2010年全国初中数学联合竞赛试题 2010年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1. 若 均为整数且满足 ，则 （ B ） A．1. B．2. C．3. D．4. 2．若实数 满足等式 ， ，则 可能取的最大值为 （ C ） A．0. B．1. C．2. D．3. 3．若 是两个正数，且 则 （ C ） A． . B． . C． . D． . 4．若方程 的两根也是方程 的根，则 的值为 （ A ） A．－13. B．－9. C．6. D． 0. 5．在△ 中，已知 ，D，E分别是边AB，AC上的点，且 ， ， ,则 ( B ) A．15°. B．20°. C．25°. D．30°. 6．对于自然数 ，将其各位数字之和记为 ，如 ， ，则 （ D ） A．28062. B．28065. C．28067. D．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数 满足方程组 则 13 . 2．二次函数 的图象与 轴正方向交于A，B两点，与 轴正方向交于点C．已知 ， ，则 ． 3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝ ，PC＝5，则PB＝___ ___． 4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球. 第二试 （A） 一．（本题满分20分）设整数 （ ）为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数. 解 由已知等式可得 ① 令 ，则 ，其中 均为自然数. 于是，等式①变为 ，即 ② 由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和 （1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线. 证明 过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N. 因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP. 又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC. 又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC. 由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC. 又因为MD//AC，所以MD和MQ为同一条直线. 又点Q、D均在⊙I上，所以点Q和点D重合，故PD是⊙I的切线. 三．（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q . （1）如果 都是整数，且 ，求 的值. （2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C.如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积. 解 点P 、Q 在二次函数 的图象上，故 ， ， 解得 ， . （1）由 知 解得 . 又 为整数，所以 ， ， . (2) 设 是方程的两个整数根，且 . 由根与系数的关系可得 ， ，消去 ，得 ， 两边同时乘以9，得 ，分解因式，得 . 所以 或 或 或 解得 或 或 或 又 是整数，所以后面三组解舍去，故 . 因此， ， ，二次函数的解析式为 . 易求得点A、B的坐标为（1,0）和（2,0），点C的坐标为（0,2），所以△ABC的面积为 . 第二试 （B） 一．（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）. 解 不妨设 ，由已知等式可得 ① 令 ，则 ，其中 均为自然数. 于是，等式①变为 ，即 ② 由于 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的 只有两组： 和 （1）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形. （2）当 时， ， .又 为三角形的三边长，所以 ，即 ，解得 .又因为三角形的周长不超过30，即 ，解得 .因此 ，所以 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形. 综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同. 第二试 （C） 一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设 是大于2的质数，k为正整数．若函数 的图象与x轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k的值． 解 由题意知，方程 的两根 中至少有一个为整数． 由根与系数的关系可得 ，从而有 ① （1）若 ，则方程为 ，它有两个整数根 和 ． （2）若 ，则 . 因为 为整数，如果 中至少有一个为整数，则 都是整数. 又因为 为质数，由①式知 或 ． 不妨设 ，则可设 （其中m为非零整数），则由①式可得 ， 故 ，即 ． 又 ，所以 ，即 ② 如果m为正整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾. 如果m为负整数，则 ， ，从而 ，与②式矛盾. 因此， 时，方程 不可能有整数根． 综上所述， ．
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