数列求和练习题

6.4 数列求和 一、选择题(每小题5分，共25分) 1.在等差数列 中， ,则 的前5项和 =(    ) A.7              B.15            C.20            D.25 解析 . 答案　B 2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(  )． A．15              B．12           C．－12              D．－15 解析　设bn＝3n－2，则数列{bn}是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝(－b1)＋b2＋…＋(－b9)＋b10＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b10－b9)＝5×3＝15. 答案　A 3．数列1 ，3 ，5 ，7 ，…的前n项和Sn为(  )． A．n2＋1－                             B．n2＋2－ C．n2＋1－                                 D．n2＋2－ 解析　由题意知已知数列的通项为an＝2n－1＋ ， 则Sn＝ ＋ ＝n2＋1－ . 答案　C 4．已知数列{an}的通项公式是an＝ ，若前n项和为10，则项数n为(  )． A．11              B．99             C．120              D．121 解析　∵an＝ ＝ － ，∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( －1)＋( － )＋…＋( － )＝ －1.令 －1＝10，得n＝120. 答案　C 5. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，令bn＝ (a1＋a2＋…＋an)，则数列{bn}的前10项和T10＝(  ) A．70                                B．75 C．80                                D．85 解析 由已知an＝2n＋1，得a1＝3，a1＋a2＋…＋an＝ ＝n(n＋2)， 则bn＝n＋2，T10＝ ＝75，故选B. 答案　B 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于(  ) A．16                        B．8 C．4                                        D．不确定 解析 由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝ ＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8. 答案 B 7．若数列{an}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则Tn＝ ＋ ＋…＋ 的结果可化为(  )． A．1－                                     B．1－ C.                                 D. 解析　an＝2n－1，设bn＝ ＝ 2n－1，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＋ 3＋…＋ 2n－1＝ ＝ . 答案　C 二、填空题 8．数列{an}的通项公式为an＝ ，其前n项之和为10，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为________． 解析  由已知，得an＝ ＝ － ，则 Sn＝a1＋a2＋…＋an＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ －1， ∴ －1＝10，解得n＝120，即直线方程化为121x＋y＋120＝0，故直线在y轴上的截距为－120. 答案 －120 9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a ＋a ＋…＋a ＝________. 解析　当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a ＝4n－1. ∴数列{a }是以a ＝1为首项，以4为公比的等比数列． ∴a ＋a ＋…＋a ＝ ＝ (4n－1)． 答案　 (4n－1) 10．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列 的前n项和Sn＝________. 解析　设等比数列{an}的公比为q，则 ＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n， 所以 ＝ ＝ － . 则Sn＝1－ ＋ － ＋…＋ － ＝1－ ＝ . 答案　 11．定义运算： ＝ad－bc，若数列{an}满足 ＝1且 ＝12(n∈N*)，则a3＝________，数列{an}的通项公式为an＝________. 解析 由题意得a1－1＝1,3an＋1－3an＝12即a1＝2，an＋1－an＝4. ∴{an}是以2为首项，4为公差的等差数列． ∴an＝2＋4(n－1)＝4n－2，a3＝4×3－2＝10. 答案 10　4n－2 12．已知数列{an}： ， ＋ ， ＋ ＋ ，…， ＋ ＋ ＋…＋ ，…，那么数列{bn}＝ 的前n项和Sn为________． 解析　由已知条件可得数列{an}的通项为 an＝ ＝ . ∴bn＝ ＝ ＝4 . Sn＝4 ＝4 ＝ . 答案　 三、解答题 13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋2n，求数列{bn}的前n项和Tn. 解析：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意，得 解得 ∴an＝2n－1. (2)∵bn＝2an＋2n＝ ·4n＋2n， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝ (4＋42＋…＋4n)＋2(1＋2＋…＋n) ＝ ＋n2＋n＝ ·4n＋n2＋n－ . 14．设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn. 解析　(1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2. 所以{an}的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*) (2)Sn＝ ＋n×1＋ ×2＝2n＋1＋n2－2. 15．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝21，a5＋b3＝13. (1)求{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列 的前n项和Sn. 解析　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则依题意有q＞0且 解得 所以an＝1＋(n－1)d＝2n－1，bn＝qn－1＝2n－1. (2) ＝ ， Sn＝1＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，① 2Sn＝2＋3＋ ＋…＋ ＋ .② ②－①，得Sn＝2＋2＋ ＋ ＋…＋ － ＝2＋2× － ＝2＋2× － ＝6－ . 16．等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960. (1)求an与bn； (2)求 ＋ ＋…＋ . 解析　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1. 依题意有 解得 或 (舍去) 故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1. (2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)， 所以 ＋ ＋…＋ ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ ＝ － .