2003 ~2004学年 第2学期
数值分析试题A评分标准及标准
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
班级_______ 学号_______ 姓名_______
一、 填空题(每题3分，共30分)
1. 设x=2.40315是真值x*=2.40194的近似值，则x有__3__位有效数字，相对误差限为0.51*10-3.
2. 拉格朗日插值多项式基函数的和
＝__1__.
3. 均差与导数的关系
f[x0,…,xn] =f(n)(ξ)/n!.
4. 勒让德多项式
，是否为正交多项式是.
5. n+1个点插值型求积
公式
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的代数精度至少是 __n__.
6. 求高次非线性方程近似解的弦截法的收敛阶为___1.618___.
7. 牛顿－柯特斯求积公式的系数和
_____1______.
8. 设下x=(1,-1,1)T，
，则
＝
.
9. 设
，则
＝__7__.
10. 设
,则A的普半径ρ(A)为
.
二、 计算机题(每题9分，共54分)
1. 已知实验数据如下：
xi
19
25
31
38
44
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式.
………………………………….2分
另
r=(a+b*192-19)2+(a+b*252-32.3)2+ (a+b*312-49)2
+ (a+b*382-73.3)2+ (a+b*442-97.8)2
…………………………………….6分
a=0.9726046,b=0.0500351.
…………………………………….9分
2. 当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4, 用二次拉格朗日插值多项式L2(x)近似计算sin(0.34).
L2(x)＝5x2/6+3x/2-7/3
…………………………………….5分
Sin(0.34)≈L2(0.34) =－1.702
…………………………………….9分
3. 用复化梯形公式计算定积分
的近似值T8和T4,然后再用加速公式S=(4/3) T8-(1/3)T4进行加速.
解：
f(x)=x/(4+x2)
T4={f(0)+2[f(1/4)+ f(1/2)+ f(3/4)]+f(1)}/8=0.11089
T8={f(0)+2[f(1/8)+ f(1/4)+ f(3/8)+ f(1/2)+ f(5/8)+
f(3/4)+ f(7/8)]+f(1)}/16=0.11140
…………………………………….6分
S=(4/3) * T8-(1/3)*T4=0.11157
…………………………………….9分
4. 用二分法求方程
f(x)=x3-x-1=0
在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限ε=10-2.
解：f(1)=-1, f(1.5)=0.875
要使误差限ε=10-2，需要二分法迭代次数
n>(ln(1.5-1)-ln10-2)/ln2=5.64
因此，n=6
…………………………………….4分
x1=1.25, x2=1.375, x3=1.3125, x4=1.34375, x5=1.328125, x1=1.3203125.
…………………………………….9分
5. 已知Ax=b的系数矩阵和右端向量分别为：
，
写出矩阵A的LU分解，其中L为对角线为1的下三角矩阵，U为上三角矩阵，并求线性方程组的解.
解： L=
，
…………………………………….4分
x1=2, x2=2, x3=3
…………………………………….9分
6. 设Ax=b，其中：
，
问：(1)Jacobi迭代是否收敛？
(2)取迭代初值x(0)=(0,0,0)T，求Jacobi迭代两次后的近似解.
解：(1)Jacobi迭代矩阵
J=D-1(L+U)=
…………………………………….2分
Jacobi迭代矩阵的特征方程为
λ1＝0，λ2＝
，λ3＝－
谱半径ρ(J)=
<1
所以Jacobi迭代收敛
…………………………………….5分
(2)迭代公式为
将x(0)=(0,0,0)T代入得
,
,
,
,
…………………………………….9分
三、 证明题(每题8分，共16分)
1. 设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式
x(k+1)=x(k)+ω(b－Ax(k)), k=0,1,2,…
试证明当0<ω<2/β时上述迭代法收敛(其中
0<α≤λ(A)≤β).
证明：
迭代格式x(k+1)=x(k)+ω(b－Ax(k)) 可改写为等价形式：
x(k+1)=(I- ωA)x(k)+ ωb
收敛矩阵为：
B= I- ωA
因λ为A的特征值，所以，存在特征向量y,满足：
Ay=λy
所以，ωAy=ωλy，即
(I- ωA)y=(1-ωλ)y
所以1-ωλ为B的特征值
…………………………………….4分
因为0<ω<2/β和0<α≤λ≤β
A对称正定所以λ>0
0<ωλ<2，即|1-ωλ|<1
矩阵B的谱半径ρ(B)<1
故该迭代格式收敛.
…………………………………….8分
2. 已知解常微分方程初值问题
的数值公式如下：
证明该公式是二阶的.
证明：
只需要证明Tn+1=O(h3)即可
…………………………………….2分
由Tn+1的定义知：
Tn+1=y(xn+h)-y(xn)-h[f(xn+th, yn+thf(xn ,yn))]/2
-h[f(xn+(1-t)h, yn+(1-t)hf(xn ,yn))]/2
y(xn+h)= y(xn)+hy’(xn)+h2y’’(xn)+O(h3)
f(xn+th, yn+thfn)= fn+
( xn, yn)th+
( xn, yn)thfn+O(h2)
f(xn+(1-t)h, yn+(1-t)hfn)=
fn+
( xn, yn)(1-t)h+
( xn, yn)(1-t)hfn+O(h2)
Tn+1=O(h3)
…………………………………….8分
浙公网安备 33021202002483