证明：对于x和y的一切正值满足方程
的唯一不恒等于零的连续函数
是对数函数
，式中的a为正常数。
证明：首先证明x和y的一切正值满足方程
的唯一的连续函数
是齐次线性函数
事实上，当m和n为正整数时，有
，故
于是，
在
中，令
，得
故，
。
再在
中，令
，则
，故
于是，
。
这就证明了对于任何正有理数c有
。
下面我们利用函数
的连续性证明对于任何正无理数c，此式也成立。事实上，设c为无理数。取一串有理数
，使
。
根据对于任何正有理数
有
，两边取极限
，注意函数的连续性
，得
，由此可知，对任何正实数x有
其次，证明对于x和y的一切正值满足方程
的唯一不恒等于零的连续函数
是对数函数
，式中的a为正常数。
在
中，令
，得
。由条件知，
，故存在
，使
。先设
，由于
，
，
…………………………………………利用归纳法知
，即
，
，
，有
。故可以取某个自然数n使
。于是，根据连续函数的介值性可知，在
之间必存在某数a
使
。
现在在考虑函数
，显然
连续且满足
于是根据我们的第一步的证明
，
，于是
，即
，再令
，则
，于是
，再把y换成x就得到
EMBED Equation.DSMT4 。
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