5.3协变（逆变）基底矢量导数在曲线坐标系中，在位置矢量x=xiii处的自然协变和逆变基底矢量是x的矢量函数：（5.3-1）当位置矢量x处的张量在曲线坐标系的自然基底上表示时（如。即需要确定：），对张量的分析涉及到自然基底的导数为书写简明，记：（5.3-2）因为是矢量，且可以在协变基底上线性表示，因此有：（5.3-3）式中是矢量或称为rk上的坐标）。同理，在协变基矢量rk上的线性表示系数（也可以在逆变基底上线性表示为：（5.3-4）定义：（5.3-5）式中称为第一类和第二类Christoffel符号。由Chris-toffel符号，矢量可表示为：（5.3-6）两个基本关系：1．2．（5.3-7a）（5.3-7b）证：1．∵∴2．∵∴证毕。例9：证明：（5.3-8）证：∵∴又∵∴Christoffel符号基本性质：1．（5.3-9）2．（5.3-10）3．（5.3-11）证：1．∵∴2．同理有：∴∵∴3．∵∴对一般曲线坐标系（5.3-6）和（5.3-8）式给出了协变基矢量和逆变基矢量的曲线坐标偏导数。当曲线坐标系是正交曲线坐标系时。由于：因此有：由（5.3-10）式得：（5.3-12）（5.3-13）将当i,j,k=1,2,3时的值用h1,h2,h3表示时有：（5.3-14）（5.3-15）（5.3-15）例10：试求柱坐标：（式中）的解：∵由（5.3-14）、（5.3-15）式得，除的偏导数为1外，其余的偏导数均为零。∴由（5.3-6）式：得：例11：试求球坐标：（式中）的解：∵由(5.3-154)式得，除偏导数分别为外，其余的偏导数均为零。∴的其它取值。由（5.3-6）式：得：5.4曲线坐标系张量场分析在4.5中给出了标准正交坐标系中的张量场分析。本节将在曲线坐标中讨论张量场的绝对微分和绝对导数。一、曲线坐标系中标量场梯度设是曲线坐标的标量值函数。若记：则在方向上增加时，函数的增量为：设l为曲线坐标系中一单位矢量。且：∵∴定义：则：∵∴（5.4-1）该式与(2.4-20)比较可知，该式就是曲线坐标系中标量场沿l方向的方向导数。与（2.4-21）式对应的（Hami-lton）算符为：（5.4-2）对任意：（5.4-3）称为曲线坐标系函数f的梯度（或称绝对导数）。（5.4-4）称为曲线坐标系函数f的绝对微分。例12：设{o;i1,i2,i3}是参考标准正交坐标系。是曲线坐标。r是位置矢量。即r=xiii。试求dr=？解：∵∴例13：证明：式中。证：∵∴(5.4-2)式的算符是一般曲线坐标系的算符。对正交曲线坐标系，由(5.2-14)式：将上述三个表达式代入（5.4-2）式得正交曲线坐系单位长度逆变基矢量表示的算符为：（5.4-5a）（5.4-5b）又由（5.2-15）式：例14：试证明：1．柱坐标：（5.4-6）2．球坐标：（5.4-7）证：1．由例10可知：∴2．由例11可知：∴二、张量场的梯度和散度设A(x)是r阶张量场。{o;i1,i2,i3}是参考标准正交坐标系，{x;r1,r2,r3}和{x;r1,r2,r3}是曲线坐标的自然局部协变和逆变坐标系。则：定义：（5.4-8）（5.4-9）（5.4-10）（5.4-11）分别称为r阶张量A的左梯度、右梯度；左散度和右散度。对r阶张量A，其梯度是r+1阶张量；其散度是r-1阶张量。记：（5.4-12）式中称为A的绝对导数分量。例15：试求二阶张量左梯度、左散度和绝对导数分量。解：（a）（b）（c）显然：例16：证明：证：∵∴又∵由（5.3-7）式：∴例17：第四章例19中给出了标准正交坐标系中小位移梯度的应变位移表达式（几何关系）：试求柱坐标系中的表达式。解：由（5.4-6）式：∵∴同理得：最后得：这一组方程是连续介质力学小位移梯度条件的几何方程的柱坐标形式。例18：试求柱坐标系中：的分量方程解：设∵∴（a）∵∴（b）∵∴（c）∵∴（d）将（b）、（c）、（d）代入（a）式得：最后得：这一组方程是连续介质力学平衡方程的柱坐标形式。例19：证明：式中证：∵∴例20：证明：∵∴证：
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