北京市高中数学创新题汇总含答案

北京市高中数学创新题汇总含答案1、（2011丰台二模理14）．如图所示，∠AOB=1rad，点Al，A2，…在OA上，点B1，B2，…在OB上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M从O点出发，沿着实线段和以O为圆心的圆弧匀速运动，速度为l长度单位／秒，则质点M到达A3点处所需要的时间为__秒，质点M到达An点处所需要的时间为__秒．2、（2011顺义二模理14）.给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合为闭集合，则为闭集合；④若集合为闭集合，且,则存在,使得.其中正确结论的序号是______②④__________________.3、（2011昌平二模文14）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数=的定义域为，最大值是；②函数=在上是增函数；③函数=是周期函数，最小正周期为1；④函数=的图象的对称中心是（0，0）.其中正确命题的序号是___①③_______4、（2011朝阳二模文8）已知点是的中位线上任意一点，且.设，，，的面积分别为，，，，记，，，定义．当取最大值时，则等于(A)（A）（B）（C）（D）5、（2011丰台二模文14）如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，以A为圆心，AD长为半径画弧，交BA的延长线于P1，然后以B为圆心，BP1长为半径画弧，交CB的延长线于P2，再以C为圆心，CP2长为半径画弧，交DC的延长线于P3，再以D为圆心，DP3长为半径画弧，交AD的延长线于P4，再以A为圆心，AP4长为半径画弧，…，如此继续下去，画出的第8道弧的半径是_8__，画出第n道弧时，这n道弧的弧长之和为_6、（2011顺义二模文14）给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合为闭集合；②集合为闭集合；③若集合为闭集合，则为闭集合；其中正确结论的序号是____②______.7、1、(2011朝阳二模理20)（本小题满分14分）对于正整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.（Ⅰ）存在，使得，试求的值；（Ⅱ）求证：不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则；（Ⅲ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称为“和谐集”.求最大的，使含的集合的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.（Ⅰ）解：因为,所以.       ……………………………………2分（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.设，，，，由已知,由于，所以，.不妨令，，这里，且，同理，，且，因为只有三个元素，所以.即，但是，与已知矛盾.因此假设不成立，即不存在这样的函数，使得对任意的整数，若，则.……………………………………8分（Ⅲ）当时，记，记，则，显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.同样的，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此.　……………………………………10分下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上所述，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.                     ……………………………………14分2、（2011丰台二模理20）.（本小题共13分）用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．解：（Ⅰ）由已知知．所以．………………4分（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，所以我们可设计如下表格12345‥‥1‥‥ ‥‥2‥‥  3‥‥‥‥  4‥‥‥‥  5‥‥‥‥  从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．且‥‥所以．………………8分（Ⅲ）任取，，若，则必有．即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，则，即，所以，同理，第二行共有的数不大于，有，第行共有的数不大于，有．所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．………………13分3、（2011海淀二模理20）(本小题共13分）对于数列，若满足，则称数列为“0-1数列”.定义变换，将“0-1数列”中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0.例如:1,0,1，则设是“0-1数列”，令.(Ⅰ)若数列：求数列；(Ⅱ)若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；(Ⅲ)若为0，1，记数列中连续两项都是0的数对个数为，.求关于的表达式.解：(Ⅰ)由变换的定义可得…………………………………2分…………………………………4分(Ⅱ)数列中连续两项相等的数对至少有10对…………………………………5分证明：对于任意一个“0-1数列”，中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1，在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对，所以中至少有10对连续相等的数对.  …………………………………………………………8分(Ⅲ)设中有个01数对，中的00数对只能由中的01数对得到，所以，中的01数对有两个产生途径：由中的1得到；由中00得到，由变换的定义及可得中0和1的个数总相等，且共有个，所以，所以，由可得，所以，当时，若为偶数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足若为奇数，上述各式相加可得，经检验，时，也满足所以……4、（2011西城二模理20）.