概率论与数理统计试题

1 概率论-考研题 第一章 随机事件与概率 一．选择题： 1． （95）假设事件 A 和 B 满足 P(B⎪A) = 1，则（ ） （A）A 是必然事件． （B） 0)|(P =AB ． （C）A ⊃ B． （D）A ⊂ B． 2． （96）设 A, B 为任意两个事件且 A ⊂ B，P (B ) > 0，则下列选项必然成立的是（ ） （A）P (A) < P (A | B )． （B）P (A) ≤ P (A | B )． （C）P (A) > P (A | B )． （D）P (A) ≥ P (A | B )． 3． （98）设 A, B, C 是三个相互独立的随机事件，且 0 < P (C ) < 1，则在下列给定的四对事件中不相互独 立的是（ ） （A） BA + 与 C． （B） AC 与C ． （C） BA − 与C ． （D） AB与C ． 4． （00）设 A, B, C 三个事件两两独立，则 A, B, C 相互独立的充分必要条件是（ ） （A）A 与 BC 独立． （B）AB 与 A∪C 独立． （C）AB 与 AC 独立． （D）A∪B 与 A∪C 独立． 5． （00）在电炉上安装了 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器 显示的温度不低于临界温度 t0，电炉就断电．以 E 表示事件“电炉断电”，而 T (1) ≤ T (2) ≤ T (3) ≤ T (4) 为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 E 等于（ ） （A）{T (1) ≥ t0}． （B）{T (2) ≥ t0}． （C）{T (3) ≥ t0}． （D）{T (4) ≥ t0}． 6． （00MBA）袋中有 6 只红球、4 只黑球，今从袋中随机取出 4 只球．设取到一只红球得 2 分，取到一 只黑球得 1 分，则得分不大于 6 分的概率是（ ） （A） 42 23 ． （B） 7 4 ． （C） 42 25 ． （D） 21 13 ． 7． （00MBA）某人忘记三位号码锁（每位均有 0～9 十个数码）的最后一个数码，因此在正确拨出前两 个数码后，只能随机地试拨最后一个数码．每拨一次算作一次试开，则他在第 4 次试开时才将锁打开 的概率是（ ） （A） 4 1 ． （B） 6 1 ． （C） 5 2 ． （D） 10 1 ． 8． （01）对于任意二事件 A 和 B，与 A∪B = B 不等价．．．的是（ ） （A）A ⊂ B． （B） AB ⊂ ． （C） =BA ∅． （D） =BA ∅． 9． （03）对于任意二事件 A 和 B，（ ） （A）若 AB ≠ ∅，则 A, B 一定独立． （B）若 AB ≠ ∅，则 A, B 有可能独立． （C）若 AB = ∅，则 A, B 一定独立． （D）若 AB = ∅，则 A, B 一定不独立． 10．（03）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1 = {掷第一次出现正面}，A2 = {掷第二次出现正面}， A3 = {正、反面各出现一次}，A4 = {正面出现两次}，则事件（ ） （A）A1, A2, A3 相互独立． （B）A2, A3, A4 相互独立． （C）A1, A2, A3 两两独立． （D）A2, A3, A4 两两独立． 11．（06）设 A, B 为两个随机事件，且 P (B ) > 0，P (A | B ) = 1，则必有（ ） （A）P (A∪B ) > P (A)． （B）P (A∪B ) > P (B)． （C）P (A∪B ) = P (A)． （D）P (A∪B ) = P (B)． 12．（07）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 p（0 < p < 1），则此人第 4 次射击 恰好第 2 次命中目标的概率为（ ） （A）3p (1 − p)2． （B）6p (1 − p)2． （C）3p 2 (1 − p)2． （D）6p 2 (1 − p)2． 13．（09）设事件 A与事件 B 互不相容，则（ ） （A） 0)( =ABP ． （B） )()()( BPAPABP = ． 2 （C） )(1)( BPAP −= ． （D） 1)( =BAP ∪ ． 二．填空题： 1． （95）设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则 另一件也是不合格品的概率为 ． 2． （97）设 A, B 是任意两个随机事件，则 =++++ )})()()({(P BABABABA ． 3． （00MBA）假设实验室器皿中产生 A 类细菌与 B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立 的，若某次发现产生了 n 个细菌，则其中至少有一个 A 类细菌的概率是 ． 4． （05）从数 1, 2, 3, 4 中任取一个数，记为 X，再从 1, …, X 中任取一个数，记为 Y，则 P{Y = 2} = ． 三．解答题： 1． （98）设有来自三个地区的各 10 名、15 名和 25 名考生的报名表，其中女生的报名表分别为 3 份、7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份． （1）求先抽到的一份是女生表的概率 p； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率 q． 