第八讲 不等式的应用
不等式与各个数学分支都有密切的联系，利用“大于”、“小于”关系，以及不等式一系列的基本性质能够解决许多有趣的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
，本讲主要结合例题介绍一下这方面的应用．
例1 已知x＜0，-1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．
分析 用作差法比较大小，即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＜0，则a＜b．
解 因为x-xy=x(1-y)，并且x＜0，-1＜y＜0，所以x(1-y)＜0，则x＜xy．
因为xy2-xy=xy(y-1)＜0，所以xy2＜xy．
因为x-xy2=x(1+y)(1-y)＜0，所以x＜xy2．
综上有x＜xy2＜xy．
例2 若
试比较A，B的大小．
显然，2x＞y，y＞0，所以2x-y＞0，所以A-B＞0，A＞B．
例3 若正数a，b，c满足不等式组
试确定a，b，c的大小关系．
解①+c得
②+a得
③+b得
由④，⑤得
所以 c＜a．
同理，由④，⑥得b＜C．
所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．
例4 当k取何值时，关于x的方程
3(x+1)=5-kx
分别有(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．
解 将原方程变形为(3+k)x=2．
(1)当 3+k＞0，即 k＞-3时，方程有正数解．
(2)当3+k＜0，即k＜-3时，方程有负数解．
(3)当方程解不大于1时，有
所以1+k，3+k应同号，即
得解为 k≥-1或k＜-3．
注意 由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的。
例5已知
求｜x-1｜-｜x+3｜的最大值和最小值．
｜x-1｜-｜x+3｜
达到最大值4．结合x＜-3时的情形，得到：在已
说明 对含有绝对值符号的问题，无法统一处理．一般情况下，是将实数轴分成几个区间，分别进行讨论，即可脱去绝对值符号．
例6 已知x，y，z为非负实数，且满足
x+y+z=30，3x+y-z=50．
求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．
解 将已知的两个等式联立成方程组
所以①+②得
4x+2y=80，y=40-2x．
将y=40-2x代入①可解得
z=x-10．
因为y，z均为非负实数，所以
解得 10≤x≤20．
于是
u=5x+4y+2z=5x+4(40-2x)+2(x-10)
=-x+140．
当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．
例7 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程
(a-2b)x=1，(b-3c)x=1，
(c-4d)x=1，x+100=d
的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？
解 由已知(a-2b)x=1，且根x＞0，所以a-2b＞0，又因为a，b均为整数，所以a-2b也为整数，所以
a-2b≥1，即a≥2b+1．
同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以
a≥2b+1≥2(3c+1)+1=6c+3
≥6(4d+1)+3=24d+9
≥24×101+9=2433，
故a可能取得的最小值为2433．
求pq的值．
解 由已知
所以 21q＜30p＜22q．
因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q＜30p＜22q成立．当q＝7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是 pq=5×7=35．
例9 已知：b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证： b＜a．
分析与证明 要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．
因为b＜c，所以2b＜b+c，所以由b+c＜a+1得2b＜a+1，所以由1＜a得1+a＜2a，所以
2b＜1+a＜2a，
即b＜a成立．
分析与解 由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以
又x≥3时，
也不成立，故x只能为2．
当x=2时，
令y=3，则z=6．
当 x=2，y≥4时，
不成立．
故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．
例11 某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中， A， B两校共16名；B，C两校共 20名； C， D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．
解 设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有
由①，②可知，x+y＜y+z，所以x＜z．又由于人数的多少是按A，B，C，D四校的顺序选派的，所以有x＜y＜z＜u．
由①与x＜y得16-y=x＜y，所以y＞8．由②与y＜z得20-y=z＞y，所以y＜10．于是8＜y＜10，所以y=9(因为人数是整数)．将y=9代入①，②可知x=7，z=11，再由③有u=23．
故A校7人，B校9人，C校11人，D校23人．
注意到x只能取1，2，3，4，…，9这九个数字，所以x=2，所以
所以y=1，z=4．
所以x=2，y=1，z=4．
练习八
1．如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式
(1) ax+by+cz；(2)ax+bz+cy；
(3) ay+bx+cz；(4) az+bx+cy
中哪一个的值最大？
2．不等式10(x+4)+x＜62的正整数解是方程
2(a+x)-3x=a+1
3．已知y=｜x+2｜+｜x-1｜-｜3x-6｜，求y的最大值．
4．已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z-x=2000时，求x+y+z的最大值．
5．若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：x＞0，y＞0，z＞0．
能值之和是多少？
浙公网安备 33021202002483