高等代数第一章第三、四次课 最大公因子.doc2

第三、四次课 最大公因子 教学目标要求：  正确理解和掌握两个(或若干个)多项式的最大公因式,互素等概念及性质。能用辗转相除法求两个多项式的最大公因式。 教学内容：１．最大公因式的概念、性质。２．应用辗转相除法求最大公因式　３． 多项式互素的概念,性质、判定 教学重点与难点：辗转相除法的理论和实践．能熟练应用辗转相除法求最大公因式。掌握多项式互素的概念,性质、判定。 一、 多项式的最大公因式的概念 1． 公因子 定义1 令f(x),g(x)F[x],若存在h(x)F[x],使h(x) | f(x),h(x) | g(x),则h(x)叫f(x)与g(x)的一个公因式. 2． 最大公因子 最大公因式：设f(x),g(x)是P[x]中两个多项式。P[x]中多项式d(x)称为f(x),g(x)的一个最大公因式,如果满足：1）d(x)是f(x),g(x)的公因式；2）f(x),g(x)的公因式是d(x)的因式。 二、存在性定理 1． 引理 引理 设f(x),g(x)F[x],且g(x)≠0,若f(x)=g(x)q(x)+r(x),则f(x),g(x)与g(x),r(x)有相同的最大公因式. 证明：若h(x) | f(x) , h(x) | g(x),则因r(x)=f(x)-g(x)q(x),可知h(x)|r(x). 反之若h1(x) | g(x),h1(x) | r(x),则由f(x)=g(x)q(x)+r(x) 可知h1(x) | f(x) 于是f(x),g(x)与g(x),r(x)有相同的公因式,从而有相同的最大公因式. 引理2 若g(x) | f(x),则g(x)是f(x)与g(x)的最大公因式. 证明：g(x) | g(x), g(x) | f(x),则g(x)是g(x)与f(x)的公因式. 若h(x) | g(x) , h(x) | f(x) , 则h(x) | g(x),所以g(x)是f(x)与g(x)的最大公因式. 2． 定理1 定理：P[x]中的任意两个多项式f(x),g(x),存在最大公因式d(x),且有P[x]中多项式u(x),v(x)使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x); 且f(x),g(x)的最大公因式至多相差一个非零常数倍。首项系数为1的最大公因式记作(f(x),g(x))。 存在性 若f(x)=g(x)=0,由定义f(x)与g(x)的最大公因式为0 若f(x),g(x)不全为0,不防设g(x)≠0,则有 f(x)=g(x)q1(x)+r1(x) g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x) r1(x)=r2(x)q3(x)+r3(x) ……………… rk-2=rk-1(x)qk(x)+rk(x) rr-1(x)=rk(x)qk+1(x) 由以上k+1个等式及L1,L2知,rk(x)是rk(x)及rk+1(x)的最大公因式,从而是rk-1(x)与rk-2(x)的最大公因式.……,从而是g(x)与f(x)的最大公因式. 唯一性,若d(x),d1(x)都是f(x)与g(x)的最大公因式,则 d(x) | d1(x), d1(x) | d(x) , 从而d1(x)=cd(x). 3． 最大公因子的基本唯一性定理 4． 例题 令F是有理数域,求F[x]的多项式 f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3, g(x)=2x2-5x2-4x+3  的最大公因式(f(x),g(x)) g(x)=2x3-5x2-4x+3 ×3 f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3 ×2 6x3-15x2-12x+9 -) 6x3-28x2-30x 2x4-4x3-8x2+8x-6 -) 2x4-5x3-4x2+3x 13x -42x+9 ×3 x3-4x2+5x-6 ×2 39x2-126x+27 -) 39x2-182x+195 2x3-8x2+10x-12 -) 2x3-5x2-4x+3 r2(x)=56x-168 ×1/56 r1(x) = -3x2+14x-15   -) -3x2+9x   r2(x) =x-3 5x-15 5x-15   0 · （f(x),g(x)）=x-3。 三、最大公因式与所论数域无关性 两个多项式的公因式与所论数域有关,但最大公因式与所论数域无关. 定理：既若在F中,d(x)=(f(x),g(x)),在F’中,d’(x)=(f(x),g(x)), 那么,d’(x)=d(x) 证明：若f(x)=g(x)=0,那么d(x)= d’(x)=0. 若g(x)≠0,无论在F中还是在F’中都有(1)中各式成立. 令rk(x)的首次系数为c,那么, d’ (x)=d(x)=1/c rk(x). 