泉州市2020-2021学年度高二上学期教学质量检测数学试卷及答案

1保密★启用前2020-2021学年度上学期泉州市高中教学质量监测高二数学参考答案与评分细则2021．1一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列{}na中，若162nnan，则4aA．12B．2C．22D．8【命题意图】本题主要考查数列的概念，数列与函数的关系等基础知识，注重基础知识的考查，关注对数学运算等核心素养的考查．【试题简析】4442.162422a故选B．2．已知(135)，，a，(26)x，，b，0ab，则x的取值范围为A．(4)，B．(10)，C．(4)，D．(10)，【命题意图】本题考查空间向量的坐标运算，数量积的运算，解不等式等基础知识，渗透考查化归与转化思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的考查．【试题简析】由0ab可得123650x，解得4x．选A．3．若直线210xy与直线30xay垂直，则aA．2B．12C．12D．2【命题意图】本小题主要考查直线与直线的位置关系等基础知识；考查运算求解等能力；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题简析】因为直线210xy的斜率为2，所以直线30xay的斜率为12，所以2a．选D．4．若椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长是焦距的2倍，则C的离心率为A．12B．55C．22D．52【试题简析】因为短轴长是焦距的2倍，即2bc，所以225abcc，所以55cea．选B．5．记正项等比数列na的前n项和为nS，若34a，425SS，则6SA．2B．21C．32D．63【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式，前n项和公式等基础知识，同时也注重考查数列的性质，体现性质简化运算的思路；考查数列的基本量法、连续相等项和的性质，体现对数学运算等核心素养的考查．【试题简析】解法1：等比数列na为正项数列，所以0q，由425SS，得1q，则424221151SqqSq，解得2q，又34a，所以312414aaq，故666112216312S．故选D．解法2：已知425SS，可设24,5SxSx，因为na是正项等比数列，所以24264,,SSSSS也是等比数列，即6,5,5xxxSx是等比数列，则65444Sxxxx，解得621Sx；又425SS，解得2q，所以332122443,42aaxSaaqq故62121363Sx．故选D．6．已知抛物线2:4Eyx的焦点为F，准线为l，过E上一点P作l的垂线，垂足为M，MF交E于点N，若π6PFM，则||||MNNFA.12B.32C.233D.2【命题意图】本题考查抛物线的定义及标准方程，直线与抛物线的位置关系等基础知识，渗透考查化归与转化思想，数形结合思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的3考查．【试题简析】过点N做NAl交l于A，因为||||PMPF，所以6PFMPMF．因为//PMx轴，所以6PMFMFO．又因为//NAx轴，所以6MNA，所以||223||33MNNA．因为||||NANF，所以||23||3MNNF，故选C．7．三棱锥PABC中，6890ABACBAC，，，若52PAPBPC，则点B到平面PAC的距离为A．32B．304141C．153417D．6【命题意图】本题考查空间中点到平面的距离，多面体的体积等基础知识，渗透考查化归与转化思想，关注对数学运算，空间想象等数学核心素养的考查．【试题简析】依题意可得，P在平面ABC的射影刚好是直角三角形ABC的斜边BC上的中点O，如图中所示，易得5OAOBOCOP.解法一：111(68)540332PABCABCVSOP△，由已知得，等腰三角形PAC的腰52PA，底边8AC，所以22143422PACACSACPA△，记d为点B到平面PAC的距离，则114344033PABCBPACPACVVSdd△，解得153417d.解法二：建立如图空间直角坐标系，(0,0,0),(0,6,0),(8,0,0),(4,3,5)ABCP,(8,0,0),(4,3,5),(0,6,0)ACAPAB，设111(,,)xyzm为平面PAC的一个法向量,4则有00ACAPmm，即1111804350xxyz取(0,5,3)m,B到平面PAC的距离3015341734ABdmm.8．若(0)OAmn，，，4(0)OBpn，，，(040)F，，，1AFm，1BFp，则mp的最小值为A．1B．2C．3D．6【命题意图】本题考查空间直角坐标的运算，解不等式等基础知识，渗透考查化归与转化思想，函数与方程思想，关注对数学运算，直观想象等数学核心素养的考查．【试题简析】由11AFmBFp得，222222(4)214(4)21mnmmpppn，整理得221642()830mpnnnn令4tnn，则222168ntn，且(,4][4,)t所以222()822(4)66mpttt，从而3mp，选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．在无穷数列{}na中，若*pqaapqN，，总有11qpaa，此时定义{}na为“阶梯数列”．设{}na为“阶梯数列”，且141aa，53a，8923aa，则A．17aB．842aaC．101033SD．20201a【命题意图】本小题为数列新概念题，考查从题干中提取有用信息的能力，考查数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养．【试题简析】根据“阶梯数列”的定义知，141aa，有253aa，重复递推，得36aa，471aa，选项A正确；55823aaa，又8923aa，解得92a，则3692aaa，且84331aa，选项B错误；数列{}na各项依次是11a，23a，32a；41a，53a，62a；可知{}na是以3为周期的数列，因此10313211033S，20203673111aaa，选项C，D正确.故选ACD．10.已知双曲线2212:1(0)2xyCbb与椭圆222:184xyC有相同的左右焦点1F，2F，且在第一象限相交于点P，则A.1||2PFB.1C的渐近线方程为yxC.直线2yx与1C有两个公共点D.12PFF△的面积为22【命题意图】本题考查双曲线与椭圆的定义及标准方程，双曲线的渐近线等基础知识，同时渗透对双曲线和椭圆相关性质的考查，考查数形结合思想，化归与转化思想，注重考查数学运算，逻辑推理，直观想象等数学核心素养．【试题简析】因为222:184xyC，所以12||4FF，因为双曲线1C与椭圆2C有相同的焦点，所以2422b，故1C的渐近线方程为yx，所以选项B正确；因为直线2yx与渐近线yx平行，所以直线2yx与1C只有一个公共点，故选项C错误；在12PFF△中，设1||PFm，2||PFn，则4222mnmn，解得：322mn，6即1||32PF，2||2PF，故选项A错误；因为2||2PF，所以2PFx轴，所以121221||||222PFFSFFPF△，故选项D正确．所以答案是BD11．已知(10)A，，(40)B，，圆C：224xy，则以下选项正确的有A．圆C上到B的距离为2的点有两个B．圆C上任意一点P都满足2PBPAC．若过A的直线被圆C所截得的弦为MN，则MN的最小值为23D．若点D满足过D作圆C的两条切线互相垂直，则BD的最小值为422【命题意图】本题主要考查点与圆，直线与圆，圆与圆等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想；关注学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养．