若x既不是E的内点，也不是E的外点(即 x的任一个邻域既包含有E的点，也含有非E的点)，则称x是E的界点。 4)若E的每一点都是它的内点，称E为开集。界点定理：若数集E≠o，且E≠R，则E必有界点。证明：因为E≠o，存在a∈E，又E≠R，所以存在b盛E，显然a≠b，不妨设a0，由上确界的定义，存在Ⅻ∈A，使p一￡b时集合E存在界点。 4．界点定理j单调有界数列存在极限定理定理：单调有界数列存在极限(或收敛) 证明：设{y。}是单调有界数列，不妨设{y。}为单调递增有上界的数列，设N为某一自然数，令E= ixIx>y，n>N}，贝《E≠o，且E≠R，由界点定理可知，E存在界点，设为仪， (1)证明yn≤o【．(反证法)，若有某个自然数 N，使y一>0【，令￡=yw—d，则8>O，因为则u 一127-一万方数据实数建续性九个定理等价的证明豫老、豫莲辉 (伐，8)不包含嚣的点，这与理是E的男点矛盾，扶蔼ylT≤伐，予是也有讧lx≥g；鬟嚣 (2)诞明仪是唯一的。设甜’也是E的界点，瑾≯掰5，不妨设找>窭。，令￡=巍一癌’始，瓣 u池嚣}《{xlx≥g’}cE，这与o‘是E的界点矛盾，获嚣证冁了E的界点是唯一的。 (3)诞明牌，v#瞧，对于vs>O，根据界点的定义，领域u(谨，￡)含有不是嚣的点，予是一定祷菜自然数N，使p∈u《&，8)，否劐a不是 E的界点。而{y。}是单调递增数列及(1)可知当 n>N时，程一8≤辩《p《娌<貔÷8，黪 y。一甜}<占，故!四，yn=0c。溺理胃涯，肇澜递减有下界熬数辩存在极限。 S．单调有界数魏存在檄狠≥嗣区罄定瑷阕区阀套定瑾f”：设有溺嚣闻裂§。，b。】}，著 1)墨t，b；》陋，b2】：⋯≥b，b毒⋯ 2)!四。m。，一a．-)=o 羔剃存在唯一数，属予所有的联闯套(郎．陵洳，bn】=￡)且凹。a茹=!i婴；bl罱f 诞臻：囊条件1)哥知，鬻菹阉猁{赫，蠲；瓣端点跏和b．1组成的两数列{a。}和{b。}分别是单调递增有上器&褥单调下降有下器粕的数穰，帮翱《戳《⋯《曩箍≤⋯《瓤≤⋯《b2≤魏l。根据单澜有巽数弼存谯极限，数列§。}翻§。} 都收敛，设妙。黼㈨由条件2)设熙bn=溉((b，&。)十瓠)=憋(b，曲+陵 ah=O+，=7 ．·．粤；孙=熟基。=；对于任意取定的k∈N，ak《i晚缸=f=熙k ≤& 。·．8l《，≤bt，即z麟于所有的闭区阚。 6．闭区套定矬漕有限糕盖定理定义熟设鬏是实数集R麴子集，x是嚣鳇岚，若x鹣任一个领域都包含蠢E的蠢限多个点，辩称 x为E的聚点。E的聚点的全体组成的集合叫E的导集，记冀F。若￡’耋嚣，爨嚣势阕集。可以证明，x是数集E的聚点的充要条件是x酶任何一个去心领域痨{a，s}都包含有嚣的点。定义拶’暹愚R的子集，s是秀一个舞集酶集合， vx《E，jA∈S，有x∈△，则称开集集合 S覆盖集合E。如果s是有有限个开集组成，则称S 秀E懿一个有限覆盖。有限覆盖定理：如果实数熊R的子黛E是一个露界趣集，舞集集合S是E的一个覆盖，剜S中存在有限个舞集氇鼹覆燕阚集E。证明：当s是有限个开集组戏的集合时，则s是 E的一个露限覆盖。下面用反证法证戮黧S为无限个开集缀戏的集合时结论也成立。困势嚣有界，设锺=in蓬，辍s印嚣，刚嚣量【a，b】，若E不麓被S中有限个开集所覆盏，把【a，b】二等分，得两闭区间【a，掣】和f掣，b】，则其中必有一个区间中E的点不能被S巾有限个开集覆盖，设这个朗聪间为}al， bt】。焉阌群翡方法将阙嚣添≥t，bl】二等分，二者之中必有一个使其中E的点不能被s中有限个开集覆盖。⋯⋯，如戴下去便得到一绷褥嚣蠲套，具有性蔹： 1)融，掰3融；，bl】≥殛囊《3⋯3匦，鹣0。⋯ 2)每一个闭区间【a一．，bn]中E的点都不能被S中有黻个开集覆盖。 3)牌。(bn—anl=凹。!兰=O 2” 根据翅送麓套定理，存在壤一熹￡溪子薪赛酌闭区闻。对C的任一个领域u(心∞，强要n充分太，受l骞陆，硐≤u《e，#》，辩每一个耀酝阉帮包含有E的炙限多个点，掰以ufc、拉)，包含的无限多个嚣的点，e是E靛聚点，丽E是隧集，献霹露又有e￡ E，开集集合S覆盖了E，c必属于S中某一个开集 △轧又△x是开纂，熙嚣宓套c黪某一个镁域u{c．艿》 ≤△x，褪当n充分大时，蕊，bn】gulc'嚣}≤△x ，这说明E包含在‰，b。】