高中数学竞赛
资料
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一、高中数学竞赛大纲全国高中数学联赛全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。全国高中数学联赛加试全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：1.平面几何几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。2.代数周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。函数迭代，简单的函数方程*3. 初等数论同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。4.组合问题圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。二、初中数学竞赛大纲1、数整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。2、代数式综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的
证明
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。3、方程和不等式含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。4、函数二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。5、几何三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。6、逻辑推理问题抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；极端原理的简单应用；枚举法及其简单应用。三、高中数学竞赛
基础知识
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第一章集合与简易逻辑一、基础知识定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合A中，称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∈/A。例如，通常用N，Z，Q，B，Q分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，{x∣∣∣x>0}分别表示有理数集和正实数集。定义2 子集：对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。定义3 交集，A∩B={x∣∣∣x∈A且x∈B}.定义4 并集，A∪B={x∣∣∣x∈A或x∈B}.定义5 补集，若A⊆I,则C1A={x∣∣∣x∈I,且x∈/A}称为A在I中的补集。定义6 差集，A\backslashB={x∣∣∣x∈A,且x∈/B}。定义7 集合{x∣∣∣a
思想
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的应用。例3 A={x∣∣∣x2−3x2=0},B={x∣∣∣x2−axa−1=0},C={x∣∣∣x2−mx2=0}，若A∪B=A,A∩C=C，求a,m.【解】依题设，A={1,2}，再由x2−axa−1=0解得x=a−1或x=1，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以a−1∈A，所以a−1=1或2，所以a=2或3。因为A∩C=C，所以C⊆A，若C=∅，则Δ=m2−8<0，即−221)个抽屉，必有一个抽屉放有不少于m1个元素，也必有一个抽屉放有不多于m个元素；将无穷多个元素放入n个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。【解】记I={1,2,3,⋯,100},A={x∣∣∣1≤x≤100,且x能被2整除(记为2∣∣∣x)}，，由容斥原理，∣∣∣A∪B∪C∣∣∣=∣∣∣A∣∣∣∣∣∣B∣∣∣∣∣∣C∣∣∣−∣∣∣A∩B∣∣∣−∣∣∣B∩C∣∣∣−∣∣∣C∩A∣∣∣∣∣∣A∩B∩C∣∣∣=[2100][3100][5100]−[6100]−[10100]−[15100][30100]=74，所以不能被2，3，5整除的数有∣∣∣I∣∣∣−∣∣∣A∪B∪C∣∣∣=26个。例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S中最多含有多少个元素？【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数，若S含有这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×112，所以S一共至多含有182×52=912个元素，另一方面，当S={r∣∣∣r=11kt,t=1,2,4,7,10,r≤2004,k∈N}时，恰有∣∣∣S∣∣∣=912，且S满足题目条件，所以最少含有912个元素。例8求所有自然数n(n≥2)，使得存在实数a1,a2,⋯,an满足：{∣∣∣ai−aj∣∣∣}∣∣∣1≤i4），则3k>12.在m出现的所有Ai中，至少有一个A中的数出现3次，不妨设它是1，就有集合{1，a1,a2,m,b1}{1,a3,a4,m,b2},{1,a5,a6,m,b3}，其中ai∈A,1≤i≤6，为满足题意的集合。ai必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以k≤4.20个Ai中，B中的数有40个，因此至少是10个不同的，所以n≥16。当n=16时，如下20个集合满足要求：{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，{1，3，4，10，11}，{1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，{1，4，6，13，16}，{1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，{2，3，6，14，16}，{2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，{3，4，5，12，16}，{3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。例10集合{1，2，…，3n}可以划分成n个互不相交的三元集合{x,y,z}，其中xy=3z，求满足条件的最小正整数n.【解】设其中第i个三元集为{xi,y,zi},i=1,2,⋯,n,则12…3n=i=1∑n4zi,所以23n(3n1)=4i=1∑nzi。当n为偶数时，有8∣∣∣3n，所以n≥8，当n为奇数时，有8∣∣∣3n1，所以n≥5，当n=5时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，{10，14，8}满足条件，所以n的最小值为5。
浙公网安备 33021202002483