【试题简析】因为B到圆C的最小距离为2，所以不存在两个点到B的距离为2，选项A错误；设()Pxy，，22(4)208PBxyx，22(1)52PAxyx，所以2PBPA，选项B正确；因为过A的直线被圆C所截得的最短弦为与AC垂直的弦，所以最短弦为22223rAC，选项C正确；因为点D的轨迹是圆心为(00)，，半径为22的圆，所以BD的最小值为422，选项D正确．所以答案是BCD12．已知图1中，A，B，C，D是正方形EFGH各边的中点，分别沿着ABBCCDDA，，，把ABFBCGCDHADE△，△，△，△向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABCD垂直，再顺次连接EFGH，得到一个如图2所示的多面体，则A．AEF△是正三角形图1图27B．平面AEF平面CGHC．直线CG与平面AEF所成角的正切值为2D．当2AB时，多面体ABCDEFGH的体积为83【试题简析】因为,EF在平面ABCD的射影分别为ABAD，中点,所以在图2中，12EFBD，由图1可知，12AFAEBD，故A正确；对于B和C，解法一，可建立如图空间直角坐标系，设4AC则有(2,0,0),(2,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(1,1,2),(1,1,2)ACEFGH可知，(1,1,2)CG，平面AEF的一个法向量(2,0,1)m，平面CGH的一个法向量(2,0,1)n，10=mn，所以平面AEF和平面CGH不相互垂直，所以B错误；记直线CG与平面AEF所成角为，6sincos,3CGCGCGmmm所以tan2，故C正确；解法二：连接,OEOF，易得,,OCEHFG之间的关系是平行且相等，从而可证得OFCGCHOEEF，且平面//OEF平面CGH，而四面体OAEF为正四面体，由正四面体的性质可知，相邻两个面所成的角的余弦值为13，所以平面AEF和平面CGH不相互垂直，所以B错误；同时，正四面体的侧棱和底面所成角的正弦值为63，从而正切值为2，故C正确；对于D，当2AB时，下底面面积为4，上底面面积为2，高为1，所以所求8多面体的体积为11041(42)133V，故D错误.所以正确答案是AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．圆心为(10)，，半径为2的圆的标准方程是．【试题简析】22(1)4xy．14．已知(2,1,3)a，(1,3,2)b，则cos，ab．【命题意图】本小题主要考查空间向量的坐标运算，向量的模及夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等．【试题简析】21(1)(3)321cos2419194，ababab15．已知双曲线222:1(0)23xyEaa的左焦点为F，点P在E上且在第一象限，线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，若6PFO，则E的离心率为，E的标准方程为．【命题意图】本题考查双曲线定义及标准方程，双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查解析问题几何化思想，数形结合思想，划归与转化思想，关注对数学运算，逻辑推理，直观想象等数学核心素养的考查．【试题简析】设线段PF的中点为M，双曲线的右焦点为A，焦距为2c，连接OM，AP，则//APOM，且||2||2APOMc，又因为||||2PFPAa，所以||22PFac，在PFA△中，因为6PFA，所以||23PFc，所以2223acc，解得：312e．因为312ca，又因为22223bca，所以24a，所以E的标准方程为221423xy．16．设正项数列{}na的前n项和136nnnSaa，则na；9若对任意的*nN，不等式248(1)nnnSka恒成立，则k的取值范围是．【命题意图】本小题主要考查数列nS和na的递推关系，能从nS的递推关系中求出{}na的通项公式，考查数列不等式的参数取值范围等基础知识，体现分类与整合、化归与转化和函数与方程的数学思想；关注数学运算和逻辑推理等核心素养的考查．【试题简析】已知21113662nnnnnSaaaa，得211111(2)62nnnSaan，两式相减，得2211111116262nnnnnnnaSSaaaa，即1113nnnnnnaaaaaa，又{}na是正项数列，故13nnaa，又由211111162Saaa，解得13a，所以数列{}na是首项13a，公差3d的等差数列，则3313nann；代入，得213362nnnSaann．不等式248(1)nnnSka对任意*nN恒成立，即216(1)nnnkn，则16(1)1nknn，当n为奇数，611knn，因为，n为奇数时，116nn的最大值为465，故465k；当n为偶数，116nnk，因为，n为偶数时，611nn的最小值为9，故9k．综上，知k的取值范围是4695k，．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）等差数列{}na满足22a，156aa．（1）求{}na的通项公式；10（2）若2nanb，求数列{}nb的前n项和nS．【命题意图】本小题主要考查等差数列的通项、等比数列的定义与前n项和等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．体现基础性和综合性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】（1）设等差数列{}na的公差为d．由22a，156aa得112246adad，，................................2分（各1分）解得111.ad，...............................................................................................3分所以1(1)naandn．.......................................................................5分（2）因为22nannb，所以数列{}nb是首项为2，公比为2的等比数列．..............................7分所以12(12)2212nnnS．...................10分（公式2分，化简1分）备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分．18．（12分）已知直线l：220mxym（mR），圆C：222680xyxy．（1）若l与圆C相切，求切点坐标；（2）若l与圆C交于A，B，且OAOB，求ABC△的面积．【命题意图】本题主要考查点与圆，直线与圆，圆与圆等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想；关注学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养．【试题解析】解法一：（1）由222680xyxy得22(1)(3)2xy，.....................................1分所以圆C的圆心(13)C，，半径2r．11点C到直线AB的距离22322111mmmdmm．................................2分由l与C相切得dr，即2121mm，....................................................3分解得1m．........................................................................................................4分此时，l：0xy．