2． （00MBA）甲袋中有 9 只白球和 1 只黑球，乙袋中有 10 只白球．每次从甲、乙两袋中随机各取一球 交换放入另一袋中，这样做了三次，求黑球出现在甲袋中的概率． 3． （02）设 A, B 为任意二事件，其中 A 的概率不等于 0 或 1，证明： )|(P)|(P ABAB = 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件． 第二章 随机变量及其分布 一．选择题： 1． （95）设 X 的密度函数为ϕ (x)，且ϕ (−x) = ϕ (x)，F (x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a，有（ ） （A） ∫−=− a dxxaF 0 )(1)( ϕ ．（B） ∫−=− a dxxaF 0 )(2 1)( ϕ ．（C）F (−a) = F (a)．（D）F (−a) = 2F (a) − 1． 2． （95）设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布，X ~ N (µ, 42) , Y ~ N (µ, 52)， 记 p1 = P{X ≤ µ − 4} , p2 = P{Y ≥ µ + 5}，则（ ） （A）对任何实数µ ，都有 p1 = p2． （B）对任何实数µ ，都有 p1 < p2． （C）只对µ 的个别值，才有 p1 = p2． （D）对任何实数µ ，都有 p1 > p2． 3． （98）设 F1 (x)与 F2 (x)分别为随机变量 X1 与 X2 的分布函数，为使 F (x) = a F1 (x) − b F2 (x) 是某一随机 变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ） （A） 5 2, 5 3 −== ba ． （B） 3 2, 3 2 == ba ． （C） 2 3, 2 1 =−= ba ． （D） 2 3, 2 1 −== ba ． 4． （99）假设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 Y = min{X, 2}的分布函数（ ） （A）是连续函数． （B）至少有两个间断点．（C）是阶梯函数． （D）恰好有一个间断点． 5． （02）设 X1 , X2 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 f1 (x) 和 f2 (x)，分布 函数分别为 F1 (x) 和 F2 (x)，则（ ） （A）f1 (x) + f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度．（B）F1 (x) F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数． （C）F1 (x) + F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数．（D）f1 (x) f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度． 6． （04）设随机变量 X 服从正态分布 N (0, 1)，对给定α ∈ (0, 1)，数 uα 满足 P{X > uα} = α ，若 P{| X | < x} = α ，则 x 等于（ ） （A） 2 αu ． （B） 2 1 α−u ． （C） 2 1 α−u ． （D）u1 − α ． 7． （06）随机变量 X 服从正态分布 N (µ 1, σ 12)，随机变量 Y 服从正态分布 N (µ 2, σ 22)，且 P{| X − µ 1 | < 1} > P{| X − µ 2 | < 1}，则必有（ ） （A）σ 1 < σ 2 ． （B）σ 1 > σ 2 ． （C）µ 1 < µ 2 ． （D）µ 1 > µ 2 ． 3 8． （10）设随机变量 X 的分布函数 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥− <≤ < = − .1,e1 ,10, 2 1 ,0,0 )( x x x xF x 则 == }1{XP （ ） （A）0． （B） 2 1 ． （C） 1e 2 1 −− ． （D） 1e1 −− ． 9． （10）设 )(1 xf 为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布的概率密度， )(2 xf 为 ]3,1[− 上的均匀分布的概率密度，若 ⎩⎨ ⎧ > ≤= ,0),( ,0),( )( 2 1 xxbf xxaf xf )0,0( >> ba 为概率密度，则 ba, 应满足（ ） （A） 432 =+ ba ． （B） 423 =+ ba ． （C） 1=+ ba ． （D） 2=+ ba ． 二．填空题： 1． （96）一实习生用同一台机器接连独立地制造 3 个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率 1 1 += ipi (i = 1, 2, 3)，以 X 表示 3 个零件中合格品的个数，则 P{X = 2} = ． 