数学讲义

12020高三数学复习讲义一.函数的思维特征（1）如何理解y=f(x)是奇函数?如何理解y=f(x)是偶函数?（2）函数y=f(2x−1)是奇函数，如何用数学表达式表示？（3）如何理解y=f(x)满足f(x+a)+f(a−x)=2如何表示函数y=f(x)图象关于点A(a,b)中心对称？（4）写出下列函数几何特征的代数形式①y=②y=f(2x−1)的图象关于点(1,−1)为中心对称2f(x)的图象关于点(−1,2)成中心对称.③若函数y=f(x)满足f(x+1)+f(1−x)=2，如何理解其含义？（5）如何理解y=f(x)满足f(a+x)=f(a−x)？（6）若y=f(x)的图象关于直线x=1对称，怎样用代数的符号语言表示呢？（7）若函数y=f(2x−3)是偶函数，则其数学表达式为.（8）函数y=f(2x−1)的图象关于直线x=−1对称，2则其数学表达式为.2（9）若y=f(x)满足f(x+1)=f(1−x)，其含义如何理解？（10）如何理解“函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称”?（11）已知函数f(x)的定义域为R，g(x)=[f(x)−f(−x)](x2+ax−a).若存在函数f(x)，使得函数g(x)有且只有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.（12）函数f(2x+1)是R上的偶函数，求y=f(2x)的对称轴.（13）如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P（x,y)的轨迹方程是y=呢？f(x)，则f(x)的最小正周期为为多少（14）函数y=f(2x−3)的最小正周期为2，如何用数学表达式表示？（15）若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px−p)，2则f(x)的一个正周期为.（16）若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px−p)，2则f(px)的一个正周期是.（17）若函数y=f(x)满足f(x−1)=f(x+1)，怎么理解？若函数y=f(x)满足f(x−1)=−f(x+1)，怎么理解？（18）若函数y=f(x)满足f(x−1)+f(x+1)=2，则y=f(x)有什么性质呢？（19）函数f(x)定义在R上，f(x+2)=1f(x).若f(1)=−5，则f(f(5))=（20）已知y=f(x)，xR，满足f(x+3)=−f(x)，且图象关于(−3,0)成中心对称，进一步分析函数y=24f(x)的性质（21）已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则g(x)+g(−x)的值（22）函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x−1)都是奇函数，则()3A.f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.f(x)=f(x+2)D.f(x+3)是奇函数（23）函数f(x)在(−,+)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1f(x−2)1的x的取值范围是A．[−2,2]B．[−1,1]C．[0,4]D．[1,3]（24）设函数f(x)=Asin(x+)，A0,0.若f(x)在区间[π,π]上具有单调62性，且fπ=f2π=−fπ，则f(x)的最小正周期为.236（25）.已知函数f(x)=Acos(x+)的图象如图所示，f()=−2，则23①f(0)=②f()=6（26）y=f(x)与y=f(−x)的函数关系是什么？图像特征是什么？（27）f(x+1)与f(1−x)的函数关系是什么？图像特征是什么？（28）y=f(x−1)与y=f(1−x)的函数关系是什么？图像特征是什么？（29）函数y=f(x)的图象与函数y=f(x+1)的图象的关系是什么？为什么？函数y=f(x)的图象与函数y=f(x−1)的图象的关系是什么？为什么？（30）函数y=sin2x的图象与函数y=sinx的图象是什么关系？函数y=sinx的图象与函数y=sinx的图象是什么关系？2（31）若函数y=g(x)与f(x)=sin(x−)的图像关于直线x=1对称，43求当x[0,4]时y=g(x)的最大值．3（32）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x(0,1]时，34−33f(x)=x(x−1).若对任意x(−,m]，都有f(x)8，则m的取值范围是997A．−,4B．−,58C．−,2D．−,二、平面解析几何的思维特征1.若直线x+y=1通过点M(cos，sin)，则（）abA．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．1a2+1≤1b2D．1a2+1≥1b2222.已知圆C:(x−3)+(y−4)=1和两点A(−m,0)，B(m,0)(m0)，若圆C上存在点P，使得APB=90o，则m的最大值为.3.如何理解“直线x+my=0与直线mx−y−m+3=0交于点P”4.如何理解“平面内到A(3,0)的距离为1的直线”？如何理解“平面内到A(3,0)的距离为1，到B(0,4)的距离为2的直线”？5.如果圆C:(x−m)2+(y−2m)2=4总存在两点到原点距离为1，求实数m的取52222值范围.6.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y=2x−4.设圆C的半径为1，圆心在l上.若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.7.过点M（4，2）任作互相垂直的两条直线l1和l2，分别与x轴、y轴交于A,B两点，线段AB中点为P，求OP的最小值.8.在平面直角坐标系中，记d为点P(cos,sin)到直线x−my−2=0的距离.当，m变化时，d的最大值为（）.（2018数学理科北京卷）A.1B.2C.3D.49.直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点（其中a,b是实数），且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（）A．+1B．2C．D．−110.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为11.如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设CP=x，△CPD的面积为f(x).