山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学试题（A）及参考答案

PAGE\*MERGEFORMAT12024届高三第一次质量检测数学试题（A）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上2．作答选择题前，选出每小题 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（）A．B．C．D．12．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A．36B．72C．144D．2883．设，则（）A．84B．56C．36D．284．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为ξ，当时，10名人员均为阴性的概率为（）A．0.01B．0.02C．0.1D．0.25．某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（）A．相关系数r变小B．决定系数变小C．残差平方和变大D．解释变量x与预报变量y的相关性变强6．已知事件A，B满足，，则（）A．若，则B．若A与B互斥，则C．若A与B相互独立，则D．若，则A与B不相互独立7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，，其中，击中奇数次为事件A，则（）A．若，，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着n的增大而增大D．当时，随着n的增大而减小8．已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（）A．B．C．D．二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（）喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：①，，②当时，．A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为8510．随机变量ξ的分布列如 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：其中，下列说法正确的是（）012PxA．B．C．有最大值D．随y的增大而减小11．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取2球全是白球”，则（）A．事件A与事件B相互独立B．C．D．12．已知a，，，，则（）A．对于任意的实数a，存在b，使得f（x）与g（x）有互相平行的切线B．对于给定的实数，存在a，b，使得成立C．在上的最小值为0，则的最大值为D．存在a，b，使得对于任意恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车．现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为______．14．若，则______．15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______．（结果用分数表示）附参考数据：，；16．若，则实数m最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律?（2）记，，其中为预测值，为观测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立?若成立加以证明：若不成立说明理由．参考数据及公式：，，，，．18．（12分）已知函数，，其中．（1）讨论方程实数解的个数；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．（1）现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；（2）现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列与数学期望．20．（12分）已知函数有三个零点．（1）求a的取值范围；（2）设函数的三个零点由小到大依次是，，．证明：．21．（12分）5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的正品中随机抽取100件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图．根据大量的产品检测数据．质量指标值样本数据的方差的近似值为100．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值．已知质量指标值不低于70的样品数为25件．（1）求（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若质量指标值在内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；（3）已知该企业的5G生产线的质量控制系统由个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运行生产．若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加?并说明理由．附：，，．22．（12分）已知函数，其中．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若存在两个极值点，，的取值范围为，求的取值范围．2024届高三第一次质量检测数学试题（A）参考答案及评分标准一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）12345678ABACDBCA二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9101112BCABCCDABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．24015．16．3四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由题意得，，，，所以回归直线方程为，令得，即时，儿子比父亲高；令得，即时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势（意思对即可）（2），，，，，所以，又，所以，结论：对任意具有线性相关关系的变量，证明：．18．解：（1）由可得，，令，，令，可得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，方程有两个实数解；（2）由题意可知，不等式可化为，，，即当时，恒成立，所以，即，令，，当时，函数与的图象必有一个交点，设交点的横坐标为，则有，即，①若，当时，函数的图象在的上方，所以，在上单调递增，所以，②若，当时，函数的图象在的下方，，在上单调递减，当，函数的图象在的上方，，在上单调递增，所以，要使当时，不等式恒成立，只需当时，，一方面，令，则在上单调递减，又，所以时，，另一方面，由可得，，令，则在上单调递增，所以当时，，所以时，，综上所述，实数a的取值范围为．19．解：（1）设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品“，由全概率公式，得．（2）X的所有可能取值为30，45，60，75．则；；；．所以X的分布列为30456075X的数学期望（元）．20．【解析】（1）因为定义域为，又，（ⅰ）当，，单调递减；（ⅱ）当，记，，当，；当，，所以在单调递增，在上单调递减，，又，，所以①当，，单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；②当，，由（ⅱ）知，有两个零点，记两零点为m，n，且，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，，则，，所以，，∴，，且x趋近0，趋近，x趋近，趋近，所以函数有三零点，综上所述，；（2），这等价于，即，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，，，，所以，，所以，，则满足，，要证，等价于证，易知，令，则，该函数在上单调递减，在上单调递增，下面证明，由，即证，即证，即证即证，，令，，，令，，，所以，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以原命题得证．21．解：（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以，所以，因为，所以，由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：，（2）由题意知，样本方差，故，所以产品质量指标值，优等品的概率（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若再增加1个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个原件正常运行的概率为，即，因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；假设质量控制系统有偶数个控制单元．设，记该生产线正常运行的概率为，若增加1个元件，则第一类：原系统中至少有上个元件正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个原件正常运行的概率为，即，因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大．22．解：（1）当时，，所以所以，又，所以（2）的定义域是，，，令，则．①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得或；由，得所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减，（3）由（2）当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，，所以在上是减函数．所以，则，令，则，，所以在上单调递减，又，，所以，由，，又，上单调递减，所以且，所实数的取值范围为．