矩阵的逆及求法null第六节第六节一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理矩阵逆及其求法 第二章 三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵线性方程组的矩阵表示法线性方程组的矩阵表示法设 n 元线性方程组根据矩阵的表示法可写成即即（2）则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。代数方程的解问矩阵方程的解是否为?若可以，那么的含义是什么呢？一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念在代数运算中，乘法是除法运算的逆运算,若一定存在的倒数使得令则有则称显然类似当矩阵A 满足在一定条...
null第六节第六节一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理矩阵逆及其求法 第二章 三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵线性方程组的矩阵表示法线性方程组的矩阵表示法设 n 元线性方程组根据矩阵的表示法可写成即即（2）则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。代数方程的解问矩阵方程的解是否为?若可以，那么的含义是什么呢？一、逆矩阵的概念一、逆矩阵的概念在代数运算中，乘法是除法运算的逆运算,若一定存在的倒数使得令则有则称显然类似当矩阵A 满足在一定条件时也存在使得则称为A的逆矩阵。定义1定义1并称例如则同理A也是B的逆矩阵，记作则例1 求例1 求的逆矩阵。解法一用定义（待定法），设解得定理1定理1证明则则二、方阵可逆的判别定理二、方阵可逆的判别定理设方阵则称定义2A中的元素aij的代数余子式Aij所组成的n阶方阵定理2定理2其中证明必要性：两边取行列式充分性充分性由定义1知, A可逆， 则例2例2解逆矩阵的求法：1、先求看看是否不为零；2、写成伴随矩阵3、 得例3 求例3 求的逆矩阵。解法二用公式法 设解得一般例4解：验
证
！例4推论1 推论1 证明线性代数 线性代数 主讲教师:
王升瑞 第八讲三、逆矩阵的基本性质三、逆矩阵的基本性质1、2、3、同阶方阵4、推论2若则A、B均可逆，且null5、 设可逆时，则A可逆，且若三、逆矩阵的基本性质三、逆矩阵的基本性质7、可逆，则6、又则思考思考 且两边同乘以A得例1 解矩阵方程例1 解矩阵方程解 此方程可写为其中方程两边同时左乘例2解：例2例3 求解下列矩阵方程例3 求解下列矩阵方程解 1、 方程可简写为方法12.2.解 方程可简写为3. 已知3. 已知解 由条件可知 A、E 均为三阶方阵，原方程可写成求 A .4. 已知4. 已知且求 X 。解 由条件可知 E 为三阶方阵，原方程可写成即例4 已知例4 已知求解2、 已知求解与原方程比较，得即例5例5解例6 已知例6 已知求解例7例7试计算解四、用矩阵的初等变换求逆阵四、用矩阵的初等变换求逆阵初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。 定理3 A可逆即存在初等方阵例1 求下列矩阵的逆矩阵例1 求下列矩阵的逆矩阵解 1null解 2解 2不存在。例2 例2 设 求 X 。 解 nullnull例3 利用逆矩阵解线性方程组例3 利用逆矩阵解线性方程组解 此方程组可写为其中 矩阵的积的秩 矩阵的积的秩定理4 n阶可逆矩阵，P、Q 分别为m阶、则R(A)=R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)(3) 定理5 R(AB)R(AB)即 对于给定矩阵左乘或右乘可逆矩阵其秩不变。定理6设A、B为n 阶方阵，且A可逆，则证明 因 n 阶方阵A可逆，故，即存在初等方阵所以 （A|B）(E|A-1B)使于是即（A|B）(E|A-1B)若 AX = B，且A可逆，则X = A-1B（两种解法）定理6例4 求解下列矩阵方程例4 求解下列矩阵方程方法2方法2方法2例5解矩阵方程 AX = A+X，其中解AX－X = A（A－E）X = A例5例6 解矩阵方程例6 解矩阵方程解 作业作业P129 12 2 1 ，2，
3 1，3 4例5解一：解二：例5例7 已知例7 已知求解与上式比较例8例8能否利用可逆，判别利用性质，解且例9例9若，判别可逆，并求其逆。解(1)例12 设例12 设求解例13例13则设A,B分别是m阶, n阶可逆矩阵，，求解，D可逆，设例14 已知方阵 例14 已知方阵 求 A－1 。解 将A分块计算得练习练习解 1. 设求
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