例2：求出F[x]中的多项式f(x)=x4-2x3-4x2+4x-3, 和 g(x)=2x3-5x2-4x+3的最大公因式及满足（1）的u(x),v(x) 解,由辗转相除法  可知 = , 注： 定理1的逆不成立. 例如：令f(x)=x,g(x)=x+1,取u(x)=x+2,(x)=x-1 则 x(x+2)+(x+1)(x-1)=2x2+12x+1 2x2+2x+1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式. 但若已知d(x)是f(x)与g(x)的公因式,又知f(x)u(x)+g(x)(x)=d(x),则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式. 三、多项式的互素概念 1． 定义 定义3 如F[x]中的两个多项式除零次多项式外不再有其它公因式,则称这两个多项式互素. 由于两个多项式互素,则这两个多项式的最大公因式是零次多项式,故把f(x)与g(x)互素,记作(f(x),g(x))=1. 2． 判别法 定理：P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素的充分必要是有P[x]中多项式u(x),v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。 四、互素的性质 1、定理2 F[x]中的两个多项式互素的充要条件是在F[x]中可以求得u(x), v(x),使 f(x)u(x)+g(x)v (x)=1. 证明：必要性：若f(x),g(x)互素,则(f(x),g(x))=1,由Th2.3.2可以求得u(x), v(x),使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. 充分性：若f(x)u(x)+g(x)v(x)=1,则f(x),g(x)的公因式都能整除1,它们都是零次多项式. 2、若（f(x),h(x)）=1,(g(x),h(x))=1,则(f(x)g(x),h(x))=1. 证明： 由（f(x),h(x)）=1,可得f(x)u(x)+h(x)(x)=1,从而 (f(x)g(x))u(x)+h(x)(g(x)(x))=g(x) 于是 f(x)g(x)与h(x),g(x)与h(x)有相同的最大公因式. 但 (g(x),h(x))=1,故(f(x)g(x),h(x))=1. 注 令f(x)=x,h(x)=x-1,g(x)=x2-1,则 (f(x),h(x))=1,但因(g(x),h(x))1,故(f(x)g(x),h(x))1. 3、若h(x) | f(x)g(x),且(h(x),f(x))=1,则h(x) | g(x). 证明：由(h(x),f(x))=1,得h(x)u(x)+f(x)(x)=1, 从而 h(x)g(x)u(x)+f(x)g(x)(x)= g(x). 由 h(x) |h(x),h(x) |g(x)f(x),得h(x) |g(x). 4、若g(x) | f(x),h(x) | f(x),(g(x),h(x))=1,则g(x)h(x) | f(x). pf：f(x)=g(x)u(x) , h(x) | g(x)u(x) (g(x),h(x))=1,h(x) | u(x) , u(x)=h(x)(x) f(x)=g(x)h(x)(x),即g(x)h(x) | f(x). 五、n ( n >2)个多项式的最大公因式与互素 1．n个多项式最大公因式的概念 （1）若h(x) | f1(x),…,h(x) | fn(x),则h(x)叫f1(x),f2(x),…,fn(x)的公因式. （2）若f1(x),…,fn(x)的公因式d(x)能被f1(x),…,fn(x)的每一公因式整除,则d(x)叫f1(x),…,fn(x)的最大公因式. 2．存在唯一性,n个多项式的最大公因式总是存在的,可以用辗转相除法求得 f1(x),f2(x),…,f3(x),…,fn-1(x) fn(x) d2(x) d3(x) …………… dn-1(x) dn(x) 若不计较零次因子的差异,它们的最大公因式是唯一存在的. 用符号(f1(x),f2(x),…,fn(x)) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示f1(x),f2(x),…,fn(x)的最大公因式中最高次项系数为1的哪一个. 3．n个多项式的互素 若是f1(x),…,fn(x)除零次因式外,不再有其它因式,则称它们互素. 注意： n个多项式互素,并不一定两两互素.例如,令 f1(x)=x2-3x+2,f2(x)=x2-5x+6,f3(x)=x2-4x+3 则f1(x),f2(x),f3(x)互素,但（f1(x),f2(x)）=x-2. 作业：P45 5（1）（2）,6（1） 作业：P45 7,8,10 x +1� � -2x -13� � -3x 5� � PAGE 1 _1152532503.unknown