二重积分的计算

第二节 二重积分的计算 这一节我们来讨论如何进行二重积分的计算，很显然用其定义来计算是很复杂的． 一、矩形上的二重积分的计算 为了方便我们先给出矩形上的二重积分的计算的方法. 定理 12. 4   若函数f(x,y)是矩形 =[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个x∈[a,b]积分 存在, 则h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式 , 它也记为 . 这个 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式称为二次积分或二次累次积分,也简称为累次积分. 证明  在[a,b]中插入若干个分点  , 并记 Δxi= xi- xi-1 , (i=1,2,…..,n), 当令λx =max{Δxi | i=1,2,…..,n },要证: . 再在[c,d]中插入若干个分点              , Δyj= yj - yj-1 , (j=1,2,…..,m), 那么, 直线y= yj  (j=0,1,2,…..,m),  x= xi (i =0,1,2,…..,n) 将D分成m n个小矩形Dij=[ xi-1 , xi ]×[yj-1 , yj] (i =1,2,…..,n, j=1,2,…..,m). 当记 , , 因此,      注意到,此式的左右两端正是f(x,y)在矩形 上以此分划的Darboux小和及大和.. 再令令λy =max{Δyi | i=1,2,…..m }, λ=λx +λy , 由可积性知, , . 又有两边夹易得, 即有 , 那么 h(x) 在[a,b]上可积, 并有等式    . 同样我们可得 定理 12. 5  若函数f(x,y)是矩形 =[a,b]×[c,d]上的可积函数. 若对每一个y∈[c,d]积分 存在, 则g(y) 在[c,d]上可积, 并有等式 , 这时它也记为 (也是二次积分或累次积分). 引理  若函数f(x,y)是矩形 =[a,b]×[c,d]上的连续函数, 那么 和    分别是[c,d]和[a,b]上的连续函数.当然也是相应区间上的可积函数. 证明  只证g(y) 是[c,d]上的连续函数.  由条件知, f(x,y)在[a,b]×[c,d]上一致连续, 所以,任意ε>0, 存在 δ>0, 对任意(x1, y1), (x2, y2)∈[a,b]×[c,d],只要 , 有  , 所以 任意y1, y2∈[c,d], 当 |y1 - y2|<δ, . 故g(y) 在[c,d]上的一致连续. 由此可得 定理 12.6  若函数f(x,y)是矩形 =[a,b]×[c,d]上的连续函数. 则 . 即可交换顺序 . 这个结论的可以放宽为: f(x,y)是矩形 =[a,b]×[c,d]上的可积函数, 对每一个y∈[c,d]积分 存在, 对每一个x∈[a,b]积分 y也存在,.这时定理 12.6 结论仍然成立,  即 . 二、一般区域上的二重积分计算 y 首先我们来讨论 是下面一种比较特殊的区域时的情况，然后讨论一般情形．设其中 是区间 上的连续函数， ，这样的区域D ，我们称之为 －型区域(当然可求面积)．如图12-2-1所示． d x=v(y) x=u(y) c x O 图 12-2-2 图 12-2-1 当 是区间 上的连续函数， （如图12-2-2）称为y－型区域 . 定理 12.7 设函数f(x,y)是有界闭区域 上的可积函数，U= [a,b]×[c,d]包含D. 那么 当令  , 那么 是U上的可积函数. 并且 . 事实上 在D上可积,在U-D上也可积 . 由性质知 在U上的可积. 定理 12.8  设 为 －型区域, f(x,y)是 上的连续函数，那么 证明  令 U= [a,b]×[c,d]包含D. 由定理12.7 注意到,当固定x时, 若 , =0,;若 , . 所以 , 显然 . 例1 计算二重积分 ，其中 是由直线 及 所围成的闭区域． 解  区域 如图12-2-3所示，可以将它看成一个 -型区域， 图 12-2-3 即 ． 所以 也可以将 看成是 －型区域， ，于是 有上面的例子可以看到，计算二重积分的关键是区域，要注意的是区域的区别,同时还要考虑被积函数． 