初二数学奥林匹克竞赛题及答案

1 F E A D C B 初二数学奥林匹克竞赛 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1、如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,DE =EC ,EF ∥AB 交BC 于点F ,EF =EC ,连结DF 。 (1)试说明梯形ABCD 是等腰梯形; (2)若AD =1,BC =3,DC =2,试判断△DCF 的形状; (3)在条件(2)下,射线BC 上是否存在一点P ,使△PCD 是等腰三角形,若存在,请直接写出PB 的长;若不存在,请说明理由。 2、在边长为6的菱形ABCD 中,动点M 从点A 出发,沿A →B →C 向终点C 运动,连接DM 交AC 于点N . (1)如图25-1,当点M 在AB 边上时,连接BN . ①求证:△ABN ≌△ADN ; ②若∠ABC = 60°,AM = 4,求点M 到AD 的距离; (2)如图25-2,若∠ABC = 90°,记点M 运动所经过的路程为x (6≤x ≤12)试问:x 为何值时,△ADN 为等腰三角形. 3、对于点O 、M ,点M 沿MO 的方向运动到O 左转弯继续运动到N ,使OM =ON ,且OM ⊥ON ,这一过程称为M 点关于O 点完成一次“左转弯运动”. 正方形ABCD 和点P ,P 点关于A 左转弯运动到P 1,P 1关于B 左转弯运动到P 2,P 2关于C 左转弯运动到P 3,P 3关于D 左转弯运动到P 4,P 4关于A 左转弯运动到P 5,……. (1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点P 1的位置; (2)连接P 1A 、P 1B ,判断 △ABP 1与△ADP 之间有怎样的关系?并说明理由。 (3)以D 为原点、直线AD 为y 轴建立直角坐标系,并且已知点B 在第二象限,A 、 P 两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断:P 4、P 2009、P 2010三点的坐标. P D C B A O N M 图1 图2 4、如图1和2,在20×20的等 距网格(每格的宽和高均是1个 单位长)中,Rt△ABC从点A与 点M重合的位置开始,以每秒1 个单位长的速度先向下平移,当 BC边与网的底部重合时,继续 同样的速度向右平移,当点C 与点P重合时,Rt△ABC停止 移动.设运动时间为x秒,△ QAC的面积为y. (1)如图1,当Rt△ABC向下平移到Rt△A1B1C1的位置时,请你在网格中画出Rt△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形; (2)如图2,在Rt△ABC向下平移的过程中,请你求出y与x的函数关系式,并说明当x分别取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最小值分别是多少? (3)在Rt△ABC向右平移的过程中,请你说明当x取何值时,y取得最大值和最小值?最大值和最值分别是多少?为什么? 5、如图①,△ABC中,AB=AC,∠B、∠C的平分线交于O点,过O点作EF∥BC 交AB、AC于E、F. (1)图中有几个等腰三角形?猜想: EF与BE、CF之间有怎样的关系,并说明理由. (2)如图②,若AB≠AC,其他条件不变,图中还有等腰三角形吗?如果有,分别指出它们.在第(1)问中EF与BE、CF间的关系还存在吗? (3)如图③,若△ABC中∠B的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.这时图中还有等腰三角形吗?EF与BE、CF 关系又如何?说明你的理 由。 6、已知,如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为AC上一点,且 ∠BDC=124°,延长BA到点E,使AE=AD,BD的延长线交CE于点F, 求∠E的度数。 7、如图,正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,将一三角尺的直角顶点放在点O处,让其绕点O旋转,三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度,你发现了什么?试说明理由。 1、解:(1)证明:∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF, ∵EF∥AB, ∴∠B=∠EFC, ∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD 是等腰梯形; (2)△DCF 是等腰直角三角形, 证明:∵DE=EC,EF=EC ,∴EF= 2 1 CD , ∴△CDF 是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形), ∵梯形ABCD 是等腰梯形, ∴CF= 2 1 (BC-AD )=1, ∵DC= 2, ∴由勾股定 理得:DF=1, ∴△DCF 是等腰直角三角形; (3)共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3-2,PB=3+2 2、证明:(1)①∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB=AD ,∠1=∠2. 