2． （97）设随机变量 X 服从参数为(2, p)的二项分布，随机变量 Y 服从参数为(3, p)的二项分布，若 9 5}1{P =≥X ，则 P{Y ≥ 1} = ． 3． （00）设随机变量 X 的概率密度为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ ∈ = ,,0 ],6,3[, 9 2 ],1,0[, 3 1 )( 其它 若 若 x x xf 若 k 使得 3 2}{P =≥ kX ，则 k 的取值范围 是 ． 三．解答题： 1． （95）假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N (t)服从参数为λ t 的泊松分布，求： （1）求相继两次故障之间时间间隔 T 的概率分布； （2）求在设备已经无故障工作 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q． 2． （97）假设随机变量 X 的绝对值不大于 1； 8 1}1{P =−=X , 4 1}1{P ==X ；在事件{−1 < X < 1}出现的 条件下，X 在(−1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求： （1）X 的分布函数 F (x) = P{X ≤ x}； （2）X 取负值的概率 p． 3． （02）假设一设备开机后无故障工作时间 X 服从指数分布，平均无故障时间（EX）为 5 小时，设备定 时开机，出故障时自动关机，而无故障情况下工作两小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作时 间 Y 的分布函数 F ( y)． 4． （03）随机变量X概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ∈= ,,0 ],8,1[, 3 1 )( 3 2 其它 若x xxf F (x)是X的分布函数．求随机变量 Y = F (X ) 的分布函数． 第三章 多维随机变量及其分布 一．选择题： 4 1． （97）设两个随机变量 X 和 Y 相互独立且同分布： 2 1}1{P}1{P =−==−= YX ， 2 1}1{P}1{P ==== YX ， 则下列各式中成立的是（ ） （A） 2 1}{P ==YX ． （B）P{X = Y } = 1． （C） 4 1}0{P ==+YX ． （D） 4 1}1{P ==XY ． 2． （99）设随机变量 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 4 1 2 1 4 1 101 ~iX (i = 1, 2)，且满足 P{X1 X2 = 0} = 1，则 P{X1 = X2}等于（ ） （A）0． （B） 4 1 ． （C） 2 1 ． （D）1． 3． （07）设随机变量 (X, Y ) 服从二维正态分布，且 X 与 Y 不相关，fX (x), fY (y) 分别表示 X, Y 的概率密度， 则在 Y = y 的条件下，X 的条件概率密度 fX |Y (x | y) 为（ ） （A）fX (x)． （B）fY (y)． （C）fX (x) fY (y)． （D） )( )( yf xf Y X ． 4． （08）随机变量 X, Y 独立同分布且 X 的分布函数为 F (x)，则 Z = max{X, Y}的分布函数为（ ） （A）F 2 (x)． （B）F (x) F ( y)． （C）1 − [1 − F (x)]2． （D）[1 − F (x)] [1 − F ( y)]． 5． （ 09）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 )1,0(N ， Y 的概率分布为 2 1}1{}0{ ==== YPYP ，记 )(zFZ 为随机变量 XYZ = 的分布函数，则 )(zFZ 的间断点个数为 （ ） （A）0． （B）1． （C）2． （D）3． 二．填空题： 1． （05）设二维随机变量 (X, Y ) 的概率分布为 1.01 4.00 10 b a X Y 若随机事件{X = 0}与{X + Y = 1}相互独立，则 a = ，b = ． 2． （06）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间[0, 3]上的均匀分布，则 P{max{X, Y} ≤ 1} = ． 3． （07）在区间 (0, 1) 中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于 2 1 的概率为 ． 三．解答题： 1． （96）假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ > 0 的指数分布．当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求电路正常 工作的时间 T 的概率分布． 2． （99）设二维随机变量(X, Y )在矩形 G = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布，试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f (s)． 