部队考军校军队系列复习资料（两角差的余弦公式）

北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 第三章 三角恒等变换  3．1  两角和与差的正弦、余弦和正切公式  3．1．1 两角差的余弦公式 练习（140页）  1．利用公式  ( ) C a b - 证明： （1）cos( ) sin  2 p a a - = ； （2）cos(2 ) cos p a a - = ．  1．证明：（1）因为cos( ) cos cos sin sin  2 2 2 p p p a a a - = + ， 而cos 0,sin 1  2 2 p p = = ， 所以cos( ) sin  2 p a a - = ； （2）因为cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin p a p a p a - = + ， 而cos2 1,sin 2 0 p p = = ， 所以cos(2 ) cos p a a - = ．  2．已知  3 cos  5 a = - ，  ( , )  2 p a p Î ，求cos( )  4 p a - 的值．  2．解：由  2 p a p < < ，得  2  4 sin 1 cos  5 a a = - = ， 而  2 2  cos( ) cos cos sin sin (cos sin )  4 4 4 2 10 p p p a a a a a - = + = + = ， 即cos( )  4 p a - 的值为  2  10  ．  3．已知  15 sin  17 q = ，q 是第二象限角，求cos( ) 3 p q - 的值．  3．解：因为q 是第二象限角，所以  2  8  cos 1 sin  17 q q = - - = - ， 而  1 3  cos( ) cos cos sin sin cos sin  3 3 3 2 2 p p p q q q q q - = + = + ， 即  1 8 3 15 15 3 8  cos( ) ( )  3 2 17 2 17 34 p q - - = ´ - + ´ = ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 所以cos( ) 3 p q - 的值为  15 3 8  34 - ．  4．已知  2 sin  3 a = - ，  3 ( , )  2 p a p Î ，  3 cos  4 b = ，  3( , 2 )  2 p b p Î ，求 cos( ) b a - 的值．  4．解：因为  3 ( , )  2 p a p Î ，所以  2  5  cos 1 sin  3 a a = - - = - ； 因为  3( , 2 )  2 p b p Î ，所以  2  7  sin 1 cos  4 b b = - - = - ， 而cos( ) cos cos sin sin b a b a b a - = + ， 即  3 5 7 2 2 7 3 5  cos( ) ( ) ( ) ( )  4 3 4 3 12 b a - - = ´ - + - ´ - = ， 所以cos( ) b a - 的值为 2 7 3 5  12 - ．  3．1．2  两角和与差的正弦、余弦正切公式 练习（144页）  1．利用和（差）角公式，求下列各式的值： （1）sin15 o ；（2） cos75 o ；（3）sin 75 o ；（4） tan15 o ．  1．解：（1）sin15 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos 45 sin 30 = - = - o o o o o o o ， 即  2 3 2 1 6 2  sin15  2 2 2 2 4 - = ´ - ´ = o ， 所以  6 2  sin15  4 - = o ； （2）cos75 cos(45 30 ) cos 45 cos30 sin 45 sin 30 = + = - o o o o o o o ， 即  2 3 2 1 6 2  cos75  2 2 2 2 4 - = ´ - ´ = o ， 所以  6 2  cos75  4 - = o ； （3）sin 75 sin(45 30 ) sin 45 cos30 cos45 sin 30 = + = + o o o o o o o ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 即  2 3 2 1 6 2  sin 75  2 2 2 2 4 + = ´ + ´ = o ， 所以  6 2  sin 75  4 + = o ； （4）  tan 45 tan30  tan15 tan(45 30 )  1 tan 45 tan30 - = - = + o o o o o o o ， 即  3  1  3 3 3 tan15 2 3  3 3 3  1  3 - - = = = - + + o ， 所以 tan15 2 3 = - o ．  2．已知  3 cos  5 q = - ，  ( , )  2 p q p Î ，求sin( ) 3 p q + 的值．  2．