§7 用Mathematica求曲线积分与曲面积分
7.1 常用的微分运算函数
D[f(x,y),x]: 求f对x的偏导数。
Plot[f,{x,a,b}]: 画一元函数的图形。
ParametricPlot [{x[t],y[t],{t,a,b}}: 作二维参数方程的图形。
Show[f1,f2,f3]: 将图形f1,f2,f3组合后重新输出。
Integrate[f[x,y],{x,a,b},{y,y1,y2}]: 计算累次积分。
例7.1 计算曲线积分
，其中C:
。
解 设
，其中
:
.
In[1]:= y[x_]:= Sqrt[a*x-x^2]
dy=D[y[x],x];
ds=Sqrt[1+dy^2];
I1=Integrate[Sqrt[x^2+y[x]]*ds,{x,0,a}]
Out[1]:=
:
In[2]:= y[x_]:= -Sqrt[a*x-x^2]
dy=D[y[x],x];
ds=Sqrt[1+dy^2];
I2=Integrate[Sqrt[x^2+y[x]]*ds,{x,0,a}]
Out[2]=
In[3]:= I=I1+I2;
Out[3]=
例7.2 计算曲线积分
，其中
是上半椭圆
，
取顺时针方向。
解 In[1]:= x[t_]:=a*Cos[t];
y[t_]:=b*Sin[t];
dx=D[x[t],t];
dy=D[y[t],t];
Integrate[y[t]^2*dx+x[t]^2*dy,{t,Pi,0}]
Out[1]=
例7..3 计算曲线积分
，其中
是圆周
。
解 首先，取
，画出积分曲线，
In[1]:=ParametricPlot[{x=Cos[t],y=Sin[t]},{t,0,2Pi},
AspectRatio->Automatic]
Out[1]= -Graphics-
In[2]:= p[x_,y_]:= -x^2*y;
q[x_,y_]:=x*y^2;
d=D[q[x,y],x]-D[p[x,y],y] /.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]};
Integrate[d*r,{t,0,2Pi},{r,0,a}]
Out[2]=
例7.4 求曲面积分
，其中
是球面
，被平面
所截和顶部
。
解 首先，取
画出曲面，确定投影区域：
In[1]:=a1=Plot3D[Sqrt[2^2-x^2-y^2],{x,-2,2},{y,-2,2}, DisplayFunction->Identity];
a2=Plot3D[1,{x,-2,2},{y,-2,2},DisplayFunction->Identity]; Show[a1,a2,AxesLabel->{x,y,z},AspectRatio->Automatic,
DisplayFunction->$DisplayFunction]
Out[1]= -Graphics3D-
易知，曲面
在
平面上的投影区域D是
，根据被积函数和积分区域的特点，采用极坐标计算曲面积分：
In[2]:= z[x_,y_]:=Sqrt[a^2-x^2-y^2];
d=1/z[x,y]*Sqrt[1+D[z[x,y],x]^2+D[z[x,y],y]^2]
/.{x->r*Cos[t],y->r*Sin[t]}
Integrate[d*r,{t,0,2Pi},{r,0,Sqrt[a^2-h^2]}]
Out[2]=
练习10.7
1. 计算曲线积分
，其中
是
的一段。
2. 计算曲线积分
，其中
是从（1,1,1）到（2.3.4）的直线段。
3. 计算
,其中
为旋转抛物面
的部分。
4. 计算曲面积分
，其中
是由上半球面
和
的
表
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面外侧
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浙公网安备 33021202002483