专题07 圆锥曲线中的最值与范围-2020高考数学尖子生辅导专题（公众号：卷洞洞）

专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1专题七圆锥曲线中的最值与范围“以能力立意命题”是考试大纲总的要求，也是 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 命题总的方向．对学生能力的考察离不开思想方法的考察，在圆锥曲线的背景下讨论最值或范围问题，能系统的将函数与方程的思想、数形结合思想等多种数学思想结合在一起，更利于综合考察学生的能力．模块1整理方法提升能力圆锥曲线中的最值与范围问题的类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有以下3种方法：方法1：几何法．若题目的条件或结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解．方法2：代数法．把所求的量表示为某个（某些） 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 的函数解析式，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．对于大多数题目来说，主要是选择一个参数去表示所求的量，从而把问题转化为求函数的值域问题．由于引进的参数往往不只一个，所以解题时通常涉及到消参问题．如果用两个参数去表示所求的量（不能通过消参留下一个未知数），则往往考虑使用均值不等式．方法3：不等式（组）法．由题目所给的条件寻找所求量满足的不等式（组），通过该不等式（组）的求解得到所求量的最值或取值范围．上述三种方法中，方法1主要在小题中体现，解答题中以方法2最为常见．例1已知抛物线C的顶点为0,0O，焦点为0,1F．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线交抛物线C于A、B两点，若直线AO、BO分别交直线l：2yx于M、N两点，求MN的最小值．【解析】（1）由题意可设抛物线C的方程为22xpy（0p），则12p，即2p，所以抛物线C的方程为24xy．（2）设11,Axy，22,Bxy，直线AB的方程为1ykx．由214ykxxy，消去y，可专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2得2440xkx，从而124xxk，124xx，21241xxk．由112yyxxyx，解得点M的横坐标为1121111122844Mxxxxxyxx，同理可得点N的横坐标为284Nxx．由弦长公式可得212121212881128244416MNxxMNxxxxxxxx282143kk，于是222128143kMNk，其中34k．法1：令43kt，则0t，所以34tk，所以2228625ttMNt21182561tt，令1nt，则0n，2282561MNnn，当325n，即253t，43k时，2MN有最小值12825，所以MN有最小值825．法2：22221281824781624943kkMNkkk，令247kt，则25t，所以724tk，所以22288850625tMNtt．当0t时，2288862550MNtt，t取负数时，有62550tt，所以212825MN．于是当25t，即43k，2MN有最小值12825，所以MN有最小值825．【点评】利用代数法求最值或范围问题，其难点在于选用一个（或两个）参数去表示目标函数．我们常常可以从直线的斜率、截距、点的坐标等角度引进参数，然后根据题目所给的条件消去参数，直至剩下一个参数或两个参数（以一个参数的情况占绝大多数）．本题总共引进了7个参数：k、1x、1y、2x、2y、Mx和Nx，最终是用参数k表示MN，而其余的6个参数只是中间过渡的量，要注意体会如何利用“设而不求”的思想消去这6个中间过渡的参数．2MN的表达式有两个特点：一是分式，二是分子和分母的最高次数一致．求这种特点的函数最值的常见方法有两种，一是将分子或分母看成一个整体，最多经历两次换元得到一个专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3二次函数；二是分离参数，再使用基本不等式．法2在分离参数后，需要换元才能使用基本不等式，因此法2比法1的二次函数法要复杂很多．例2设椭圆22213xya（3a）的右焦点为F，右顶点为A．已知113eOFOAFA，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H．若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围．【解析】（1）设,0Fc，由113eOFOAFA，即113ccaaac，2223acc，又2223acb，所以21c，因此24a，所以椭圆的方程为22143xy．（2）设直线l的斜率为k（0k），则直线l的方程为2ykx．设11,Bxy，22,Mxy，30,Hy．在△MAO中，MOAMAOMAMO，即222222222xyxy，化简得21x．由方程组221432xyykx，消去y，整理得2222431616120kxkxk．于是2128643kxk，从而121243kyk．由（1）知1,0F，所以31,FHy，2229412,4343kkBFkk，由BFHF，得0BFHF，所以2322129404343kykkk，解得239412kyk，因此直线MH的方程为219412kyxkk．由方程组2194122kyxkkykx，消去y，解得222209121kxk．于是222091121kk，解得64k或64k，所以直线l的斜率的取值范围为66,,44．专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4【点评】由MOAMAO，可得到不等式21x，此时只要用k去表示2x，就能得到有关k的不等式，这也是k需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出k的取值范围．例3已知椭圆E：2213xyt的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（0k）的直线交E于A、M两点，点N在E上，MANA．（1）当4t，AMAN时，求△AMN的面积；（2）当2AMAN时，求k的取值范围．【解析】（1）当4t时，椭圆的方程为22143xy，直线AM的方程为2ykx．联立222143ykxxy，消去y可得2222431616120kxkxk，于是228643Mkxk，所以2221211243MkAMkxk．同理，2222112112134143kkkANkk．由AMAN可得22221211214334kkkkk，化简可得3243340kkk，即21440kkk，解得1k．（2）直线AM的方程为ykxt．联立2213ykxtxyt，消去y可得222223230tkxttkxtkt，于是2233Mttktxtk，所以2226113MtkAMkxttk．同理，222216161313tkktkANkttk．