SD与SE的区别

标准差与标准误 郝拉娣1) 　　于化东2) ( 1)大连水产学院学报编辑部 ,116023 ,2)数学研究与评论杂志编辑部 ,116024 :辽宁大连) 摘 　要 　对容易引起混淆的统计量“标准差”和“标准误”从意 义、特征、计算公式、符号表示等方面作了准确描述与区分 ,并 对统计学结果表示中“平均数 ±标准差”“平均数 ±标准误”的 符号表示进行了统计分析 ,指出了存在问题。通过原因分析 , 提出了避免二者混淆和不 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 的符号表示的一些应对措施。 关键词 　科技论文 ;算术平均数 ;标准差 ;标准误 中图分类号 　G 237. 5 Standard deviation and standard error of arithmetic mean∥Hao Ladi , Yu Huadong Abstract 　 The “standard deviation” and “standard error of arithmetic mean”that being easy to cause confusion are accurately described and distinguished from the meaning , characteristic , formula of calculation and symbolization etc. The symbolization of “mean ±standard deviation”and“mean ±standard error of mean” in the expression of statistics result are analyzed. Then , some countermeasures to prevent the two cases from being obscure and being expressed with abnormal symbols are put forward. Key words 　sci2tech paper ; arithmetic mean ; standard deviation ; standard error of mean First2author’s address 　Editorial Office of Journal of Dalian Fisheries College ,116023 , Dalian , China 在科学实验和工程实践中 ,常遇到实验结果中包 含的随机误差 ,一般都需要在假定系统误差得到消除 的情况下 ,计算出实验结果可能达到的准确范围 ,因 此 ,在科技论文中常有“平均数 ±标准差”与“平均数 ± 标准误”(本文中“平均数”均指“算术平均数”) 的统计 学结果表达。虽然“标准差”与“标准误”均用来反映随 机误差 ,但一字之差 ,如果分不清它们的实质含义 ,很 容易混淆这 2 种表达。 1 　标准差与标准误 1 . 1 　总体标准差与样本标准差 　标准差 ( standard deviation)作为随机误差 (或真差) 的代表 ,是随机误差 绝对值的统计均值。在国家计量技术规范中 ,标准差 的正式名称是标准偏差 ,简称标准差[1 ] ,用符号σ表 示。标准差的名称有 10 余种 ,如总体标准差、母体标 准差、均方根误差、均方根偏差、均方误差、均方差、单 次测量标准差和理论标准差等[2 ] 。 标准差的定义式为 　　　　　σ = 1N ∑ N i = 1 ( x i - μ) 2 , (1) 式中 x i 为一组样本变量 (从总体中抽取的一部分个体 的集合) 。由于式 (1) 中含有的参数 ———总体算术平均 数μ(亦称数学期望 ,或称真值) 和总体数 N ,是不能 进行实际计算的 ,因此 ,式 (1) 只有理论上的意义 ,无法 求出σ;而经常采用的方法是用样本参数来估计总体 的参数 ,即用样本标准差 s 的值作为总体标准差σ的 估计值。样本标准差的计算公式为 　　　　　 s = 1 n - 1 ∑ n i = 1 ( x i - …x ) 2 。 (2) 式中 : …x 为样本算术平均数 (以下简称平均数) ; n 为观 测样本数。