实验五 用三线摆测量刚体的转动惯量 【实验目的】 1. 学会正确测量长度、质量和时间。 2. 学习用三线摆测量圆盘和圆环绕对称轴的转动惯量。 【实验器材】 三线摆仪、米尺、游标卡尺、数字毫秒计、气泡水平仪、物理天平和待测圆环等。 【实验原理】 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。对于质量分布均匀、外形不复杂的刚体，测出其外形尺寸及质量，就可以计算出其转动惯量；而对于外形复杂、质量分布不均匀的刚体，其转动惯量就难以计算，通常利用转动实验来测定。三线摆就是测量刚体转动惯量的基本
方法
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之一。 图1是三线摆实验装置示意图。三线摆是由上、下两个匀质圆盘，用三条等长的摆线（摆线为不易拉伸的细线）连接而成。上、下圆盘的系线点构成等边三角形，下盘处于悬挂状态，并可绕OO‘轴线作扭转摆动，称为摆盘。由于三线摆的摆动周期与摆盘的转动惯量有一定关系，所以把待测样品放在摆盘上后，三线摆系统的摆动周期就要相应的随之改变。这样，根据摆动周期、摆动质量以及有关的参量，就能求出摆盘系统的转动惯量。 设下圆盘质量为 ，当它绕OO＇扭转的最大角位移为 时，圆盘的中心位置升高 ，这时圆盘的动能全部转变为重力势能，有： （ 为重力加速度） 当下盘重新回到平衡位置时，重心降到最低点，这时最大角速度为 ，重力势能被全部转变为动能，有： 式中 是下圆盘对于通过其重心且垂直于盘面的OO‘轴的转动惯量。 如果忽略摩擦力，根据机械能守恒定律可得： （1） 设悬线长度为 ，下圆盘悬线距圆心为R0，当下圆盘转过一角度 时，从上圆盘B点作下圆盘垂线，与升高h前、后下圆盘分别交于C和C1，如图2所示，则： 因为 所以 在扭转角 很小，摆长 很长时，sin ，而BC+BC12H，其中 H= 式中H为上下两盘之间的垂直距离,则 （2） 由于下盘的扭转角度 很小（一般在5度以内），摆动可看作是简谐振动。则圆盘的角位移与时间的关系是 式中， 是圆盘在时间t时的角位移， 是角振幅， 是振动周期，若认为振动初位相是零，则角速度为： 经过平衡位置时t=0 , 的最大角速度为： （3） 将（2）、（3）式代入（1）式可得 （4） 实验时，测出 、 及 ，由（4）式求出圆盘的转动惯量 。在下盘上放上另一个质量为m，转动惯量为 （对OO′轴）的物体时，测出周期为T，则有 （5） 从（5）减去（4）得到被测物体的转动惯量 为 （6） 在理论上，对于质量为 ，内、外直径分别为 、 的均匀圆环，通过其中心垂直轴线的转动惯量为 而对于质量为 、直径为 的圆盘，相对于中心轴的转动惯量为 【实验步骤】 测量下盘和圆环对中心轴的转动惯量 1. 调节上盘绕线螺丝使三根线等长（50cm左右）；调节底脚螺丝，使上、下盘处于水平状态（水平仪放于下圆盘中心）。 2. 等待三线摆静止后，用手轻轻扭转上盘5°左右随即退回原处，使下盘绕仪器中心轴作小角度扭转摆动（不应伴有晃动）。用数字毫秒计测出50次完全振动的时间 ，重复测量5次求平均值 ，计算出下盘空载时的振动周期T0。 3. 将待测圆环放在下盘上，使它们的中心轴重合。再用数字毫秒计测出50次完全振动的时间t，重复测量5次求平均值，算出此时的振动周期T。 4. 测出圆环质量（ ）、内外直径（ 、 ）及仪器有关参量（ 等）。 因下盘对称悬挂，使三悬点正好联成一正三角形（见图3）。若测得两悬点间的距离为L，则圆盘的有效半径R（圆心到悬点的距离）等于 L/ 。 5.将实验数据填入下
表
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中。先由（4）式推出 的相对不确定度公式，算出 的相对不确定度、绝对不确定度，并写出 的测量结果。再由（6）式算出圆环对中心轴的转动惯量I，并与理论值比较，计算出绝对不确定度、相对不确定度，写出I的测量结果。 【数据处理】 1. 实验数据表格 下盘质量 g， 圆环质量 g 待 测 物 体 待 测 量 测 量 次 数 平均值 1 2 3 4 5 上 盘 半 径 / 下 盘 有效半径/ 周 期 /S 上、下盘 垂直距离 / 圆 环 内 径 / 外 径 / 下盘加圆环 周 期 /S 2. 根据表中数据计算出相应量，并将测量结果表达为： 下盘: , , ＝ ＝( ± ) 圆环: , ＝ , ＝ ＝ ＝ ± （g.C ） 【思考
题
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】 1. 在本实验中，计算转动惯量公式中的R0，是否就是下盘的半径? 它的值应从何处测量到何处? 2． 当待测物体的转动惯量比下盘的转动惯量小得多时，为什么不宜用三线摆法测量?
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