概率论与数理统计习题答案概(4)

习题四 1.设随机变量X的分布律为 X 1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 故 3.设随机变量X的分布律为 X 1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因 ……①, 又 ……②, ……③ 由①②③联立解得 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 5.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求E（X），D（X）. 【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ4X. 【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）. 【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因 故k=2 . 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= fY（y）= 求E（XY）. 【解】方法一：先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为 于是 10.设随机变量X，Y的概率密度分别为 fX（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X3Y2）. 【解】 从而(1) (2) 11.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由 得 . (2) (3) 故 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）= 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和200元 故 (元). 14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记 ，S2= . （1） 验证 =μ， = ； （2） 验证S2= ； （3） 验证E（S2）=σ2. 【证】(1) (2) 因 故 . (3) 因 ,故 同理因 ,故 . 从而 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=1, 计算：Cov（3X2Y+1，X+4Y3）. 【解】 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设 . 同理E(Y)=0. 而 , 由此得 ,故X与Y不相关. 下面讨论独立性，当|x|≤1时， 当|y|≤1时， . 显然 故X和Y不是相互独立的. 17.设随机变量（X，Y）的分布律为 1 0 1 1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表 X 1 0 1 P Y 1 0 1 P XY 1 0 1 P 由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又 从而X与Y不是相互独立的. 18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD= ，故（X，Y）的概率密度为 题18图 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 从而 同理 而 所以 . 从而 19.设（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY. 【解】 从而 同理 又 故 20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为 ，试求Z1=X2Y和Z2=2XY的相关系数. 【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1. 从而 故 21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明： ［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）. 这一不等式称为柯西许瓦兹（CouchySchwarz）不等式. 【证】令 显然 可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即 故 22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）. 【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)= =5. 依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1. 对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1eλx,所以 F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1ey/5. 23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为 , Z=k 0 1 2 3 Pk 因此， (2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有 24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系 T= 问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？ 【解】 故 得  两边取对数有 解得 (毫米) 由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为 f(x)= 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考） 【解】令 则 .因为 及 , 所以 , 从而 26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知： 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0; 当t≥0时，利用卷积公式得 故得 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)= ,D(Ti)= (i=1,2) 因此，有E(T)=E(T1+T2)= . 又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）= . 27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差. 【解】设Z=XY，由于 且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因 而 ， 所以 . 28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(01}=P{ }=0, P{X=1,Y=1}=P{U>1,U≤1} . 故得X与Y的联合概率分布为 . (2) 因 ,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为 , . 从而 所以 31.设随机变量X的概率密度为f(x)= ，（∞