联立2202680xyxyxy，，..........................................................................5分解得切点坐标为(22)，．...................................................................................6分（2）因为OAOB，所以O在AB的垂直平分线上，因为点A，B在圆C上，所以C也在AB的垂直平分线上，......................7分所以113ABOCkk，....................................................................................8分所以13m，直线AB的方程为380xy．..........................................9分因为圆心C到直线AB的距离219810513d，...................................10分所以2241025ABrd．.....................................................................11分所以1425ABCSABd△．.............................................................................12分解法二：（1）由220mxym得(2)20mxy，所以直线l过定点(22)，．................................................................................2分因为2222226280，所以点(22)，在圆C上．.......................4分所以若l与圆C相切，则其切点坐标必为(22)，．.......................................6分（2）由（1）知，可不妨假设(22)A，，....................................................................7分因为22OAOB，所以A，B是圆C与圆228xy的交点，.......8分两圆相减得直线AB的方程为380xy．...............................................9分12由222680xyxy得22(1)(3)2xy，所以圆心(13)C，，半径2r．..................................................................10分因为点C到直线AB的距离219810513d，.......................................11分所以2241025ABrd．所以1425ABCSABd△．.............................................................................12分备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分．19.（12分）已知抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，直线3x与E相交所得线段的长为62．（1）求E的方程；（2）若不过点F的直线l与E相交于AB，两点，请从下列三个条件中任选两个作为补充条件，并尝试依据补充条件，求l的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）．①AB中点的纵坐标为3；②ABF△的重心在直线2y上；③||||13AFBF．【命题意图】本题考查抛物线定义及标准方程，直线与抛物线位置关系，考查数形结合思想，化归与转化思想，考查学生的运算求解能力，根据自选条件解决问题的能力，关注学生数学运算、直观想象、逻辑推理等素养．【试题简析】解法一：（1）因为直线3x与E相交所得线段的长为62，所以E过点(3,32)，.........................................................................................2分即186p，所以3p，....................................................................................3分E的标准方程为：26yx．.............................................................................4分13（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于AB，两点，AB的中点的纵坐标为0，不管选①②，①③，②③均不符合，.............................................................5分故直线l的斜率一定存在，设l:(0)ykxbk，1122()()AxyBxy，，，．由（1）可知，3(0)2F，．联立26ykxbyx得：2660kyyb，.....................................................6分所以126yyk．............................................................................................7分若选①③：因为AB中点的纵坐标为3，所以1232yy，即126yy，...............8分所以66k，即1k．....................................................................................9分因为||||13AFBF，所以1212313xxpxx，所以1210xx，..........................................................................................10分又因为12122xxyyb，所以2b，..................................................................................................11分故直线AB的方程为：2yx．...............................................................12分若选②③：因为ABF△的重心在直线2y上，所以1223yy，.............................8分即126yy，所以66k，即1k．....................................................................................9分因为||||13AFBF，所以1212313xxpxx，所以1210xx，..........................................................................................10分所以直线AB的中点坐标为(5,3)，又1k，............................................11分故直线AB的方程为：20xy．.........................................................12分14若选择①②，则无法得到直线l的方程，理由如下：根据条件①②，得121232023yyyy，............................................................8分化简得：126yy，.....................................................................................9分所以66k，即1k．..............................................................................10分两个条件等价，所以相当于只有一个条件，只能计算出直线的斜率，条件不够，无法计算出b的值，故选①②无法得到直线l的方程．