3.3有界线性泛函和对偶空间3.3.1有界线性泛函定义3.3.1（线性泛函）设X为线性空间，f为D(f)（含于X）到数域K的线性算子，则称f为线性泛函，D(f)为f的定义域，而R(f)={f(x)∣x∈D(f)}为f的值域。简单说：值域为数域的算子称为泛函。定义3.3.2（有界线性泛函）设X是数域K上的赋范空间，f：D(f)→K是线性泛函，如果存在常数C>0，使得对所有x∈D(f)有︱f(x)︱≤C‖x‖则称f为有界线性泛函，其范数与以前定义的算子的范数一致。举例：1、点积2、定积分3、范数3.3.2对偶空间定义3.3.3（对偶空间）当赋范空间X上定义的线性算子空间B(x,y)中的元素为有界线性泛函，并按范数定义构成赋范空间时，便称之为X的对偶（共轭）空间，并用X*表示。举例：1、Rn中由点积定义的泛函2、Lp[a,b]空间3.3.3希尔伯特空间上泛函的一般形式定理3.3.4（黎斯表现定理）希尔伯特空间H上任一有界线性泛函可由内积表示，即f(x)=（对任意x∈H）其中z∈H依赖于f并由f唯一地确定，其范数为‖z‖=‖f‖引理3.3.5（相等性）若v，v1，v2∈X，X为内积空间，对所有ω∈X，均有=,则v1=v2；若=0,则有v=θ。3.3.4双线性泛函和二次泛函定义3.3.6（双线性泛函）设X、Y是同一数域上的线性空间，如果映射h：X×Y→K对所有x，x1，x2∈X及所有y，y1，y2∈Y，α，β∈K均有（1）h(x1+x2,y)=h(x1,y)+h(x2,y)（2）h(x,y1+y2)=h(x,y1)+h(x,y2)（3）h(αx,y)=αh(x,y)（4）h(x,βy)=βh(x,y)则称h是X×Y上的复双线性泛函，若K=R，X，Y都是实线性空间，h就称为实双线性泛函，简称双线性泛函。举例12有界及范数的定义定义3.3.7（二次泛函）在双线性泛函中，如果令x=y，则称为X×X到R上的泛函，称作二次泛函。举例：二次型，信号的能量定理3.3.8（双线性泛函的黎斯表示）设H1、H2为希尔伯特空间，h：H1×H2→K为有界复双线性泛函，则h可以表示为h(x,y)=x∈H1，y∈H2其中S：H1→H2为一有界线性算子，且由h唯一确定，并有范数‖S‖=‖h‖
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