3． （99）已知随机变量 X1和 X2 的概率分布 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛− 4 1 2 1 4 1 101 ~1X ， ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 2 1 2 1 10 ~2X ．而且 P{X1 X2 = 0} = 1， （1）求 X1和 X2 的联合分布； （2）问 X1和 X2 是否独立？为什么？ 4． （01）设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形 G = {(x, y) | 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 3}上的均匀分布， 试求随 机变量 U = | X − Y | 的概率密度 p(u)． 5． （03）设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 5 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ 7.03.0 21 ~X ， 而 Y 的概率密度为 f (y)，求随机变量 U = X + Y 的概率密度 g (u)． 6． （04）设随机变量 X 在区间 (0, 1) 上服从均匀分布，在 X = x（0 < x < 1）的条件下，随机变量 Y 在区 间 (0, x) 上服从均匀分布，求： （1）随机变量 X 和 Y 的联合概率密度； （2）Y 的概率密度； （3）概率 P{X + Y > 1}． 7． （05）设二维随机变量(X, Y )的概率密度为 ⎩⎨ ⎧ <<<<= 其它．,0 ,20,10,1 ),( xyx yxf 求： （1）(X, Y )的边缘概率密度 fX (x), fY (y)； （2）Z = 2X − Y 的概率密度 fZ (z)； （3） } 2 1| 2 1{P ≤≤ XY ． 8． （07）设二维随机变量 (X, Y ) 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧ <<<<−−= 其它．,0 ,10,10,2 ),( yxyx yxf （1）求 P{X > 2Y }； （2）求 Z = X + Y 的概率密度 fZ (z)． 9． （08）设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 )1,0,1(, 3 1}{P −=== iiX ，Y 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧ ≤≤= .,0 ,10,1 )( 其他 y yfY 记 Z = X + Y， （1）求 ⎭⎬ ⎫ ⎩⎨ ⎧ =≤ 0 2 1P XZ ； （2）求 Z 的概率密度． 10．（09）设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧ <<= − .,0 ,0,e),( 其他 xyyxf x （1）求条件概率密度 )|(| xyf XY ； （2）求条件概率 }1|1{ ≤≤ YXP ． 11．（09）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 ZYX ,, 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数． （1）求 }0|1{ == ZXP ； （2）求二维随机变量 ),( YX 的概率分布． 12．设二维随机变量 ),( YX 的概率密度为 +∞<<∞−+∞<<∞−= −+− yxAyxf yxyx ,,e),( 22 22 ，求常数 A 及条件概率密度 )|(| xyf XY ． 6 第四章 数字特征 一．选择题： 1． （97）设 X 是一随机变量，EX = µ , DX = σ 2（µ, σ > 0 常数），则对任意常数 c，必有（ ） （A）E (X − c) 2 = EX 2 − c2． （B）E (X − c) 2 = E (X − µ) 2． （C）E (X − c) 2 < E (X − µ) 2． （D）E (X − c) 2 ≥ E (X − µ) 2． 2． （99）设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 0，则 D (X + Y ) = DX + DY 是 X 和 Y （ ） （A）不相关的充分条件，但不是必要条件． （B）独立的充分条件，但不是必要条件． （C）不相关的充分必要条件． （D）独立的充分必要条件． 3． （01）将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则 X 和 Y 的相关系数 等于（ ） （A）−1． （B）0． （C）1/2． （D）1． 4． （02）设随机变量 X1, X2, …, Xn 相互独立，Sn = X1 + X2 + … + Xn，则根据列维-林德伯格（Levy-Lindberg） 中心极限定理．当 n 充分大时，Sn近似服从正态分布，只要 X1, X2, …, Xn（ ） （A）有相同的数学期望．