非线性理论由一阶微分方程开始,通过讨论解的存在性、求解办法、解的行为特征等,经由微分方程组、矩阵形式的微分方程,讨论了由微分方程
表
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示的系统对应的解的行为,给出了在给定微分方程时,结合初始条件,
分析
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系统走向的
方法
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。
实际中时变的现象或者过程的
数学
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描述,依赖于微分方程。当这个过程有不止一个影响因素时,这个数学模型表现为多变量的微分方程组。如果这几个影响因素之间也相互影响,模型表现为一个有耦和的微分方程组,即一个变量的微分由包含其他变量的函数表示。根据微分方程的形式,可以对系统做出划分,这些划分可以初步地表现系统的一些性质,比如,用自治微分方程表示的系统,其中的变量变化速度与时间无关,即这是一个没有加速度的系统,所有的变量以各自恒定的速度变化,对每个变量,速度只在空间上有差别。
一个微分方程表达的数学模型是否可以真实得反映一个系统,首先的判断是方程是否有解,因为一个确定无解的方程对描述实际的系统没有意义。这就是解的存在性判断。在有解的前提下,还需要判断解的唯一性,对某个给定条件,是否可以确定唯一的解,或者至少是否能在某个局部区域得到唯一解,这是可以根据初始条件明确推测系统行为的前提。针对每一类方程(按照形式或其中某部分的形式分类),都有相应的存在——唯一性定理,可以作为判断的依据。这些方程的分类彼此之间也有涵盖,所以这些存在唯一性定理也可以通过一些相应的倒换或条件变化彼此联系。
在确定了解的存在性之后,微分方程的第二个重要问题是求解。简单的微分方程可以直接求出解析解。从一般的一阶微分方程起,每个类型的方程对应一类相对固定的解法,高阶的微分方程能够写出解析解的不多,针对这些类型也有相应的求解公式。耦合系统的方程求解比较复杂,可以化为无耦合系统求解后再转化为原来坐标下的藕和系统解。
不能给出解析解或解析解过于复杂的系统,有两种处理办法。一是数值求解。另一种是借助几何的方式定性分析解的行为。对不少实际问题,这种定性分析都可用满足我们了解系统的期望,通常借用的手段是相图、分叉图,结合奇点的类型和稳定性分析,可以得到关于系统变化方式、走向、平衡状态和稳定性的信息。
在历史上,随着数学和科技的发展,人们对自然的认识、把握、控制能力增强,前人们一度认为,如果根据系统足够多的信息给定系统的模型,结合系统在这些点的值,就可以完全掌握这个系统的变化,准确的回溯这个系统的历史,并且预言它在今后任何时间点的表现。从这个观点上看,世界不但是可知、绝对可知的,而且是完全确定的,一个过程一旦开始,在不引入也不减少影响因素的情况下,就会经由唯一确定的变化过程,导向唯一确定的结果。并且,即使这些因素发生了变化,那么仅仅是增加了系统表达的复杂程度,由于所有的过程都是可知的,因此这些因素的变化和对系统的影响也可以被确定。也就是说,即使在系统运行的中途,影响因素的数量发生了变化,系统会偏离之前的运行轨道,但它的全部轨迹仍然是完全可知的,系统仍然可以被准确的回溯和预言。
但是数学更新的发展告诉我们的是,这样的设想很可能并不会发生。除去现实中影响因素的复杂性和不确定性,即使确定了某个系统的影响因素和数学模型,这个系统也可能不仅有多于一种的变化方向,而且这个变化可能完全无法预知。一个确定系统的结果很可能不是确定的,而是一系列不确定性的合作用,系统实际的运行轨迹,是在某个程度的确定性之上的,类似随机变化的过程。“某个程度的确定性”允许我们对系统的发展做出推测,并且我们对于系统的了解越多,
这个推测与系统实际轨迹的符合就可能越好;但是“随机过程”同时表明,这个推测的成立是有条件、有范围的、有程度的。
混沌是确定的非线性动力系统中出现的类似随机的现象。它不考虑系统本身的随机项或随机系数,由确定的动力系统出发,反映的是当初值产生微小变化时,系统长期运动的无法预测,即系统对初值的依赖十分敏感。在这种条件下(确定性系统),系统的短期行为仍然是准确可知的,因此它的长期运动虽然不可预测,但是这种不可预测有潜在的规律,也就是说,虽然系统有无数可能的混乱的轨道,但是它们是有序的,仍然遵循一定的规律。
就混沌体现的系统对初值的敏感依赖来说,混沌反映的不是确知某点信息时,系统由随机因素导致的不确定性,而是对于系统在某点的状态,当我们的认知(测量等)跟真实值存在一个微小误差的时候,由这个小误差导致的系统长期行为的不确定。它反映的问题是,如果系统本身是确定的,实测值的误差会造成系统的不可知。它跟随机因素造成的不确定性的区别在于,由于系统是由明确方程给出的,如果能够得到某点处的真实值,就可以通过这个值预知系统的行为,而物理测量值跟真实值总是存在误差,这个误差使得带入运算的初值根真实的初值有小的变化,虽然这个测量值仍然可能从方程中导出确定的结果,但是长期来看,这个结果跟真实情况的差别无法估计。
由此,一个真实系统的不确定性是有两个方面的因素造成的,一是系统本身的随机性,这使我们不能得出一个关于系统变化的确定性方程;另一方面是对于测量误差的敏感性,对于一个确定方程表达的复杂系统,即使能够把误差限制在一个可确定的小范围内,得到的长期结果也会有无数可能性,并且很可能无法判断哪个结果会跟实际值最接近。
一个真实系统不能被完全掌握,但也并不是完全不可知。就确定性方程表达的系统来说,虽然误差对长期结果有很大影响,但在短期上,仍然可以做出基本准确的预测;另外,长期结果的不确定性中还蕴含有一定的规律,这也可以让我们了解长期结果的某些信息。确定方程的非线性系统研究,对于我们了解世界的能力,非常重要。
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