定理 12.9  设 为 －型区域, f(x,y)是 上的连续函数，那么 如果 既不是 -型区域也不是y-型区域,如图12-2-4 我们可以将 分划成若干个x-型区域和y-型区域的并. 图 12-2-4 例２　计算二重积分 ，其中 是有抛物线 及 所围成的有界闭区域． 解：如图12-2-4，区域 可以看成是 －型区域，它表示为 ，所以 D2 D1 ．        我们也可以将 看成是两个 －型区域 的并集． 如图1２-2-5，其中 图 12-2-5 所以积分可以写为两个二次积分的和．即 ． 最后可以算出同样的结果，当然这样计算可能要麻烦一点． 所以识别区域很重要，还有一点要注意的是，有的区域尽管既是 －型的，又是 －型的，但是在计算时候,可能将它看成其某中一种时，计算不出来．比如下面的例子． 例３　计算二次积分 ． 分析：直接按照这个顺序是计算不出来的，尽管 的原函数是存在的，但是还是无法求出其表达式．我们可以考虑将这个积分先化为二重积分，再换成另外一种二次积分来计算． 解  ，其中 是如图1２-2-6所示的区域，将它看成是 -型区域，有 ，所以 图 12-2-6 上面例子的方法常称为交换积分次序. 可以看出，有时候计算时需要交换二次积分的积分次序，而使得计算简单，有时候如不交换次序,是难以计算出结果． 设 ，如果f(x) 和g(y)分别在[a,b]和[c,d]上可积, 则f(x)g(y)在D上可积,并有 ． 读者可以自己验证上面的结论． 例４　计算 ， 其中 ． 解：由上面的讨论，有 ＝ ． 例５　求由曲面 与 所围的体积 ． 解：此立体如图1２-2-7 所示，它的体积可以看成是一个圆柱体体积减去一个曲顶柱体体积． 圆柱体的体积是 ．曲顶柱体的顶是 ，底为区域 ．所以其体积为 图 12-2-7 ＝ ． 所以此立体体积为 ． 在这里积分 的计算尽管可以计算出来，但是是比较复杂的，在 这里没有写出，我们将在后面用其它的方法来计算这个二次积分． 本节最后将给出前面积分运算的几何解释. 当 是有界闭区域 上的连续函数且 时，二重积分 表示的是以 为底，以 为顶的曲顶柱体的体积．如图1２-2-8所示．它的体积可以通过计算这个二重积分得到． 图 12-2-9 图 12-2-8 我们下面通过另外的一种途径来求其体积． 我们采用的方法是定积分的微元法． １．以 为积分变量，其变化区间为 ； ２．求在 的一个小的子区间 上所对应的曲顶柱体的体积，这是一个小的曲顶柱体，将它近似为一个截面已知的立体的体积．接下来就是计算这个截面面积．将对于任意的 ，用平面 去截曲顶柱体得到截面 ，即 ．它在 平面上的投影是一个如图2-３所示的曲边梯形．其面积为 ． 一般地，当 变动时，有截面面积 ．于是区间 所对应的小曲顶柱体体积为 ，所以曲顶柱体的体积为 ． 这样的积分实际上是积分两次，即先对 积分，再对 积分，即二次积分．也记为 ． 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 12-2 1.求下列函数的二重积分, ,这里D=[0,1]×[0,1]. 1)   ; 2)   ; 3)   ; 2. 设f(x)是[a,b]上的连续函数,证明 . 3.求下列二重积分 1)  , ;  2)  , ;  3)  , ;  4)  , ;  5)  , 是由原点为中心2为半径的圆周所围的有界区域;  6)  , 是由(0,0),(1,2)和(0,3)为顶点的三角形所围的有界区域;  7) ，其中D是矩形区域：|x|≤1， |y|≤1； 8) ，其中D是 轴、 轴与直线 所围成闭区域， 9) ，其中D是矩形闭区域：0≤x≤1，0≤y≤1； 10)   ， 其中D是顶点分别为（0，0），（π,0）和(π,π)的三角形闭区域． 4.交换下列的积分顺序 1)  ;  2)  ;  3)  ;  4) ;  5) ;  6) ; 7)  7)  8) 5.求下列的积分 1)  ;  2)  ;  3)  ;  4) . 6. 画出积分区域，计算积分： 1) ，其中D是由两条抛物线 , 所围成闭区域， 2) ，其中D是由圆周 及 轴所围成右半闭区域， ３） , 其中D是由 所确定的闭区域， 4) ， 其中D是由直线 及 所围成的闭区域．