解直角三角形应用

2005年全国各地中考分类解析——解直角三角形 一、选择题: 1．（泰山）一人乘雪橇沿坡比1∶ 的斜坡笔直滑下，滑下的距离s（米）与时间t（秒） 间的关系为s =10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4秒，则此人下降的高度为 A．72 m B．36 m C．36 m D．18 m 2、（大连）张华同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近的一棵树的影长为6米，则这棵树的高为（ ） A. 3.2米 B.4.8米 C.5.2米 D.5.6米 3．(湖北黄石)小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( ) A．9米 B．28米 C． 米 D. 米 4河南）如图， 等于 ( ) A． B．2 C． D． 5．（兰州）如果ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２３００＝１那么锐角α的度数是（ ）     Ａ．１５０ Ｂ．３００ Ｃ．４５０ Ｄ．６００ 6. (厦门) 如图1，在直角△ABC中，∠C＝90°,若AB＝5，AC＝4， 则sin∠B＝ A. eq \f(3,5) B. eq \f(4,5) C. eq \f(3,4) D. eq \f(4,3) 7．（黑龙江）在相同时刻的物高与影长成比例．小明的身高为1.5米，在地面上的影长为2米，同时一古塔在地面上的影长为40米，则古塔高为 ( ) (A)60米 (B)40米 (C)30米 (D)25米 二、填空题： 1、（嘉兴）图7是引拉线固定电线杆的示意图。已知：CD⊥AB，CD m，∠CAD=∠CBD=60°，则拉线AC的长是___________m. 2、（四川内江）如图河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进Sｍ到达D，在D处测得A的仰角为β，则塔高为　　　　米。 3．（沈阳）在△ 中， ， ， 30º，则 ∠BAC 的度数是 . 4. （四川资阳）如图4，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到 △A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________. (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°= ，cos15°= ) 5．（惠安）同一时刻，一竿的高为1.5米，影长为1米，某塔影长为20米，则塔的高为 米． １４．（兰州）锐角Ａ满足２ｓｉｎ(Ａ－１５０)＝ 则∠Ａ＝＿＿＿＿ 6、（梅州市）求值：sin230°+cos230°= 。 三、解答下列各题 1．（泰山）高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图1）． （1）某一时刻测得大树AB、教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2.4米，DF=7.2米，求大树AB的高度．（3分） （2）用皮尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ： ①在图2上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m 、n …表示，角度用希腊字母α、β …表示）；（3分） ②根据你所画的示意图和标注的数据，计算大树AB高度（用字母表示）．（3分） 图1 图2 解：连结AC、EF （1）∵太阳光线是平行线∴AC∥EF∴∠ACB=∠EFD ∵∠ABC=∠EDF=90°∴△ABC∽△EDF……………………………1分 ∴ ∴ ∴AB=4.2……………………2分 答：大树AB的高是4.2米．………………………………………3分 （2）（方法一） …………………………6分 如图MG=BN=m AG=m tanα ∴AB=（m tanα＋h）米 ………………………9分 （方法二） …………………………6分 ∴ AG = ∴AB= ＋h …………………9分 或AB= ＋h （不加测角仪的高扣2分，其他测量方法，只要正确均可得分） 2．（嘉兴）如图，河对岸有一铁塔AB。在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进16米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。 解：在Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=AB。 ……2分 在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC= AB。 ……2分 设AB=x（米），∵CD=16，∴BC=x+16.∴x+16= x ……2分 。即铁塔AB的高为 米。 另解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30°，∴BC=ABcot30° ……2分 在 Rt△ABD中，∵∠ADB=45°，∴BD=ABcot45° ……2分 ∵CD=BC-BD=16，∴ ABcot30°- ABcot45°=16 ……2分 ∴ 即铁塔AB的高为 米 ……2分 3. （锦州）如图，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险? 　　 评价要求：此题解法不惟一，只要合理，即可赋分. 　　解：1小时45分=小时. 　　　　在Rt△ABD中，(海里)， 　　　　∠BAD=90°-65°45′=24°15′. 　　……2分 　　　　∵cos24°15′=， 　　　　∴(海里). 　　……4分 　　　　AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里). 　　　　