解：因为  ( , )  2 p q p Î ，所以  2  4 sin 1 cos  5 q a = - = ，  1 3  sin( ) sin cos cos sin sin cos  3 3 3 2 2 p p p q q q q q + = + = + ， 即  1 4 3 3 4 3 3  sin( ) ( )  3 2 5 2 5 10 p q - + = ´ + ´ - = ， 所以sin( ) 3 p q + 的值为  4 3 3  10 - ．  3．已知  12 sin  13 q = - ，q 是第三象限角，求cos( )  6 p q + 的值．  3．解：因为q 是第三象限角，所以  2  5 cos 1 sin  13 q q = - - = - ，  3 1  cos( ) cos cos sin sin cos sin  6 6 6 2 2 p p p q q q q q + = - = - ， 即  3 5 1 12 12 5 3  cos( ) ( ) ( )  6 2 13 2 13 26 p q - + = ´ - - ´ - = ， 所以cos( )  6 p q + 的值为  12 5 3  26 - ．  4．已知 tan 3 a = ，求 tan( ) 4 p a + ． 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  4．解：  tan tan  1 tan 1 3 4 tan( ) 2  4 1 tan 1 3 1 tan tan  4 p a p a a p a a + + + + = = = = - - - - ， 所以 tan( ) 2  4 p a + = - ．  5．求下列各式的值： （1）sin 72 cos18 cos72 sin18 + o o o o ； （2）cos72 cos12 sin 72 sin12 + o o o o ； （3）  tan12 tan33  1 tan12 tan33 + - o o o o ； （4）cos74 sin14 sin 74 cos14 - o o o o ； （5）sin 34 sin 26 cos34 cos 26 - o o o o ； （6）sin 20 cos110 cos160 sin 70 + o o o o ．  5．解：（1）sin 72 cos18 cos72 sin18 sin(72 18 ) sin 90 1 + = + = = o o o o o o o ， 即sin 72 cos18 cos72 sin18 1 + = o o o o ； （2）  1 cos72 cos12 sin 72 sin12 cos(72 12 ) cos 60  2 + = - = = o o o o o o o ， 即  1 cos72 cos12 sin 72 sin12  2 + = o o o o ； （3）  tan12 tan33  tan(12 33 ) tan 45 1  1 tan12 tan33 + = + = = - o o o o o o o ， 即  tan12 tan33  1  1 tan12 tan33 + = - o o o o ； （4）cos74 sin14 sin 74 cos14 (sin 74 cos14 cos74 sin14 ) - = - - o o o o o o o o  3  sin(74 14 ) sin 60  2 = - - = - = - o o o ， 即  3  cos74 sin14 sin 74 cos14  2 - = - o o o o ； （5）sin 34 sin 26 cos34 cos 26 (cos34 cos 26 sin 34 sin 26 ) - = - - o o o o o o o o 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  1  cos(34 26 ) cos 60  2 = - + = - = - o o o ， 即  1 sin 34 sin 26 cos34 cos 26  2 - = - o o o o ； （6）sin 20 cos110 cos160 sin 70 sin 20 cos70 cos 20 sin 70 + = - - o o o o o o o o  (sin 20 cos70 cos 20 sin 70 ) sin 90 1 = - + = - = - o o o o o ， 即 sin 20 cos110 cos160 sin 70 1 + = - o o o o ．  6．化简： （1）  1 3  cos sin  2 2  x x - ； （2）  3 sin cos x x + ； （3）  2(sin cos ) x x - ； （4）  2 cos 6 sin x x - ．  6．