s 反映了整个样本变量的分散程度。样本 标准差小 ,说明样本变量的分布比较密集在平均数附 近 ,否则 ,表明样本的分布比较离散。当 n →∞时 , s 趋向于σ。 在表达有随机误差的实验结果数据中 ,我们常见 到“平均数 ±标准差”中的“标准差”,实际上是指总体 标准差的估计值 s ,在以下的讨论中如无特别指明 ,标 准差均指样本标准差 s。 1 . 2 　样本平均数的标准误及其估计　在抽样试验 (或 重复的等精度测量) 中 ,常用到样本平均数的标准差 , 亦称样本平均数的标准误或简称标准误 ( standard error of mean) [3 ] 。因为样本标准差 s 不能直接反映样 本平均数 …x 与总体平均数μ究竟误差多少 ,所以 ,平 均数的误差实质上是样本平均数与总体平均数之间的 相对误差[4 ]。可推出样本平均数的标准误为 　　　　　　　σ…x = (1/ n)σ。 (3) 与总体标准差σ类似 ,样本平均数的标准误σ…x也无法 求出 ,只能估计。为了区别是用样本标准差 s 的值来 估计总体标准差σ的值 ,样本平均数的标准误σ…x的估 计值用 s…x表示 (也称平均数的标准偏差[5 ]) ,即 　　　　　　　 s…x = (1/ n) s。 (4) s…x反映了样本平均数的离散程度。标准误越小 ,说明 样本平均数与总体平均数越接近 ,否则 ,表明样本平均 数比较离散。当 n →∞时 , s…x趋向于σ…x 。 在表达有随机误差实验结果的数据中 ,我们常见 到“平均数 ±标准误”中的“标准误”,实际上是指样本 平均数标准误的估计值 s…x ,在以下的讨论中如无特别 指明 ,标准误均指 s…x 。 1 . 3 　标准差与标准误的区别 　标准差与标准误的意 　 2005 年 　4 月第 17 卷 　第 2 期 编 　辑 　学 　报 ACTA EDITOLO GICA Apr. 　2005 Vol. 17 　No. 2 　 义、作用和使用范围均不同。标准差 (亦称单数标准 差[4 ])一般用 s 表示 ,是表示个体间变异大小的指标 , 反映了整个样本对样本平均数的离散程度 ,是数据精 密度的衡量指标 ;而标准误一般用 s…x 表示 ,反映样本 平均数对总体平均数的变异程度 ,从而反映抽样误差 的大小[6 ] ,是量度结果精密度的指标。 随着样本数 (或测量次数) n 的增大 ,标准差趋向 某个稳定值 ,即样本标准差 s 越接近总体标准差σ,而 标准误则随着样本数 (或测量次数) n 的增大逐渐减 小 ,即样本平均数越接近总体平均数μ;故在实验中也 经常采用适当增加样本数 (或测量次数) n 减小 s…x的方 法来减小实验误差 ,但样本数太大意义也不大。 标准差是最常用的统计量 ,一般用于表示一组样 本变量的分散程度 ;标准误一般用于统计推断中 ,主要 包括假设检验和参数估计 ,如样本平均数的假设检验、 参数的区间估计与点估计等[3 ] 。 标准差与标准误既有明显区别 ,又密切相关 :标准 误是标准差的 1/ n ;二者都是衡量样本变量 (观测 值) 随机性的指标 ,只是从不同角度来反映误差 ;二者 在统计推断和误差分析中都有重要的应用[7 ] 。 2 　标准差与标准误的表达现状 2 . 1 　各种字母符号的表示　目前各期刊对“平均数 ± 标准差”和“平均数 ±标准误”的符号表示 ,在不区分大 小写、正斜体等的情况下 ,共有 30 种之多 (表 1) ,比较 混乱 ,有些表示也不确切。同一期刊对同一种误差的 符号表示也有多种不同的形式 ,基本上按照作者所写 的给出 ,没有再加工统一成标准的或约定俗成的符号 表示。 从表 1 可以看出 ,“平均数 ±标准差”和“平均数 ± 标准误”基本上各形成 2 大类表示方式 ,一类是用统计 量的变量符号表示 ,另一类是用统计量的英文词缩写 表示。如 …x 、s、s…x分别是平均数、标准差、标准误的符 号 ;而 M、S. D. 、S. E. 分别是平均数 mean、标准差 standard deviation、标准误 standard error 的英文缩写。 一个统计学结果表达式中 ,如果全用变量符号或全用 中、英文名称表示都可 ,但不能用变量符号与量名称 (中、英文名称)相加减。 