（备注：言之有理，即可得分）........................................................................................12分解法二：（1）同解法一．（2）当直线l的斜率不存在时，l与E相交于AB，两点的中点的纵坐标为0，不管选①②，①③，②③均不符合，.....................................................................5分故直线l的斜率一定存在，设l的斜率为(0)kk，1122()()AxyBxy，，，．因为AB，在E上，所以21122266yxyx，即2212126()yyxx，所以121212()()6()yyyyxx，..............................................................................6分所以126yyk．..............................................................................................7分若选①③：因为AB中点的纵坐标为3，所以1232yy，即126yy，...................8分所以66k，即1k．........................................................................................9分因为||||13AFBF，所以1212313xxpxx，所以1210xx，..............................................................................................10分所以直线AB的中点坐标为(5,3)，又1k，................................................11分故直线AB的方程为：20xy．.............................................................12分15以下同解法一．20．（12分）如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为3，E，F，G分别为棱11AD，11DC，AB上的点，且111AEDFBG．（1）求直线EG与平面DEF所成角的正弦值；（2）设直线1AA与平面EFG交于点H，求1HAHA的值．【试题解析】（1）分别以1,,DADCDD所以在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系Dxyz则有(0,0,0)D，(2,0,3)E，(0,1,3)F，(3,2,0)G..................................1分备注：有两个坐标写对就可以得到第1分．所以(2,0,3)DE，(0,1,3)DF，(1,2,3)EG...............................2分设111(,,)xyzm为平面DEF的一个法向量则有00DEDFmm，即111123030xzyz.........................................................3分令12z，则(3,6,2)m....................................................................4分16记为直线EG与平面DEF所成的角2222221326(3)(2)314sin1412(3)36(2)EGEGmm.................6分（2）解法一：设(3,0,)Hh，则(2,1,0)EF，(1,2,3)EG，(1,0,3)EHh............................7分设222(,,)xyzn为平面EFG的一个法向量则有00EFEGnn，即2222220230xyxyz..................................................8分令21x，则5(1,2,)3n..........................................................................9分依题意可得，0EHn，即51102(3)03h.......................10分解得，125h，即125HA，则1123355HA.................................11分所以14HAHA.............................................................................................12分解法二：设(3,0,)Hh，则(2,1,0)EF，(1,2,3)EG，(1,0,3)EHh....7分设EHEFEG，依题意有1202303h，................................9分解得2515125h............................................................................................10分即125HA，则1123355HA.............................................................11分所以14HAHA.............................................................................................12分备注：第2问中，学生没有任何理论依据，直接猜出14HAHA，可得2分．解法三:分别延长11,FEBA交于点N，连接NG交1AA于H.............................7分17由已知可得，,NEFEF平面EFG，所以N平面EFG...........................8分故NG平面EFG，又HNG，所以H平面EFG....................................9分所以H为直线1AA与平面EFG的交点H.........................................................10分在平面图形11DFENA中，由三角形相似，111112ANAEDFDE，所以112AN...........................................................................................................11分在平面图形1NAHAG中，由三角形相似，所以112412HAAGHAAN，........12分21.（12分）在数列{}na,{}nb中，2165nnnaaa，*13()nnnbaanN,且21a,22b．（1）求3a,1b的值；（2）求{}nb的通项公式；（3）设113(1)(1)nnnnbcbb，记nc的前n项和为nS，证明：2479nS.【命题意图】本小题主要考查非特殊数列的通项公式求法，考查等比数列的通项公式，数列求和的裂项相消法等基础知识，考查学生的运算求解能力，体现化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算核心素养．