由2AMAN可得22221216133tkktktkkt，整理可得23632kktk．因为椭圆的焦点在x专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5轴上，所以3t，即236332kktk，整理可得231202kkk，解得322k．【点评】对于第（2）问，我们能找到的不等式只有3t．如果能用t去表示k，就可以通过代数法求出k的取值范围；如果能用k去表示t，就可以通过不等式法求出k的取值范围．模块2练习巩固整合提升练习1：如图，设抛物线22ypx（0p）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于1AF．（1）求p的值；（2）若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【解析】（1）依题意，抛物线上的点A到1x轴的距离等于点A到焦点F的距离，由抛物线的定义可得2p．（2）由（1）可知抛物线的方程为24yx，1,0F．设点11,Axy（10y，12y），22,Bxy，3,0Mx，因为直线AF不垂直于x轴，所以可设直线AF的方程为1ykx（0k），其中2121124yykxxyy．联立214ykxyx，消去x可得2440yyk，所以124yy，12144yky．直线FN的方程为11yxk，直线BN的方程为2yy，所以点N的坐标为221,kyy．因为A、M、N三点共线，而311,AMxxy，21211,ANkyxyy，所以31211211xxyyykyx，解得2121131221121122441ykyxyxxyyyy．因为210,44,y，所以M的横坐标的取值范围是,02,．练习2：椭圆M：22221xyab（0ab）的离心率为32，直线xa和yb所围成的矩形ABCD的面积为8．专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6（1）求椭圆M的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）设直线l：yxm（mR）与椭圆M有两个不同的交点P、Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S、T，求PQST的最大值及取得最大值时m的值．【解析】（1）32cea，所以22234aba…①．因为矩形ABCD面积为8，所以228ab…②．由①②解得2a，1b，所以椭圆M的标准方程是2214xy．（2）联立2244xyyxm，消去y可得2258440xmxm．设11,Pxy，22,Qxy，由22264204480160mmm得参数m的取值范围是55m．由弦长公式可得22212280164211555mPQxxm．当l过2,1点时，1m；当l过2,1点时，1m．①当51m时，有1,1Sm，2,2Tm，所以23STm，于是224553PQmSTm，令3tm，则244615PQSTtt．当134t，即43t时（此时55,13m），PQST取得最大值255．②由对称性可知，当15m时，则当53m时，PQST取得最大值255．③当11m时，22ST，2255PQmST，所以当0m时，PQST取得最大值255．综上所述，PQST的最大值为255，此时m的值为53和0．练习3：如图，点0,1P是椭圆1C：22221xyab（0ab）的一个顶点，1C的长轴是圆2C：224xy的直径．1l、2l是过点P且互相垂直的两条直线，其中1l交圆2C于A、B两点，2l交椭圆1C于另一点D．专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7（1）求椭圆1C的方程；（免费资料公众号学习界的007）（2）求△ABD面积取最大值时直线1l的方程．【解析】（1）由题意得2a，1b，所以椭圆1C的方程为2214xy．（2）由题意知直线1l的斜率存在，设为k，则直线1l的方程为1ykx．因为圆2C：224xy，所以圆心O到直线1l的距离为211dk，所以222432421kABdk．因为12ll，所以直线2l的方程为11yxk．由221144yxkxy消去y，整理得22480kxkx，于是点D的横坐标为284Dkxk，所以22218114DPkPDxxkk．于是△ABD的面积22184324kSABPDk．令243kt，则3t，2234tk，于是23232321613131313213tSttt，当且仅当13t，即102k时等号成立，所以直线1l的方程为1012yx．【点评】AB与PD都是弦长，但是其计算的方法不相同．AB是圆当中的弦长，用垂径定理进行计算；PD是椭圆当中的弦长，用弦长公式进行计算．对于228434kSk的表达式，其特点有两个，一是分式，二是分母的最高次数是分子的最高次数的两倍．具有这种特点的分式，其常用的方法是将分子看成一个整体进行换元，再利用均值不等式求最值或利用对勾函数求取值范围．练习4：如图，O为坐标原点，椭圆1C：22221xyab（0ab）的左右焦点分别为1F、2F，离心率为1e；双曲线2C：22221xyab的左右焦点分别为3F、4F，离心率为2e，已知1232ee，且2431FF．（1）求1C、2C的方程；专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8（2）过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与2C交于P、Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．【解析】（1）依题意，221abea，222abea，且22122FFab，22342FFab．因为1232ee，且2431FF，所以222232ababaa，22222431FFabab，由此解得1b，2a，所以椭圆1C的方程为2212xy，双曲线2C的方程为2212xy．（2）由（1）可得11,0F，因为直线AB不垂直于x轴，所以设直线AB的方程为1xny．联立直线与椭圆方程，可得222210nyny，则222ABnyyn，212AByyn，即22Mnyn．因为,MMMxy在直线AB上，所以2222122Mnxnn，于是直线PQ的方程为MMyyxx，即2nyx．联立直线PQ与双曲线可得222202nxx，解得2242xn，2222nyn．于是220n，所以22n．而22224222nPQxyn．设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，于是22224AABBnxynxydn．因为A、B在直线PQ两侧，所以220AABBnxynxy，于是22224AABBnxynxydn．又因为A、B在直线1xny上，所以22222222224122212222444ABnnnnyynndnnn，所以四边形APBQ面积221122222nSPQdn，令22nt，则222nt且02t，于是专题七圆锥曲线中的最值与范围原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！923221St，由此可知S在0,2上单调递减，所以当2t，即0n时，四边形APBQ面积取到最小值2．（免费资料公众号学习界的007）