（B）有相同的方差．（C）服从同一指数分布．（D）服从同一离散型分布． 5． （03）设随机变量 X 和 Y 都服从正态分布，且它们不相关，则（ ） （A）X 与 Y 一定独立． （B）(X, Y ) 服从二维正态分布． （C）X 与 Y 未必独立． （D）X + Y 服从一维正态分布． 6． （04）设随机变量 X1 , X2 , …, X n（n > 1）独立同分布，且其方差为σ 2 > 0．令随机变量 ∑ = = n i iXn Y 1 1 ， 则（ ） （A） 21 2)(D σ n nYX +=+ ．（B） 21 1)(D σn nYX +=− ．（C） n YX 2 1 ),(Cov σ= ．（D）Cov (X1, Y ) = σ 2． 7． （05）设 X1, X2, …, Xn , …为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为λ (λ > 1)的指数分布，记Φ(x) 为标准正态分布函数，则（ ） （A） )(}{Plim 1 xx n nX n i i n Φ=≤ −∑ = ∞→ λ λ ． （B） )(}{Plim 1 xx n nX n i i n Φ=≤ −∑ = ∞→ λ λ ． （C） )(}{Plim 1 xx n nX n i i n Φ=≤ −∑ = ∞→ λ ． （D） )(}{Plim 1 xx n X n i i n Φ=≤ −∑ = ∞→ λ λ ． 8． （08）随机变量 X ~ N (0, 1)，Y ~ N (1, 4)，且相关系数ρ XY = 1，则（ ）． （A）P{Y = − 2 X − 1} = 1．（B）P{Y = 2 X − 1} = 1．（C）P{Y = − 2 X + 1} = 1．（D）P{Y = 2 X + 1} = 1． 二．填空题： 1． （98）设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p = 时，成功次数的标 准差的值最大，其最大值为 ． 2． （99）设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松（Poisson）分布，且已知 E [(X −1) (X −2)] = 1，则λ = ． 3． （99）在天平上重复称一重为 a 的物品，假设各次称量结果同服从正态分布 N (a, 0.22) 且相互独立， 若以 nX 表示 n 次称量结果的算术平均值，则为使 95.0}1.0|{|P ≥<− aX n ，n 的最小值应不小于自然 数 ． 4． （00）设随机变量 X 在区间[−1, 2]上服从均匀分布；随机变量 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <− = > = ,0,1 ,0,0 ,0,1 X X X Y 若 若 若 则方差 DY = ． 7 5． （01）设随机变量 X 和 Y 数学期望分别为−2 和 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为−0.5，则根据切 比雪夫不等式 P{| X + Y | ≥ 6} ≤ ． 6． （01）设随机变量 X 和 Y 数学期望分别都是 2，方差分别为 1 和 4，而相关系数为 0.5，则根据切比雪 夫不等式 P{| X − Y | ≥ 6} ≤ ． 7． （02）设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 20.032.008.01 15.018.007.00 101− X Y 则 X 和 Y 的相关系数ρ = ． 8． （02）设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为 20.032.008.01 15.018.007.00 101− X Y 则 X 2 和 Y 2的协方差 Cov (X 2, Y 2 ) = ． 9． （03）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.5，EX = EY = 0，EX 2 = EY 2 = 2，则 E (X + Y )2 = ． 10．（03）设随机变量 X 和 Y 的相关系数为 0.9，若 Z = X − 0.4，则 Y 与 Z 的相关系数为 ． 11．（04）设随机变量 X 服从参数为 λ 的指数分布，则 =≥ }D{P XX ． 12．（08）设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P{X = E (X 2)} = ． 三．解答题： 1． （95）设随机变量 X 和 Y 同分布，X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <<= ,,0 ,20, 8 3 )( 2 其它 xxxf （1）已知事件 A = {X > a}和 B = {Y > a}独立，且 4 3)(P =BA∪ ，求常数 a； （2）求 21X 的数学期望． 2． （95）设随机变量 X 和 Y 独立，都在区间[1, 3]上服从均匀分布；事件 A = {X ≤ a}，B = {Y > a}， （1）已知 9 7)(P =BA∪ ，求常数 a； （2）求 X 1 的数学期望． 