在Rt△ACE中，sin24°15′=， 　　　　∴CE=AC·sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里). 　　　　∵17.54＜18.6，∴这条船不改变方向会有触礁危险. 　　……8分 4．（宁德）6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角(ABC＝65º。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45º时，可以确保山体不滑坡。 （1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米） （2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米） 解： 5．（沈阳）如图8所示，A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直.现在要从E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，共有如下两种铺设方案： 方案一： ； 方案二： . 经测量得 千米， 千米， 千米，∠BDC＝45°，∠ABD＝15°. 已知：地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米. ⑴求出河宽AD（结果保留根号）； ⑵求出公路CD的长； ⑶哪种方案铺设电缆的费用低？请说明你的理由. 6．(玉林)阅读下列材料，并解决后面的问题． 在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D(如图)，则sinB= ，sinC= ，即AD=csinB，AD=bsinC， 于是csinB=bsinC，即 ． 同理有 ， ． 所以 ………(*) 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等． (1)在锐角三角形中，若已知三个元素a、b、∠A，运用上述结论(*)和有关定理就可以 求出其余三个未知元素c、∠B、∠C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件a、b、∠A ∠B； 第二步：由条件 ∠A、∠B． ∠C； 第三步：由条件． c． (2)一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以28．4海里／时的速度按北偏东45°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西70°的方向上(如图11)，求此时货轮距灯塔A的距离AB(结果精确到0．1．参考数据：sin40°=0．6 4 3，sin65°=0．90 6，sin70°=0．940，sin7 5°=0．9 6 6)． 解：(1) , ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C， 或 (2)依题意，可求得∠ABC=65°， ∠A=40°. (5分) BC=14．2．(6分) AB≈21．3． 答：货轮距灯塔A的距离约为21．3海里．(9分) 7．(湖北黄石)初三(5)班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60º方向，C点在B点北偏东45º方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长。 ( ，结果精确到0.01米) 8. （江苏宿迁）某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角． （1）求出树高AB； （2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度． （计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 解：（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30° ∵tanC＝ ………2分 ∴AB＝AC·tanC ………3分 　　　　＝9× ………4分 　　　　≈5.2（米） ………5分 （2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图） ………7分 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°， ∴AE＝2AD ………9分 ＝2×5.2＝10.4（米） ………10分 答：树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米．……11分 9、（南通）如图,为了测量一条河的宽度,一测量员在河岸边的C处测得对岸一棵树A在正南方向,测量员向正东方向走180米到点B处,测得这棵树在南偏西60°的方向,求河的宽度（结果保留根号）. 略解：河宽为米.     10、（河南课改）如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米。参考数据：sin32°＝0.5299，cos32°＝0.8480） 解：过点C做CD⊥AB，垂足为D， ∵B点在A点的正东方向上，∴∠ACD＝45°，∠DCB＝32°， 在Rt△BCD中，BC＝100， ∴ （米） （米）， 在Rt△ACD中，AD＝CD， ∴ （米）。 11．（惠安）如图，在离旗杆40米的A处，用测角仪器测得旗杆顶的仰角为 ，已知测角仪器高AD= 米，求旗杆的高度BE(精确到 0.1米，供选用的数据： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 解： 答:旗杆的高度约24.9米.