第10章z变换

null第十章 z变换第十章 z变换 本章介绍z变换。z变换是分析离散时间系统的有力工具，是数字控制系统、数字滤波器、数字信号处理硬件的基础。 我们还会看到，离散时间系统z变换在某种程度上，与连续时间系统的拉普拉斯变换是对偶关系。 z变换是离散时间傅里叶变换的一种推广。10.1 z变换的导出10.1 z变换的导出 前面我们讨论过离散时间复指数信号激励LTI系统的情况，LTI系统对离散时间复指数信号的响应仍然是复指数信号， null我们可以看到，如果进行这样的变换，有可能简化离散时间系统的分析。 null对于一个离散时间序列，我们定义它的z变换(z-Transform)在z变换里面，为了分析方便，我们取复数的极坐标形式，即 null可见，离散时间傅里叶变换可以通过z平面上半径为1的单位园上的z变换的确定。 null无穷级数必然存在收敛问题。 作为无穷级数的z变换存在收敛问题和收敛域，其收敛与否只与在z的模有关。说明变换的收敛域在复平面上是环形的。null例题10.1 求信号的z变换。 解： 傅里叶变换只有在时才收敛。 nullRe ImaZ平面nullnull例题10.2 求信号的z变换。 解： nullRe ImaZ平面null通过上面两例题，我们可以看出，变换是由解析式和收敛域组成的。虽然两题的信号不同但是其变换的解析式是相同的，只是收敛域不同而已。 null例题10.3 求信号的z变换。 解： nullnullRe Im32× × 10.2 z变换的收敛域10.2 z变换的收敛域这个无穷级数也许在某些z点上收敛，在某些z点上不收敛。 z变换在z平面上的那些收敛的点组成的区域，称为该z变换的收敛域(ROC Region of Convergence)。我们一般使用平面的阴影部分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示收敛域。本节我们讨论收敛域及其性质。null性质1：z变换的收敛域ROC是在z平面内以原点为中心的圆环。 null性质2：ROC内不含任何极点。下面我们先引入一些概念：有限时宽 右边信号 左边信号 null性质3：对于有限时宽的序列，其ROC为全平面，可能除开零和无穷大。 在零处不收敛在无穷大处不收敛null例题10.4 分析信号的z变换。解： null性质4：右边序列的z变换的收敛域是某个园的外部。例题10.1就是例子非因果的右边序列的z变换的收敛域不包含无穷大。nullnull性质5：左边序列的z变换的收敛域是某个园的内部。例题10.2就是例子左边序列的z变换的收敛域不包含零。null性质6：如果是双边序列，而且园属于收敛域，则收敛域为包含的圆环。 例题10.6 求信号 的z变换，其中为大于零的实数。 解： nullk=0,……,N-1 × × o o o o o o o o o o o o o o o o a null例题10.7 求信号解：将信号分解为左边信号和右边信号，的z变换。null两个收敛域没有重叠，不收敛；两个收敛域的重叠区域为一个圆环. nullnull性质7 如果的z变换是有理的，那么它的ROC就被极点所界定，或者延伸至无限远。 例题10.8 分析z变换解： 的收敛域的情况。× × 10.3 z反变换10.3 z反变换取一个固定的以为半径做圆周运动。 null这就是z反变换式. 在工程上大量应用的z变换都是有理z变换(Rational z-Transform)，也就是可以用有理函数来表达的z变换。所谓有理函数(rational function)，就是能够表示为两个多项式之比的函数。本书我们将局限于有理z变换，并且利用一些现有的分析结论来计算z反变换。null假设一个有理函数，有如下形式：被称为留数（Residue）。 null对于只存在一阶极点的情况，上面两式简化为： null例题10.9 求下式的z反变换解： nullnull例题10.10 如果例题10.9的收敛域改为 求其z反变换。解： null例题10.11 如果例题10.9的收敛域改为 求其z反变换。解： null是一个幂级数。如果我们能够将解析式幂级数的系数就是进行幂级数展开，例题10.12 求下式的z反变换解： null长除法是一种幂级数展开的方法，下面我们用长除法来求z反变换。 例题10.13 求z变换的反变换。 右边序列 null1 ……10.4 z变换的Matlab分析10.4 z变换的Matlab分析对于一些复杂的z变换，手工计算将无能为力。工程计算类软件Matlab对于有理z变换，提供了相应的函数。下面我们用Matlab的方法进行有理z反变换。 在Matlab里面一个多项式（降幂排列）用一个向量表示，例如：b=[1.0000 -0.5833 0.0833] null 函数roots用于求多项式的根； 相对地，函数poly通过多项式的根求多项式本身。 