3． （96）假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2，机器发生故障时全天停止工作．若一周 5 个工 作日里无故障，可获利润 10 万元；发生一次故障仍可获利润 5 万元；发生二次故障所获利润 0 元； 发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元．求一周内期望利润是多少？ 4． （97）游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层 起行．假设一游客在早八点的第 X 分钟到达底层候梯处，且 X 在[0, 60]上均匀分布，求该游客等候时 间的数学期望． 5． （97）两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台， 当其发生故障时停用而另一台自行开动．试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度 f (t)、数 学期望和方差． 6． （97）假设随机变量 Y 服从参数为λ = 1 的指数分布，随机变量 ⎩⎨ ⎧ > ≤= ,,1 ,,0 kY kY X k 若 若 (k = 1, 2)， 8 （1）求 X1和 X2 的联合概率分布； （2）求 E (X1 + X2 )． 7． （98）一商店经销某种商品，每周进货的数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 是相互独立的随机变量， 且都服从区间[10, 20]上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得利润 1000 元；若需求量超过了进货 量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为 500 元，试计算此商店经销该种商品每周 所得利润的期望值． 8． （98）设某种商品每周的需求量 X 是服从区间[10, 30]上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为 区间[10, 30]中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利 500 元；若供大于求，则削价处理，每处理 1 单位商品亏损 100 元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每 1 单位商品仅获利 300 元，为使 商店所获利润期望值不少于 9280 元，试确定最少进货量． 9． （98）某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80、10 和 10 件，现在从中随机抽取一件， 记 ⎩⎨ ⎧= ,,0 ,,1 其它 等品若抽到 i X i (i = 1, 2, 3)，试求： （1）随机变量 X1 和 X2 的联合分布； （2）随机变量 X1 和 X2 的相关系数ρ． 10．（99）假设二维随机变量(X, Y )在矩形 G = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}上服从均匀分布．记 ⎩⎨ ⎧ > ≤= ,,1 ,,0 YX YX U 若 若 ⎩⎨ ⎧ > ≤= .2,1 ,2,0 YX YX V 若 若 （1）求 U 和 V 的联合分布； （2）求 U 和 V 的相关系数 r． 11．（00）设二维随机变量(X, Y )的密度函数为 )],(),([ 2 1),( 21 yxyxyxf ϕϕ += ，其中ϕ1 (x, y) 和ϕ2 (x, y)都 是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 3 1 和 3 1− ，它们的边缘密度函数 所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1． （1）求随机变量 X 和 Y 的密度函数 f1 (x)和 f2 (y)，及 X 和 Y 的相关系数ρ（可以直接利用二维正态密度 的性质）； （2）问 X 和 Y 是否独立？为什么？ 12．（00）设 A, B 是二随机事件；随机变量 ⎩⎨ ⎧ −= ,,1 ,,1 不出现若 出现若 A A X ⎩⎨ ⎧ −= .,1 ,,1 不出现若 出现若 B B Y 试证明随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立． 13．（01）一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的．假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克．若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，是利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能 保障不超载的概率大于 0.977．（Φ(2) = 0.977，其中Φ(x)是标准正态分布函数） 14．