此外 ,作者利用《中国期刊网》进一步对主要的几 种表示统计量及统计学结果 (列表示出者)的符号的使 用频率进行了统计 (均不区分大小写 ,不区分 x 或 …x , 不区分正斜体及上下标) ,结果如下 : 1)对于“±标准差”,2003 年有 34 984 篇文章用 “±s”表示 ,有 1 448 篇用“±SD”(或 ±S. D. ) ;而对于 “平均数 ±标准差”,有 29 792 篇文章用“…x ±s”表示 , 763 篇用“…x ±SD”(或 …x ±S. D. ) 。 表 1 　平均数 ±标准差、平均数 ±标准误的 常见符号表示 (2003 年) 序号 表示方式 杂志名称 卷 (期) :页 平 均 数 ± 标 准 差 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 …x ±s x ±s Mean ±s M ±s 变量名±s…x ±SD x ±SD mean ±SD mean ±S. D. M ±SD 平均数±SD 变量名±SD mean ±SE mean ±SEM 暨南大学学报 (医学版) 现代农业 右江民族医学院学报 福建医药杂志 沈阳药科大学学报 上海水产大学学报 中国野生植物资源 植物遗传资源学报 应用生态学报 中国农业科学 色谱 淡水渔业 动物学报 中国医学运动杂志 24 (4) :34 2 (1) :22 25 (4) :497 25 (4) :147 20 (4) :300 12 (3) :240 22 (6) :52 4 (4) :327 14 (7) :1098 36 (12) :1556 21 (3) :298 33 (2) :55 49 (2) :174 22 (5) :455 平 均 数 ± 标 准 误 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 …x ±s…x x ±s…x…x ±sx…x ±s…x X ±S x mean ±Sx M ±s…x…x ±SE x ±SE mean ±SE mean ±S. E. M ±SE 平均数±SE 变量名±SE mean ±SD mean ±SEM 中国危重病急救医学 中国媒介生物学及控制杂志 中国矫形外科杂志 癌症 中华医学丛刊 食品科学 华夏医学 南京农业大学学报 动物学研究 植物营养与肥料学报 水生生物学报 生态学报 植物生理学通讯 南京林业大学学报 作物学报 畜牧兽医学报 15 (12) :723 14 (2) :89 11 (13) :905 22 (3) :315 3 (5) :38 24 (7) :122 16 (2) :235 26 (4) :128 24 (5) :393 9 (3) :382 27 (4) :435 23 (11) :2495 39 (6) :617 27 (6) :61 29 (4) :612 34 (6) :606 2) 对于“±标准误”, 2003 年有 120 篇文章用 “±s…x”表示 ,有 218 篇用“±SE”(或 ±S. E. ) ;而对于 “平均数 ±标准误”,有 91 篇用“…x ±s…x”表示 , 55 篇用 “…x ±SE”(或 …x ±S. E. ) 。 3)对于“平均数”,绝大部分用“…x”表示 ,也有部分 用“x”“mean”“M”“均值”“均数”等表示。 GB 3358 —82《统计学名词及符号的规定》已对一 些常用统计学符号作了明确规定 :统计学符号一般用 斜体 ,但有大小写之分 ,如 n (样本大小) 、…x (样本的算 术平均数) 、s (标准差) 、s…x (标准误) 、…x ±s (平均数 ± 标准差) 、…x ±s…x (平均数 ±标准误) 等。因此 ,正确的 表示是 :“平均数 ±标准差”为“…x ±s”;“平均数 ±标准 误”为“…x ±s…x”。而英文“Mean ±S. D. ”“Mean ±S. E. ” 和用中文“平均数 ±标准差”“平均数 ±标准误”都属于 用量名称表示 ,除此之外 ,均属于不正确的表示。 2 . 2 　多符号表示以及意义混淆的原因分析 　由表1可 见 ,标准差与标准误的符号表示混乱 ,甚至有些作者将 标准差与标准误混淆 ,造成这种情况的原因有多种。 1)统计量的名称混乱。标准差、标准误、平均数等 ·711·　第 2 期 郝拉娣等 :标准差与标准误 统计术语的名称 ,多则十几个 ,少也有几个 ,另外还有 简称 ,非常混乱。