又∵AN=AN , ∴△ABN ≌△ADN . ②解:作MH ⊥DA 交DA 的延长线于点H . 由AD ∥BC ,得∠MAH=∠ABC=60°. 在Rt △AMH 中,MH=AM ?sin60°=4×sin60°=2 3. ∴点M 到AD 的距离为2 3. ∴AH=2. ∴DH=6+2=8. (2)解:∵∠ABC=90°, ∴菱形ABCD 是正方形. ∴∠CAD=45°. 下面分三种情形: (Ⅰ)若ND=NA ,则∠ADN=∠NAD=45°. 此时,点M 恰好与点B 重合,得x=6; (Ⅱ)若DN=DA ,则∠DNA=∠DAN=45°. 此时,点M 恰好与点C 重合,得x=12; (Ⅲ)若AN=AD=6,则∠1=∠2. ∵AD ∥BC , ∴∠1=∠4,又∠2=∠3, ∴∠3=∠4. ∴CM=CN . ∴AC=6 2. ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6. 故x=12-CM=12-(6 2-6)=18-6 2. 综上所述:当x=6或12或18-6 2时,△ADN 是等腰三角形。 3、解:(1)用直尺和圆规作图,作图痕迹清晰; (2)△ABP1≌△ADP ,且△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得. 理由如下:在△ABP1和△ADP 中, 由题意:AB=AD ,AP=AP 1,∠PAD=∠P 1AB , ∴△ABP1≌△ADP , 又∵△ABP 1和△ADP 有公共顶点A ,且∠PAP 1=90°, ∴△ABP 1可看成是由△ADP 绕点A 顺时针旋转90°而得; (3)点P (1,1)关于点A (0,4)左转弯运动到P 1(-3,3), 点P 1(-3,3)关于点B (-4,4)左转弯运动到点P 2(-5,3), 点P 2(-5,3)关于点C (-4,0)左转弯运动到点P 3(-1,1), 点P 3(-1,1)关于点D (0,0)左转弯运动到点P 4(1,1), 点P 4(1,1)关于点A (0,4)左转弯运动到点P 5(-3,3), 点P 5与点P 1重合,点P 6与点P 2重合,,点P 2009的坐标为(-3,3) 点P 2010的坐标为(-5,3). 4、解:(1)如图1,△A 2B 2C 2是△A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形; (2)当△ABC 以每秒1个单位长的速度向下平移x 秒时(如图2), 则有:MA=x ,MB=x+4,MQ=20, y=S 梯形QMBC -S △AMQ -S △ABC =214+20)(x+4)- 21×20x- 21×4×4 =2x+40(0≤x ≤16). 由一次函数的性质可知: 当x=0时,y 取得最小值,且y 最小=40, 当x=16时,y 取得最大值,且y 最大=2×16+40=72; (3)解法一: 当△ABC 继续以每秒1个单位长的速度向右平移时, 此时16≤x ≤32,PB=20-(x-16)=36-x ,PC=PB-4=32-x , ∴y=S 梯形BAQP -S △CPQ -S △ABC = 21(4+20)(36-x )-21×20×(32-x )- 2 1 ×4×4 =-2x+104(16≤x ≤32). 由一次函数的性质可知: 当x=32时,y 取得最小值,且y 最小=-2×32+104=40; 当x=16时,y 取得最大值,且y 最大=-2×16+104=72. 解法二: 在△ABC 自左向右平移的过程中, △QAC 在每一时刻的位置都对应着(2)中△QAC 某一时刻的位置, 使得这样的两个三角形关于直线QN 成轴对称. 因此,根据轴对称的性质, 只需考查△ABC 在自上至下平移过程中△QAC 面积的变化情况, 便可以知道△ABC 在自左向右平移过程中△QAC 面积的变化情况. 当x=16时,y 取得最大值,且y 最大=72, 当x=32时,y 取得最小值,且y 最小=40. 5、解:(1)图中有5个等腰三角形, EF=BE+CF ,∵△BEO ≌△CFO ,且这两个三角形均为等腰三角形, 可得EF=EO+FO=BE+CF ; (2)还有两个等腰三角形,为△BEO 、△CFO , 如下图所示:∵EF ∥BC ,∴∠2=∠3, 又∵∠1=∠2,∴∠1=∠3, ∴△BEO为等腰三角形,在△CFO中,同理可证. ∴EF=BE+CF存在. (3)有等腰三角形:△BEO、△CFO,此时EF=BE-CF,∵如下图所示:OE∥BC,∴∠5=∠6, 又∠4=∠5,∴∠4=∠6,∴,△BEO是等腰三角形,在△CFO中,同理可证△CFO是等腰三角形, 此时EF=BE-CF, 6、解:在△ABD和△ACE中, ∵AB=AC,∠DAB=∠CAE=90°AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠E=∠ADB. ∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°, ∴∠E=56°. 7、解:OE=OF. 证明:正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴OA=OB,∠OAB=∠OBE=45°,AC⊥BD. ∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°, ∴∠AOF=∠EOB. 在△AOF和△BOE中 ∠OAB=∠OBE,OA=OB,∠AOF=∠EOB, ∴△AOF≌△BOE(ASA). ∴OE=OF. 6