a=roots(b) 和 b=poly(a) null对于例题10.8，Matlab的结果如下：在一阶极点的情况下：函数residuez可以求一个有理z变换的部分分式展开，［R P K］=residuez(b,a) null对于例题10.8我们用Matlab进行计算 比较null对于多阶极点的情况，P(j) = ... = P(j+m-1)，在展开式里面， 有如下形式： 下面我们来考虑：null Matlab可以对有理变换进行平面分析。对于例题10.7我们进行平面分析： b=1; zplane(b,poly([1/3 1/2])); 说明在原点处存在一个二阶零点，1/2和1/3处分别存在一个极点。 当然对于简单的计算，Matlab的优势并不明显，然而在复杂的工程计算中，Matlab的优势将得到很好的体现。10.5 z变换的性质10.5 z变换的性质 本节我们讨论z变换的性质。z变换的性质对于建立z变换概念，以及灵活地运用z变换都是很重要的。 10.5.1线性null收敛域为全平面 10.5.2时域性质10.5.2时域性质null 序列向右边移动，可能会消除无穷大这个极点，但是也可能会加上0这个极点； 序列向左边移动，可能会消除0这个极点，但 是也可能会加上无穷大这个极点； 10.5.3 z域尺度变换10.5.3 z域尺度变换相当于调制 null下面从几何的观点，来考虑一下复变函数的形状。复平面上的曲面是曲面逆时针旋转角度而形成的。 以原点为中心null下面考虑更加一般的情况： 下面考虑更加一般的情况： null是由旋转再加尺度变化，而形成的。 下面是收敛域证明： null1、充分性2、必要性证明，省略。10.5.4时间反转性质 10.5.4时间反转性质 null收敛域证明： 1、充分性2、必要性证明，省略。 null概念上，时间反转右（左）边序列变成左（右）边序列，相应地，信号的变换的收敛域ROC从外（内）园变成内（外）园。 10.5.5时间扩展性质 10.5.5时间扩展性质 null10.5.6共轭性质 10.5.6共轭性质 实序列 实序列的z变换的零极点是共轭出现的。 10.5.7卷积性质10.5.7卷积性质nullnull相乘可能对消一部分极点。例如： 收敛域的证明如下： nullnull null例题 10.14 利用卷积性质求的 z变换。解： 单位圆外部 10.5.8 z域微分性质 10.5.8 z域微分性质 两边对z求导 null例题10.16 求的反变换 解： 将拉氏变换式往这我们熟悉的形式靠。nullnull例题10.17 求的反变换 解： 10.5.9初值定理10.5.9初值定理因果序列 由定义式直接获得 分子的阶次小于分母的阶次。 10.6　离散时间LTI系统的系统函数10.6　离散时间LTI系统的系统函数 我们知道，依据z变换的卷积性质，LTI系统的输出信号的z变换等于输入信号的z变换乘以单位冲激响应的z变换，称为该LTI系统的系统函数或者转移函数。null系统的频率响应: 下面我们讨论LTI系统的性质与它的系统函数的关系。10.6.1 因果性如果LTI系统是因果的，这就意味着其单位冲激响应必须是右边序列，也就意味着系统函数的收敛域ROC必须为园的外部。也就是说，系统函数的收敛域ROC为园的外部，只是系统因果的必要条件，还不是充分条件。 nullLTI系统是因果的当且仅当其系统函数的收敛域ROC为某个园的外部，而且包括无穷大点。 对于系统函数是有理变换的情况，即，如果分子多项式的阶次高于分母多项式的阶次，那么，因此，分子多项式的阶次不能高于分母多项式的阶次也是 LTI系统因果的必要条件。null例题10.18　分析系统的因果性。解： 由于分子多项式的阶次高于分母多项式的阶次，则有 因此该LTI系统不是因果的。 10.6.2 稳定性10.6.2 稳定性LTI系统稳定 的傅里叶变换收敛 的ROC包含单位园 系统函数的收敛域ROC包含ｚ平面上的单位园是LTI系统稳定的充要条件。 10.6.3 因果而且稳定10.6.3 因果而且稳定 很多实际系统是因果而且稳定的。这一类的LTI系统的所有极点都必须在单位园内，才能保证收敛域包含单位圆。因此我们说，LTI系统因果而且稳定的必要条件是，其系统函数的极点都在单位圆内部。××××10.6.4由线性常系数差分方程表征的系统10.6.4由线性常系数差分方程表征的系统 离散时间LTI系统都可以用线性常系数差分方程来描述。我们通过例题，学习由线性常系数差分方程得到系统函数的方法。例题10.19　已知LTI系统的差分方程为： 求系统的系统函数。null解：对差分方程的两边求z变换，则有 可见对应了一个离散时间系统的延时环节。 再辅助以诸如因果性、稳定性之类的系统属性，就能确定 收敛域ROC。 null一般地，离散时间LTI系统的线性常系数差分方程有如下形式：对上述差分方程两边求z变换，可得：null整理可得离散时间LTI系统的系统函数：