【试题简析】（1）由2323baa，可得35a........................................................................1分由31265aaa可得，10a.....................................................................2分所以12131baa.....................................................................................3分（2）由2165nnnaaa，得211326nnnnaaaa，.................................4分故121111326233nnnnnnnnnnbaaaabaaaa（常数），..................................5分所以数列{}nb是首项为11b，公比为2q的等比数列，..................6分其通项公式为12nnb．...........................................................................7分18（3）由（2），得12132(1)(1)(21)(21)nnnnnnnbcbb211132121nn，....................8分所以1231nnnSccccc112111111111111137315731156321212121nnnn1211111332121nn.........................................................................................9分144339．..................................................................................................................10分因为数列2111032121nnnc，所以nS为递增数列．...............................11分当1n时，nS取得最小值1127Sc，所以2479nS．........................................12分备注：考生如果采用其他解法根据解答过程分步酌情给分．22．（12分）已知圆E：22(3)16xy，圆E的弦AB过点(30)F，，连接AE，BE，过点F且与BE平行的直线与AE交于点P，记点P的轨迹为曲线M．（1）求M的方程；（2）过点(10)N，的直线l交M于C，D两点，试探究是否存在定点Q，使得2QCQCCD为定值．【命题意图】本题考查曲线的轨迹方程，椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量的基本运算等基础知识，考查学生运算求解能力，体现化归与转化思想，数形结合思想，考查数学运算，逻辑推理，直观想象等素养．19【试题简析】（1）因为//BEFP，所以||||||||APPFAEBE，……………………………………………………………….……1分因为||||4AEBE，所以||||APPF．………………………………………………………………..……...2分又因为||||4APPE，所以||||4||23PFPEEF．.................................................................................3分由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以EF，为焦点的椭圆，设其轨迹方程为：22221(0)xyabab．求得：2a，21b，…………………………………………………………...4分故M的方程为：221(0)4xyy．..............................................................................5分（备注：没有写出0y，不扣分．）（2）解法一：假设存在定点Q，使得2QCQCCD为定值，当直线l的斜率存在时，设l：(1)ykx，1122()()CxyDxy，，，，联立22(1)14ykxxy得：2222(14)8440kxkxk，...............................................6分2122814kxxk，21224414kxxk，2122314kyyk，.....................................................7分根据椭圆的对称性可知，点Q在x轴上，设0(,0)Qx．...............................................8分因为2()QCQCCDQCQCCDQCQD，又因为101()QCxxy，，202()QDxxy，，所以QCQD212012012()xxxxxxyy202222002228443_141414kxkkxkkk22002(18)414xkxk.............................................................................9分为使2QCQCCD为定值，只需22002(18)414xkxk与k无关，只需018441x，解得：0178x，即17(,0)8Q.......................................................................................10分经验算，取17(,0)8Q时，23364QCQCCD为定值．当直线l的斜率不存在时，:1lx，33(1)(1)22CD，，，，若17(,0)8Q，同样有2QCQCCD3364QCQD．...............................................11分综上，存在定点17(,0)8Q，使得2QCQCCD为定值3364．...................................12分解法二：假设存在定点00(,)Qxy，使得2QCQCCD为定值，设直线l的方程为：1xmy，1122()()CxyDxy，，，，联立22114xmyxy得：22(4)230mymy，...........................................................6分12224myym，12234yym，..................................................................................7分12284xxm，2122444mxxm，...............................................................................8分所以2()QCQCCDQCQCCDQCQD22120120120120()()xxxxxxyyyyyy22200002222824434444xmymxymmmm2220000241824mxmyxym，……………………..…….9分因为2QCQCCD为定值，所以2220000241824mxmyxym与m无关，21所以002018414yx，........................................................................................................11分解得：001780xy，此时23364QCQCCD，所以存在定点17(,0)8Q，使得2QCQCCD为定值3364．.......................................12分（备注：直接写出定点定值，没有任何相应的理由、过程不给分．）