---------(8分) 12. （兰州）如图９某海关缉私艇巡逻到达Ａ处时接到情报，在Ａ处北偏西６００方向的Ｂ处发现一艘可疑船只正以２４海里／时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，该艇立即沿北偏西４５０的方向快速前进，经过１小时的航行，恰好在Ｃ处截住可疑船只，求该艇的速度（结果保留整数 ， ≈２．４４９， ≈１．７３２ ≈１．４１４） 解：如图所示，在ＲｔＡＤＣ中，∠ＤＡＣ＝４５０∴设ＡＤ＝ＤＣ＝ｘ（海里）， 则ＡＣ＝ｘ 海里，在ＲｔＡＤＢ中，∠ＡＤＢ＝９００∠ＤＡＢ＝６００ ∴∠Ｂ＝３００  ∴ＢＤ＝ＡＤ即２４＋ｘ＝ｘ∴ｘ＝１２＋１ ∴ＡＣ＝·１２＋１＝１２＋  ≈４６（海里） ∴Ｖ＝＝４６（海里／时） 答：该艇的速度约为４６海里／时 13．（四川泸洲）随着社会的发展，人们对防洪的意识越来越强，今年为了提前做好防洪准备工作，某市正在长江边某处常出现险情的河段修建一防洪大坝，其横断面为梯形ABCD，如图7所示，根据图中数据计算坝底CD的宽度（结果保留根号）． 解：在Rt△ADF中，∠D＝60°， ……………………1分 　　∴DF＝AF·cotD ＝9×cot60° ＝9× ……………………………………………………3分 又在Rt△BEC中 ∵∠C＝45°，　∴△BEC为等腰三角形 ∴EC＝BE＝9……………………………………………………………6分 在矩形AFEB中，FE＝AB＝10………………………………………7分 ∴DC＝DF＋FE＋EC 　　＝ 　　＝ 答：坝底DC的宽为 ………………………………………8分 14．（浙江台州） 如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且DB=5m，则 BC的长度是多少？现再在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字） 解：在R t△BCD中，∵ BD=5, ∴ BC=5= 4.1955≈4.20. ……4分 在R t△BCD中，BE=BC+CE= 6.20, ………………5分 ∴ DE= …………………6分 == ≈7.96 ………………………9分 答：BC的长度约为4.20,钢缆ED的长度约7.96.………10分 （若BC=4.1955暂不扣分，但是ED的长度未保留三个有效数字扣1分） 15．（湖北十堰）（1）在一个宁静的夜晚，月光明媚，张芳和身高为1.65m的李红两位同学在人民广场上玩。张芳测得李红的影长为1m，并立即测得小树影长为1.5m，请你估算小树的高约为多少？ （1） ……………………2分 答：小树高约为2.4m……………………3分 16、(梅列区)某中学政教处在九年级进入学业考试总复习前，将一幅激励同学拼搏的标语悬挂在教学楼前。有位学生在与这幢教学楼相距20米的办公楼P处测得标语顶端A点的仰角为15°，底部B的俯角为10°，请你根据这位同学测定的数据，计算出这幅标语的长度。（精确到0.01米） A B A B E D C F 光线 A B M N G α h m A B G M N E F h β α m （第21题） C D B A 北� � 东� � （第22题）� � A B C 2 1 � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A D F E B 10m 9m 45° 60° 图7 C _1180693751.unknown _1181407999.unknown _1182002038.unknown _1182002121.unknown _1182707971.unknown _1184436412.unknown _1182325052.psd _1182323606.unknown _1182002097.unknown _1181661379.unknown _1181661425.unknown _1181706616.unknown _1181559753.unknown _1181559873.unknown _1181559677.unknown _1180979871.unknown _1181406556.unknown _1181406863.unknown _1180980052.unknown _1180980092.unknown _1181405932.unknown _1180980067.unknown _1180979947.unknown _1180707083.unknown _1180707106.unknown _1180707016.unknown _1158688487.unknown _1178177555.unknown _1179667629.unknown _1179669664.unknown _1179669887.unknown _1179667697.unknown _1179139416.unknown _1179297289.unknown _1179297386.unknown _1179236889.unknown _1179139391.unknown _1177876536.unknown _1178093511.unknown _1178094609.unknown _1178177515.unknown _1178094293.unknown _1178094429.unknown _1178093991.unknown _1177877263.unknown _1177876588.unknown _1177876659.unknown _1177875703.unknown _1177875815.unknown _1158688488.unknown _1158688477.unknown _1158688479.unknown _1158688486.unknown _1158688478.unknown _1158688475.unknown _1158688476.unknown _1158688474.unknown