解：（1）  1 3  cos sin sin cos cos sin sin( )  2 2 6 6 6  x x x x x p p p - = - = - ， 即  1 3  cos sin sin( )  2 2 6  x x x p - = - ； （2）  3 1  3 sin cos 2(sin cos ) 2(sin cos cos sin )  2 2 6 6  x x x x x x p p + = × + × = +  2sin( ) 6  x p = + ， 即  3 sin cos 2sin( ) 6  x x x p + = + ； （3）  2 2  2(sin cos ) 2 2(sin cos )  2 2  x x x x - = ´ × - ×  2(sin cos cos sin )  4 4  x x p p = -  2sin( ) 4  x p = - ， 即  2(sin cos ) 2sin( ) 4  x x x p - = - ； 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 （4）  1 3 2 cos 6 sin 2 2( cos sin )  2 2  x x x x - = × - ×  2 2(cos cos sin sin )  3 3  x x p p = -  2 2 cos( )  3  x p = + ， 即  2 cos 6 sin 2 2 cos( )  3  x x x p - = + ．  7．已知  3 sin( ) cos cos( ) sin  5 a b a a b a - - - = ，b 是第三象限角，求  5 sin( )  4 p b + 的值．  7．解：由  3 sin( ) cos cos( ) sin  5 a b a a b a - - - = ， 得  3 sin( ) sin( ) sin  5 a b a b b - - = - = - = ，即  3 sin  5 b = - ， 而b 是第三象限角，得  2  4 cos 1 sin  5 b b = - - = - ， 则  5 5 5 2  sin( ) sin cos cos sin (sin cos )  4 4 4 2 p p p b b b b b + = + = - + ， 即  5 2 3 4 7 2  sin( ) [( ) ( )]  4 2 5 5 10 p b + = - - + - = ， 所以  5 7 2  sin( )  4 10 p b + = ．  3．1．3  二倍角的正弦、余弦、正切公式 练习（148页）  1．已知  4 cos  8 5 a = - ，8 12 p a p < < ，求sin  4 a ， cos  4 a ， tan  4 a 的值．  1．解：由8 12 p a p < < ，得  3  8 2 a p p < < ， 而  4 cos  8 5 a = - ，则  3 sin  8 5 a = - ， 得  3 4 24 sin 2sin cos 2 ( ) ( )  4 8 8 5 5 25 a a a = = ´ - ´ - = ，  2 2 4 7 cos 2cos 1 2 ( ) 1  4 8 5 25 a a = - = ´ - - = ，  sin  24 4 tan  4 7 cos  4 a a a = = ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 所以sin  4 a ， cos  4 a ， tan  4 a 的值分别为 24 7 24 , ,  25 25 7  ．  2．已知  3 sin( )  5 a p - = ，求 cos 2a 的值．  2．解：由  3 sin( )  5 a p - = ，得  3 sin( 2 ) sin( ) sin  5 a p p a p a - + = + = - = ， 即  3 sin  5 a = - ，而  2 2 3 18 7 cos 2 1 2sin 1 2 ( ) 1  5 25 25 a a = - = - ´ - = - = ， 所以cos 2a 的值为  7  25  ．  3．已知sin 2 sin a a = - ，  ( , )  2 p a p Î ，求 tana 的值．  3．解：因为  ( , )  2 p a p Î ，得0 sin 1 a < < ， 而sin 2 sin a a = - ，即2sin cos sin a a a = - ， 得  1 cos  2 a = - ，而  ( , )  2 p a p Î ，则  3  sin  2 a = ， 而  sin tan 3  cos a a a = = - ， 所以 tana 的值为  3 - ．  4．已知  1 tan 2  3 a = ，求 tana 的值．  4．解：  2  2 tan 1  tan 2  1 tan 3 a a a = = - ，即  2 tan 6 tan 1 0 a a + - = ， 得 tan 3 10 a = - ± ．  5．求下列各式的值： （1）sin15 cos15 o o ； （2）  2 2 cos sin  8 8 p p - ； （3）  2  tan 22.5  1 tan 22.5 - o o ； （4）  2 2cos 22.5 1 - o ．  5．解： （1）  1 1 1 1 1 sin15 cos15 sin(2 15 ) sin 30  2 2 2 2 4 = ´ = = ´ = o o o o ； （2）  2 2  2  cos sin cos(2 ) cos  8 8 8 4 2 p p p p - = ´ = = ； 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 （3）  2 2  tan 22.5 1 2 tan 22.5 1 1  tan 45  1 tan 22.5 2 1 tan 22.5 2 2 = ´ = = - - o o o o o ； （4）  2  2  2cos 22.5 1 cos(2 22.5 ) cos45  2 - = ´ = = o o o ．