一元二次方程的根46

一元二次方程的根 一元二次方程的根 一 、内容提要 1.​ 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a,　b,　c的值确定的.　　　　根公式是：x= .　(b2－4ac≥0) 2.​ 根的判别式 1​ 实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是： b2－4ac≥0. 2​ 有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是： b2－4ac是完全平方式 方程有有理数根. 　　③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根 p2－4q是整数的平方数. 3.​ 设x1,　x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么 1​ ax12+bx1+c=0　(a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0　(a≠0， b2－4ac≥0)； 2​ x1= ，　x2= 　(a≠0,　b2－4ac≥0)； 3​ 　韦达定理：x1+x2= , 　 x1x2= (a≠0,　b2－4ac≥0). 4.​ 方程整数根的其他条件 整系数方程ax2+bx+c=0　(a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.　 特殊的例子有：　 C=0 x1=0 ， 　　 a+b+c=0 x1=1 ， 　　　a－b+c=0 x1=－1. 二、例题 例1.​ 已知：a,　b,　c是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.（1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明　（用反证法） 设　两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即 由①得b ≥ ，b+1 ≥ 代入③，得 a－c=b+1≥ ，　4c≤4a－5 ④ ②＋④：a2－4a+5≤0， 即（a－2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0. ∴方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. 本题也可用直接证法：当△1＋△2＞0时，则△1和△2中至少有一个是正数. 例2.​ 已知首项系数不相等的两个方程：　 （a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数) 有一个公共根.　求a,　b的值. （1989年全国 初中 初中体育教案免费下载初中各年级劳动技术教案初中阶段各学科核心素养一览表初中二次函数知识点汇总初中化学新课程标准 数学联赛题） 解：用因式分解法求得： 方程①的两个根是　a和 ；　　方程②两根是b和 . 由已知a>1,　b>1且a≠b. 　　∴公共根是a= 　或b= . 　　两个等式去分母后的结果是一样的. 即ab－a=b+2, ab－a－b+1=3, (a－1)(b－1)=3. 　　　　∵a,b都是正整数，　∴ 　 ；　或 . 解得 ；　　或 . 又解：　设公共根为x0 那么 　　先消去二次项： ①×（b－1）－②×（a－1）　得 ［－（a2+2）(b－1)+(b2+2)(a－1)］x0+(a2+2a)(b－1)－(b2+2b)(a－1)=0. 　　　　整理得　（a－b）(ab－a－b－2)(x0－1)=0. ∵a≠b　 ∴x0＝1；　或　(ab－a－b－2)＝0. 当x0＝1时，由方程①得　a=1,　 ∴a－1=0， ∴方程①不是二次方程.　　 ∴x0不是公共根. 　　当(ab－a－b－2)＝0时，　得(a－1)(b－1)=3　……解法同上. 例3.　已知：m,　n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根　　　　　　　　差相等. 求：m+n　的值.　　　　　　　　　　　　（1986年泉州市初二数学双基赛题） 解：方程①两根差是 ＝ ＝ ＝ 同理方程②两根差是　 ＝ 依题意，得 ＝ . 两边平方得：m2－4n=n2－4m. 　 ∴（m－n）(m+n+4)=0 　　　　∵m≠n，　 ∴　m+n+4＝0，　m+n＝－4. 例4.　若a,　b,　c都是奇数，则二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 　　　证明：设方程有一个有理数根 （m,　n 是互质的整数）. 那么a( )2+b( )+c=0,　即an2+bmn+cm2=0. 把m,　n按奇数、偶数分类讨论， ∵m,　n互质，∴不可能同为偶数. 　　　　①　当m,　n同为奇数时，则an2+bmn+cm2是奇数＋奇数＋奇数＝奇数≠0； 　　②　当m为奇数,　n为偶数时，an2+bmn+cm2是偶数＋偶数＋奇数＝奇数≠0； 3​ 当m为偶数,　n为奇数时，an2+bmn+cm2是奇数＋偶数＋偶数＝奇数≠0. 综上所述　 不论m,　n取什么整数，方程a( )2+b( )+c=0都不成立. 　　　即　假设方程有一个有理数根是不成立的. ∴当a,　b,　c都是奇数时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有有理数根. 例5.　求证：对于任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k　(k≥1).　　　　　　　　（1983年福建省初中数学竞赛题） 证明：设矩形A的长为a,　宽为b，矩形B的长为c,　宽为d. 　　　根据题意，得　 . ∴c+d=(a+b)k, 　　　cd=abk. 　　由韦达定理的逆定理，得 c,　d 是方程z2－(a+b)kz+abk=0　的两个根. △​ ＝［－（a+b）k］2－4abk ＝（a2+2ab+b2）k2－4abk =k［(a2+2ab+b2)k－4ab］ ∵k≥1，a2+b2≥2ab, ∴a2+2ab+b2≥4ab，(a2+2ab+b2)k≥4ab. 　　　　