内的部份能被S中某个开集△x所覆蓑。予是与2>矛嚣。敬s孛必宥套隈个开集将嚣覆盖。 7。有限覆盖定理∞聚点原理定糕(聚点原理)”’：实数集昀任一蠢鞭有器子集至少有一个聚点。证骥：(反涯法)，设E是一个有界鳇无限集，若E元聚点，邸它的导集琶’=莎，扶两嚣’cE，故 E是有界闭集，一方面E无聚点，故E的每一点x 崧有x鹣莱一个邻域ufx，s。)只含E翡糍羧多个赢，于是开集合s={ufx氏)lx∈El覆盖E，根据有限盖定理，S审肖有限个辩集覆盖E，设力u《x一；；)⋯ ufx。，s。。)，薅每一个开集(邻域)强禽E的有限个点，掰以n个齐集瞧只含懿的有限个点，这与E 是无限数集矛蒋，从1iii诞明了E至少有一个聚点。一王2辩一万方数据实数连续性九个定理等价的证明作者＼陈莲糅摊>嚣时l‰一魄l<嚣，特别她，取8。=l>嵇，蠢蓬警飘。使珏>毽。时，K一8吣l<￡。=l，故n>獠时，kl《》‰+；|+l，令I蛭=搬觥{k∞㈤+；|+硪≠=l，2⋯ N0)。囊辩予一韬自然数狂，虬|≤髓，霹数烈备。} 肖界。根据致密性定邋，数列{a。)存在～个收敛的子数列，设蠢耘睦}，辫。勰l(=a。其次，证翻磐。孙=a 因巍池。龇o}，对手vs>O，iN琶M，使 k>K时，la旗一al<导另一方面，出截设条终，≥强，黼，鞋>籍；辩， ‰叫<号取貘=ma《N，nt}，当建，搬>N时，同时有：虬一鑫斌|<号，，h—a{《号，于是，b。一a|《|a。一a呔l+净娃一al<8 繇：静。&=程(或§。}牧敛)。至此，实数连续性九个定理的等徐褴得诞。逮九个定理的数学形式虽然不同，但都描述了实数集的连续槛。这样，我嬲在鳃决鸯关实数连续性鹣阕题时，表述的方式就燕多样化了。 8。聚煮漂瑗警致密牲定理。致密性定理”l：肖界数剡必有收敛的子数捌。证明：设数列螽。}是一个有界数列。若§。；楚出有限个数重复磁构成的数列，则这有限个数巾至少毒一个数重羹高斑无限多次，设这个数为轰，它重复出现的位置是第n·项，第n：项⋯，则数列：鑫聃h躺2⋯孰A⋯ 楚{a。}的予数戮，显然a戚=A。如果{a．．}中没有出现无限次的数，则数列{au} 酶所有麴黟{组成瀚数集E是一个裔赛无限点集，掇据聚点源理，集合E至少裔一个聚点，设其中一个聚赢为e，下燕我镌证明数列§。}存在子数弼§嘛} 收敛于e。根据聚点的定义，e的任～个领域都包含有嚣麴异予e的无限多点。特裂缝：取8=l，警“∈u(C，1) 取8=去，a¨2嵌u(c，劫，且nI始2。取￡=嘉，j。k，且黼}N对，裔la。一c| <睾于是黻，n>嚣时，鸯咖*t|≤睁em。一e|<三÷譬，即la。一a。l<8 充分毪《嚣)：苔先诞明数列§。}宥舞：根据假设条件，对于8>O，jN篡M，使m，参考文黻： ⋯剐玉琏，傅沛仁．数学分析讲义[M】．北京：高等教宵出版社出版， 2∞3．馨】T，艇+羧赫气孽拳茨薯，砖绔漾，等。微衩分擎教程鼯】．就衰：人茂教育出版社l}：版。1978．翻汪泽暨，楚智泉．嶷变巍敦谂fM】+竞鬻：人民教育盘凝牡斑版，。 {979， ‘ f责往编辑：梦曩竞赛{l壬校对：赵美斌》～12争一万方数据实数连续性九个定理等价的证明作者：陈芝辉， Chen Zhihui 作者单位：南宁师范高等专科学校,数学与计算机科学系,广西,崇左,532200 刊名：南宁师范高等专科学校学报英文刊名： JOURNAL OF NANNING TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)： 2007,24(2) 参考文献(3条) 1.江泽坚;吴智泉实变出数论 1979 2.T M 兹赫气哥尔茨;叶彦谦微积分学教程 1978 3.刘玉琏;傅沛仁数学分析讲义 2003 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_nnsfgdzkxxxb200702036.aspx

                    本文档为【实数连续性九个定理等价的证明】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：免费已有0 人下载

立即下载

实数连续性九个定理等价的证明

你可能还喜欢