（01）设随机变量 X 和 Y 的联合分布在以点(0, 1) , (1, 0) , (1, 1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布， 试求随机变量 U = X + Y 的方差． 15．（02）假设随机变量 U 在区间[−2, 2]上服从均匀分布，随机变量 ⎩⎨ ⎧ −> −≤−= ,1,1 ,1,1 U U X 若 若 ⎩⎨ ⎧ > ≤−= .1,1 ,1,1 U U Y 若 若 试求： （1）X 和 Y 的联合概率分布； （2）D (X + Y )． 9 16．（03）对于任意二事件 A 和 B，0 < P (A) < 1，0 < P (B) < 1， )(P)(P)(P)(P )(P)(P)(P BABA BAAB −=ρ 称作事件 A 和 B 的相关系数 （1）证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； （2）利用随机变量相关系数的基本性质证明 | ρ | ≤ 1． 17．（04）设 A, B 为两个随机事件，且 2 1)|(P, 3 1)|(P, 4 1)(P === BAABA ，令 ⎩⎨ ⎧= ,,0 ,,1 不发生 发生 A A X ⎩⎨ ⎧= .,0 ,,1 不发生 发生 B B Y 求： （1）二维随机变量(X, Y )的概率分布； （2）X 与 Y 的相关系数ρ XY ； （3）Z = X 2 + Y 2 的概率分布． 18．（06）设二维随机变量(X, Y )的概率分布为 c b a X Y 1.001 2.01.00 2.001 101 − − 其中 a, b, c 为常数，且 X 的数学期望 EX = −0.2，P{X ≤ 0, Y ≤ 0} = 0.5，记 Z = X + Y，求： （1）a, b, c 的值； （2）Z 的概率分布； （3）P{X = Z}． 19．（06）设随机变量 X 的概率密度为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <≤ <<− = ,,0 ,20, 4 1 ,01, 2 1 )( 其它 x x xf X 令 Y = X 2，F (x, y)为二维随机变量(X, Y ) 的分布函数，求： （1）Y 的概率密度 fY ( y)； （2）Cov (X, Y )； （3） )4, 2 1(−F ． 20．（07）设随机变量 X 与 Y 独立同分布，且 X 的概率分布为 3 1 3 2P 21X ， 记 U = max{X, Y }，V = min{X, Y }， （1）求 (U, V ) 的概率分布； （2）求 U 与 V 的协方差 Cov (U, V )． 21．（08）设某企业生产线上产品合格率为 0.96，不合格产品中只有 4 3 的产品可进行再加工且再加工的合 格率为 0.8，其余均为废品，每件合格品获利 80 元，每件废品亏损 20 元，为保证该企业每天平均利 润不低于 2 万元，问企业每天至少生产多少产品？ 22．（10）箱内有 6 个球，其中红、白、黑球的个数分别为 1、2、3 个，现从箱中随机地取出 2 个球，记 10 X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数． （1）求随机变量 ),( YX 的概率分布； （2）求 ),cov( YX ． 第五章 统计量及其分布 一．选择题： 1． （02）设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布，则（ ） （A）X + Y 服从正态分布． （B）X 2 + Y 2 服从χ 2 分布． （C）X 2 和 Y 2 都服从χ 2分布． （D）X 2/Y 2服从 F 分布． 二．填空题： 1． （97）设随机变量 X 和 Y 相互独立且都服从正态分布 N (0, 32)，而 X1, …, X9 和 Y1, …, Y9分别是来自总 体 X 和 Y 的简单随机样本，则统计量 2 9 2 1 91 YY XXU ++ ++= " " 服从 分布，参数为 ． 2． （98）设 X1, X2, X3, X4 是正态总体 N (0, 22)的简单随机样本，X = a (X1 − 2X2)2 + b (3X3 − 4X4)2，则当 a = ，b = 时，统计量 X 服从χ 2 分布，其自由度为 ． 3． （01）设总体 X 服从正态分布 N (0, 22)，而 X1, X2, …, X15 是来自总体 X 的简单随机样本，则随机变量 )(2 215211 2 10 2 1 XX XX Y ++ ++= " " 服从 分布，参数为 ． 4． （03）设总体 X 服从参数为 2 的指数分布，X1, X2, …, Xn 为来自总体 X 的简单随机样本，则当 n → ∞ 时， ∑ = = n i in Xn Y 1 21 依概率收敛于 ． 5． （04）设总体 X 服从正态分布 N (µ1, σ 2)，设总体 Y 服从正态分布 N (µ2, σ 2)， 1,,, 21 nXXX " 和 2 ,,, 21 nYYY " 分别是来自总体 X 和 Y 的简单随机样本，则 = ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+ −+− ∑∑ == 2 )()( E 21 1 2 1 2 21 nn YYXX n j j n i i ． 