∴△≥0. ∴一定有c,　d值满足题设的条件. 即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k　(k≥1). 例6.　k取什么整数值时，下列方程有两个整数解？ 　　　①（k2－1）x2－6(3k－1)x+72=0 ；　　　②kx2+(k2－2)x－(k+2)=0.　 解：①用因式分解法求得两个根是：x1= ，　x2= . 　　由x1是整数，得k+1=±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. 　 由x2是整数，得k－1=±1, ±2, ±3, ±6. 它们的公共解是：得k=0,　2,　－2,　3,　－5. 　　答：当k=0,　2,　－2,　3,　－5时，方程①有两个整数解. ②根据韦达定理 ∵x1,　x2,　　k　都是整数， ∴k=±1，±2.　（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.） 把k=1,－1,　2,　－2，　分别代入原方程检验，只有当k=2和k=－2 时适合. 　答：当k取2和－2时，方程②有两个整数解. 三、 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 1.​ 写出下列方程的整数解： 1​ 5x2－ x=0的一个整数根是＿＿＿. 2​ 3x2+( －3)x － =0的一个整数根是＿＿＿. 3​ x2+( +1)x+ =0的一个整数根是＿＿＿. 2.​ 方程（1－m）x2－x－1=0　有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是＿＿＿＿. 3.​ 已知方程x2－(2m－1)x－4m+2=0　的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿. 4.​ 若x ≠y ，且满足等式x2+2x－5=0　和y2+2y－5=0. 那么 ＝＿＿＿.（提示：x,　y是方程z2+5z－5=0　的两个根.） 5.​ 如果方程x2+px+q=0　的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p,　q应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 　　　　　（1986年全国初中数学联赛题） 6.​ 若方程ax2+bx+c=0中a>0,　b>0,　c<0.　那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿. 　　　　　　　　（1987年泉州市初二数学双基赛题） 7.​ 如果方程mx2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m－5）x2－2mx+m=0实数根的个数是（　　）. (A)2 （B）1 （　C）0 　（D）不能确定　（1989年全国初中数学联赛题） 8.​ 当a,　b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？ （1987年全国初中数学联赛题） 9.　两个方程x2+kx－1=0和x2－x－k=0有一个相同的实数根，则这个根是（　　） (A)2　（B）－2　　（C）1　　（D）－1　　（1990年泉州市初二数学双基赛题） 10.​ 已知：方程x2+ax+b=0与x2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a,　b应满足的关系是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 11.　已知：方程x2+bx+1=0与x2－x－b=0有一个公共根为m，求：m，b的值. 12.　已知：方程x2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x2－a2x+ab=0的两个实数根.试求a,　b的值或取值范围.　　　　　　（1997年泉州市初二数学双基赛题） 13.　已知：方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根和等于s1，两根的平方和等于s2, 两根的立方和等于s3. 求证：as3+bs2+cs1=0. 14.　求证：方程x2－2(m+1)x+2(m－1)=0 的两个实数根，不能同时为负. （可用反证法） 15.　已知：a,　b是方程x2+mx+p=0的两个实数根；c,　d是方程x2+nx+q=0 　　　　的两个实数根. 　　求证：（a－c）(b－c)(a－d)(b－d)=(p－q)2. 16.　如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.　　 （1990年泉州市初二数学双基赛题） 17.　如果方程（x－1）(x2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m的取值范围是　（　　） （A）　0≤m≤1　（B）m≥ 　（C） 练习题 用券下载整式乘法计算练习题幼小衔接专项练习题下载拼音练习题下载凑十法练习题下载幼升小练习题下载免费 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1.　①0，　②1，　③－1　　　2.　0　　　3.　1（舍去－2）　　4.　 5.　9q=2p2 　6. 一正一负 　7. D 　　 8. a=1,b=－0.5 　　9. C 10. a+b+1=0, a≠b　　　11.　m=－1，b=2 　 12. 13. 左边＝a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)=…… 14. 用反证法，设x1<0,x2<0,由韦达定理推出矛盾（m<－1,　m>1） 15.　由韦达定理,把左边化为　p,　q 16. 　x2±3x+2=0 　 　　17.　C　　　　　18.　C ☆初三奥数系列讲座九☆