如总体标准差的名称就有十几种 ,而 总体平均数也有几种 ,如称为数学期望、真值等。 2)同一种统计量的多符号表示。如有的用μ代 表总体平均数 (期望) ,也有的用 x 0代表真值 ,而真值 也就是总体平均数 ,只是使用场合不同而已 ;样本标准 差 s 也有用σ^ζ表示的[8 ] :因此 ,免不了对 …x 、σ、s、σ…x 、 s…x 、μ等常见符号所代表变量的意义不清楚。 3)标准差、标准误差的称呼混乱。有的根据统计 量的计算中是用误差还是用偏差 ,把式 (1) ～ (4) 分别 称为测量列的标准误差 (σ) 、测量列的标准偏差 (s) 、平 均数的标准误差 (σ…x ) 、平均数的标准偏差 ( s…x ) 计算公 式[5 ] ;也有的不分误差、偏差 ,统一简称为标准差 ,将 式 (1) ～ (4) 分别称为单次测量标准差、实验标准差、算 术平均数标准差及其估计[9 ] 。 4) 各种数理统计参考书 ,对统计量的称呼及字母 表示不尽相同 ,对一些基本统计量 ,如误差、偏差、标准 误差、标准差等基本概念没有统一详尽的解释。 5)使用统计分析软件对实验数据作统计分析后 , 所得各统计量均用英文或字母缩写表示。如平均数、 标准差、标准误分别用 Mean、Std. Dev (或 SD) 、S. E. Mean 表示[10 ] ,因此 ,有很多作者也用英文名称的缩写 作为变量符号 ,但忽视了不能用变量符号与英文名称 的缩写混在一起作表达式。 6)有些作者使用变量符号很随意 ,甚至误用 ,而同 一学科期刊的读者、编者互相参照 ,不免以讹传讹。 3 　结束语 　　目前对实验结果用计量数据表示是科技论文写作 中的一大进步[11 ] ,但不少期刊对统计学结果的符号表 达非常混乱 ,有的仅有统计学数据 ,文中却没有任何文 字或符号解释 ,也有的甚至将标准差与标准误混为一 谈。为了避免这些问题 ,可采取如下相应的措施。 首先 ,编辑应明确一些基本统计量的意义及特征 , 对统计学结果表达式有一个准确的理解 ,尤其对一些 统计量的简称 ,如统计学结果表达式“平均数 ±标准 差”和“平均数 ±标准误”中的简称“标准差”和“标准 误”,实际上是指“样本标准差”和“平均数标准误”,它 们的英文表达为“mean ±S. D. ”“mean ±S. E. ”,变量 符号为 …x ±s、…x ±s…x 。 第二 ,可在《稿约》中约定一些常用统计学变量的 符号表示 ,尤其统计学数据表达式的意义及变量符号。 第三 ,凡是包含有统计学方法的文章中 ,均应当在 “材料与方法”中给出所用的统计学方法 ,并标明统计 学数据的变量名称及符号表达式 ;同时在列表 (图) 中 也应 当 给 出 统 计 学 数 据 的 变 量 表 达 式 及 其 样本数 ( n) 。 4 　参考文献 [1 ] 　李谦. 纵谈标准差[J ] .广东电力 ,2001 ,14 (2) :76 78 [2 ] 　朱洪海 . 随机误差的标准差及其应用 [J ] . 机械设计与制 造工程 ,2001 ,30 (6) :34 ,49 [3 ] 　李春喜 ,王志和 ,王文林. 生物统计学 [ M ] . 北京 :科学出 版社 ,2002 :13 40 [4 ] 　邬实光. 昆虫生态学的常用数学分析方法 [ M ] . 北京 :农 业出版社 ,1985 :107 [5 ] 　张敏 ,袁辉. 关于标准差应用问题的讨论 [J ] . 郑州工业大 学学报 ,1996 ,17 (3) :95 100 [6 ] 　刘钢. 撰写医学期刊稿件的统计学参考 [J ] . 白求恩医科 大学学报 , 2001 (1) :108 110 [7 ] 　凌树森 . 试验数据的统计处理和误差分析 :第 6 讲 误差 分析 (续) [J ] .理化检验 :物理分册 ,2001 ,37 (9) :410 414 [8 ] 　凌树森 . 试验数据的统计处理和误差分析 :第 3 讲 参数 估计和假设检验[J ] . 理化检验 :物理分册 ,2001 ,37 (3) : 133 137 [9 ] 　李谦. 试验数据的统计处理方法 :总体均值和总体标准差 的估计[J ] .西北电力技术 ,2000 (2) :62 64 [10 ] 卢纹岱 ,朱一力 ,沙捷 ,等. 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