（本小题满分13分）若为集合且的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或.…………………则称集合组具有性质.如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为.（Ⅰ）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；集合组1：；集合组2：.（Ⅱ）当时，若集合组具有性质，请先画出所对应的行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合；（Ⅲ）当时，集合组是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的个数）（Ⅰ）解：集合组1具有性质.                 ………………1分所对应的数表为：………………3分集合组2不具有性质.                   ………………4分因为存在，有，与对任意的，都至少存在一个，有或矛盾，所以集合组不具有性质.    ………………5分（Ⅱ）……………7分.        ………………8分（注：表格中的7行可以交换得到不同的表格，它们所对应的集合组也不同）（Ⅲ）设所对应的数表为数表，因为集合组为具有性质的集合组，所以集合组满足条件①和②，由条件①：，可得对任意，都存在有，所以，即第行不全为0，所以由条件①可知数表中任意一行不全为0.………………9分由条件②知，对任意的，都至少存在一个，使或，所以一定是一个1一个0，即第行与第行的第列的两个数一定不同.所以由条件②可得数表中任意两行不完全相同.………………10分因为由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的元有序数组，共有个，又因数表中任意两行都不完全相同，所以，所以.又时，由所构成的元有序数组共有个，去掉全是的数组，共个，选择其中的个数组构造行列数表，则数表对应的集合组满足条件①②，即具有性质.所以.                        ………………12分因为等于表格中数字1的个数，所以，要使取得最小值，只需使表中1的个数尽可能少，而时，在数表中，的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；的个数为的行最多行；因为上述共有行，所以还有行各有个，所以此时表格中最少有个.所以的最小值为.………………14分5、（2011昌平二模文20）(本小题满分14分)已知函数，在定义域内有且只有一个零点，存在，使得不等式成立.若，是数列的前项和.（I）求数列的通项公式；（II）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数，令（n为正整数），求数列的变号数；（Ⅲ）设（且），使不等式恒成立，求正整数的最大值．解：（I）∵在定义域内有且只有一个零点……1分当=0时，函数在上递增故不存在，使得不等式成立    ……2分综上，得  …….3分…………4分（II）解法一：由题设时，时，数列递增由可知即时，有且只有1个变号数；又即∴此处变号数有2个综上得数列共有3个变号数，即变号数为3     ……9分解法二：由题设当时，令又时也有综上得数列共有3个变号数，即变号数为3          …………9分（Ⅲ）且时，可转化为．设，则当且，.所以，即当增大时，也增大．要使不等式对于任意的恒成立，只需即可．因为，所以.   即所以，正整数的最大值为5．6、（2011朝阳二模文20）（本小题满分14分）对于整数，存在唯一一对整数和，使得，.特别地，当时，称能整除，记作，已知.（Ⅰ）存在，使得，试求，的值；（Ⅱ）若，（指集合B中的元素的个数），且存在，，，则称B为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”和一个含有元素8的非“谐和集”，并求最大的，使含的集合有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.（Ⅰ）解：因为，所以.  ………………………2分又因为，所以.……………………………4分（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”.…5分含有元素8的一个非“和谐集”.…7分当时，记，，记，则.显然对任意，不存在，使得成立.故是非“和谐集”，此时.同理，当时，存在含的集合的有12个元素的子集为非“和谐集”.因此.　…………………………………………………10分下面证明：含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”.设，若1，14，21中之一为集合的元素，显然为“和谐集”.现考虑1，14，21都不属于集合，构造集合，，，，，.…12分以上每个集合中的元素都是倍数关系.考虑的情况，也即中5个元素全都是的元素，中剩下6个元素必须从这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合中至少有两个元素存在倍数关系.综上，含7的任意集合的有12个元素的子集为“和谐集”，即的最大值为7.               …………………………………………7、（2011西城二模文20）（本小题满分13分）若函数对任意的，均有，则称函数具有性质.（Ⅰ）判断下面两个函数是否具有性质，并说明理由.①；②.（Ⅱ）若函数具有性质，且（），求证：对任意有；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否对任意均有.若成立给出证明，若不成立给出反例.（Ⅰ）证明：①函数具有性质.……………1分，因为，，                ……………3分即，此函数为具有性质.②函数不具有性质.                ……………4分例如，当时，，，……………5分所以，，此函数不具有性质.（Ⅱ）假设为中第一个大于的值，  ……………6分则，因为函数具有性质，所以，对于任意，均有，所以，所以，与矛盾，所以，对任意的有.         ……………9分（Ⅲ）不成立.例如               ……………10分证明：当为有理数时，均为有理数，，当为无理数时，均为无理数，所以，函数对任意的，均有，即函数具有性质.                  ……………12分而当（）且当为无理数时，.所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意均有”不成立.……………13分（其他反例仿此给分.如，，，等.）