6． （06）设总体 X 的概率密度为 )(e 2 1)( || +∞<<−∞= − xxf x ，X1, X2, …, Xn 为总体 X 的简单随机样本， 其样本方差为 ∑ = −−= n i i XXn S 1 22 )( 1 1 ，则 ES 2 = ． 7． （09）设 nXXX ,,, 21 " 是来自二项分布总体 ),( pnB 的简单随机样本， X 和 2S 分别为样本均值和样 本方差，记统计量 2SXT −= ，则 =)(TE ． 8． （10）设 nXXX ,,, 21 " 为来自总体 )0(),( 2 >σσµN 的简单随机样本，统计量 ∑ = = n i iXn T 1 21 ，则 =)(TE ． 三．解答题： 1． （99）设 X1, X2, …, X9 是来自正态总体 X 的简单随机样本， )( 6 1 611 XXY ++= " ， )(3 1 9872 XXXY ++= ， ∑= −= 9 7 2 2 2 )( 2 1 i i YXS ， S YYZ )(2 21 −= ， 证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布． 11 第六章 参数估计 一．选择题： 1． （05）设一批零件的长度服从正态分布 N (µ, σ 2)，其中µ, σ 2 均未知，现从中随机抽取 16 个零件，测 得样本均值 20=x （cm），样本标准差 s = 1（cm），则µ 的置信度为 0.90 的置信区间是（ ） （A） ))16(t 4 120),16(t 4 120( 05.005.0 +− ． （B） ))16(t4 120),16(t 4 120( 1.01.0 +− ． （C） ))15(t 4 120),15(t 4 120( 05.005.0 +− ． （D） ))15(t4 120),15(t 4 120( 1.01.0 +− ． 二．填空题： 1． （95）设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X 的 数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 ． 2． （02）设总体 X 的概率密度为 ⎩⎨ ⎧ < ≥= −− ,,0 ,,e);( )( θ θθ θ x xxf x 若 若 而 X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数θ 的矩估计量为 ． 三．解答题： 1． （00）假设 0.50, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值．已知 Y = ln X 服从正态分布 N (µ, 1)． （1）求 X 的数学期望 EX（记 EX 为 b）； （2）求µ 的置信度为 0.95 的置信区间． 2． （04）设随机变量 X 的分布函数为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≤ >⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= ,,0 ,,1),;( α ααβα β x x xxF 其中参数α > 0, β > 1．设 X1, X2, …, Xn是来自总体 X 的简单随机样本， （1）当α = 1 时，求未知参数β 的矩估计量； （2）当α = 1 时，求未知参数β 的最大似然估计量； （3）当β = 2 时，求未知参数α 的最大似然估计量． 3． （05）设 X1, X2, …, Xn (n > 2)为来自总体 N (0, σ 2)的简单随机样本，其样本均值为 X ， XXY ii −= ， i = 1, 2, …, n． （1）求 Yi 的方差 DYi , i = 1, 2, …, n； （2）求 Y1与 Ym的协方差 Cov (Y1, Ym)； （3）求 P{Y1 + Ym ≤ 0}； （4）若 c (Y1 + Ym)2 是σ 2的无偏估计量，求常数 c． 4． （06）设总体 X 的概率密度为 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ <≤− << = ,,0 ,21,1 ,10, );( 其它 x x xf θ θ θ 其中θ 是未知参数（0 < θ < 1），X1, X2, …, Xn 为来自总体的随机样本，记 N 为样本值 x1, x2, …, xn 中小于 1 的个数，求： （1）θ 的矩估计； （2）θ 的最大似然估计． 12 5． （07）设总体 X 的概率密度为 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <≤− << = 其它，,0 ,1, )1(2 1 ,0, 2 1 );( x x xf θθ θθ θ 其中参数θ（0 < θ < 1）未知，X1, X2, …, Xn 是来自总体 X 的简单随机样本， X 是样本均值． （1）求参数θ 的矩估计量θˆ ； （2）判断 24X 是否为θ 2 的无偏估计量，并说明理由． 6． （08）X1, X2, …, Xn 是总体为 N (µ , σ 2) 的简单随机样本． 记 ∑ = = n i iXn X 1 1 ， ∑ = −−= n i i XXn S 1 22 )( 1 1 ， 22 1 S n XT −= ． （1）证 T 是µ 2 的无偏估计量； （2）当µ = 0, σ = 1 时，求 D (T )．