则f(x)的定义域为；f'(x)的零点是.ACPB12.满足条件AB=2,AC=BC的三角形ABC的面积的最大值D26PFPA13.直线y=kx+1与椭圆x5y2+=1恒有公共点，求m的取值范围.m14.已知抛物线C:y2=4x焦点为F，点P在C上的动点，A(−1,0)，则=min15.能够使得命题“曲线x4y2−=1(a0)上存在四个点P，Q，R，S满足四a边形PQRS是正方形”为真命题的实数a的取值范围是.三、函数问题的研究方法1.设偶函数f(x)满足f(x)=2x−4(x0)，若f(x−2)0，求x范围.2.比较In，1e，In这三个实数的大小，说明理由.x2+4x,x03.已知函数f(x)=24x−x,，x0①若f(2−a2)f(a),则实数a的取值范围.②若f(2−a2)+f(a)>0,则实数a的取值范围.21−x,x14.设函数f(x)=1−log2x,x1，则满足f(x)2的x的取值范围是A．[−1，2]B．[0，2]C．[1，+）D．[0，+）ex−1x15.设函数f(x)=1，则使得f(x)2的x的取值范围是.x3x16.已知函数f(x)=x2−cosx,对于[−,]上的任意x,x,有如下条件:221222①x1x2②x1x2③|x1|x2,其中能使f(x1)f(x2)恒成立的条件序号是.7.已知函数f(x)=In(1+x)−11+x2，若f(x)f(2x−1)，求x的取值范围.222744−8.已知函数f(x)=ax3−3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x，且x＞0，则a的取00值范围为.9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=1(x−a22+x−2a2−3a2).若xR,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为10.已知：f(x)=sinx+cosx+tanx在x−1,1上,有f(x)cosxf(x)min=m.求M+m的值.12.画出下列函数的示意图：max=M，y=xsinxx[−,]②e+ey=Inxxy=22ex−x−e−x③x13.研究函数性质并画示意图：①y=xex；②f(x)=.exx14.画下列函数的示意图：①研究函数f(x)=ex(2x−1)性质，画出其示意图.②研究函数f(x)=ex(2x+1)性质，画出其示意图.③研究函数f(x)=(2x−x2)ex性质，画出其示意图.④研究函数f(x)=ex−In(x+1)性质，画出其示意图.⑤研究函数f(x)=1−xex性质，画出其示意图.1+x2f(x)=2x−b⑥研究函数性质，画出其示意图.(x−1)215.设函数f(x)=ex(2x−1)−ax+a，其中a1，若存在唯一的整数x使得f(x)0，00则a的取值范围是333333A．−,12eB.,2eC.,2eD.2e,1822四、平面解析几何的研究方法1.曲线C是平面内与两个定点F1(−1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；(a1)的点1③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于2其中，所有正确结论的序号是.a2.2.双曲线xy2−=1，右支上一点M，F1F2M的内切圆与x轴切于P点，169则PF1−PF2的值是3.已知动圆P过定点A(−3,0),并且在定圆B:(x−3)2+y2=64的内部与之相切，求动圆圆心P的轨迹方程.4.已知双曲线C:x−y2=1，O为坐标原点，F为曲线C的右焦点，过F的直线与曲线3C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则MN=（）.3A.B.3C.22D.4x2y25.已知F1，F2是椭圆C:+a2b2=1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PFF为等腰三角形，FFP=120o，则C的离心率61212为.6.如果直线y=kx−1与圆x2+y2+kx+my−4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+y=0对称，则m+k=.7.已知双曲线x2y2−=1的右支上恰好有两点到O（坐标原点）、F（右焦点）的距离相a2b2等，则双曲线的离心率e的取值范围是（）.A.1eB.eC.1e2D.e2x28.点P在左右焦点分别为F1,F2的双曲线y2−=1上，若PF1=9,则PF2=9.双曲线x2−y2=1右支上有一点P(a,1620b)，到直线y=x的距离为，求a+b的值.332222910.已知椭圆xy2+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若点P，F1，F2169是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为.11.已知椭圆C:xy2+=1.确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m，曲线C上43有两个不同的点关于该直线对称.12.抛物线y2=2px(p0)上存在两点A，B关于直线l:y=−x+1对称，求p的取值范围.13.已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60o时，求菱形ABCD面积的最大值.2214.点P在抛物线y2=x上，点Q在(x−3)+yx2=1上，求PQmin.15.已知y=4与直线l:y=kx+a(a0)交于M，N两点，问：y轴上是否存在点P，当k变化的时候，总有OPM=OPN?16.已知椭圆C:x2+2y2=9，点P(2,0).过(1,0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设MN的中点为T，判断TP与TM的大小，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论.17.设A，B分别为椭圆C:xy2+=1的左、右顶点，设P为x=4上不同于点(4,0)的43任意一点，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N.证明：点B在以MN为直径的圆内.x2y2318.设F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P1,.过右焦点F2的直432线l与椭圆相交于A，B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.222